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第一单元集合与常用逻辑用语第7课充分条件、必要条件一、基础巩固1．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要的条件是()A．a＞bB．a＞b－1C．a＞b＋1D．a2＞b2【答案】C【解析】a＞b＋1＞b，反之不成立，所以选C.2．a0，b0的一个必要条件为()A．a＋b0B．a－b0C.ab1D.ab＜－1【答案】A【解析】a＋b0D/⇒a0，b0，而a0，b0⇒a＋b0.3．“x≠－1”是“x2－1≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由x2－1≠0，x≠1且x≠－1，因为“x≠－1”是“x≠1且x≠－1”的必要不充分条件，所以“x≠－1”是“x2－1≠0”的必要不充分条件，故选B.4．“x0y0”是“1xy0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“x0y0”⇒“1xy0”，“1xy0”⇒“x0y0或x0y0”，所以“x0y0”是“1xy0”的充分不必要条件．故选A.5．设x∈R，则“x12”是“x＜－1或x＞12”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“x＞12”是“x＜－1或x＞12”的充分不必要条件．6．设a∈R，则“a1”是“a21”成立的________条件．(填“充分”或“必要”)【答案】必要【解析】由“a1”推不出“a21”，而由“a21”能推出“a1”，故“a1”是“a21”成立的必要条件．7.指出下列各组命题中，p是q的什么条件．(1)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；(2)p：ab，q：ab1.【答案】（1）充分不必要条件；（2）既不充分也不必要条件【解析】在(1)中，若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)·(a－3)＝0不一定a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件；在(2)中，若ab0，则推不出ab1，反之若ab1，当b0时，也推不出ab，所以p既不是q的充分条件，也不是必要条件．8．若集合A＝{x|x－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：(1)A∪B＝R的一个充要条件；(2)A∪B＝R的一个必要非充分条件；(3)A∪B＝R的一个充分非必要条件．【答案】（1）b≥－2；（2）b≥－3；（3）b≥－1【解析】集合A＝{x|x－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，(1)若A∪B＝R，则b≥－2，故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2.(2)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个必要非充分条件可以是b≥－3.(3)由(1)知A∪B＝R充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个充分非必要条件可以是b≥－1.二、拓展提升9．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是()A．x＋y＝2B．x＋y＞2C．x2＋y2＞2D．xy＞1【答案】B【解析】对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2＞2，xy＞1，但命题不成立，也不符合题意．10．已知命题p：1－c＜x＜1＋c(c＞0)，命题q：x＞7或x＜－1，并且p是q的既不充分又不必要条件，则c的取值范围是________．【答案】(0，＋∞)【解析】命题p对应的集合A＝{x|1－c＜x＜1＋c，c＞0}，同理，命题q对应的集合B＝{x|x＞7或x＜－1}．因为p是q的既不充分又不必要条件，所以A∩B＝∅或A不是B的子集且B不是A的子集，所以1－c≥－1，1＋c≤7①或1＋c≥－1，1－c≤7，②解①得c≤2，解②得c≥－2.又c＞0，综上得c＞0.11．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的关于a的充要条件．【答案】a≤1【解析】当a＝0时，方程为2x＋1＝0，解得x＝－12，符合题目要求；当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件为：Δ＝4－4a≥0，解得a≤1.设方程ax2＋2x＋1＝0的两实根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1＋x2＝－2a，x1·x2＝1a.①方程ax2＋2x＋1＝0恰有一个负实根的充要条件是a≤11a＜0，解得a＜0；②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负实根的充要条件是a≤1－2a＜01a＞0，解得0＜a≤1.综上所述，a≤1为所求．12．已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．【答案】充要条件【解析】“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下：当a，b，c∈R，a≠0时，若“a－b＋c＝0”，则－1满足一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，若“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”，故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，综上所述，“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．