2021届高考数学全国统考版二轮复习梳理纠错预测学案专题七解析几何理解析

1．直线与圆的考查也是高考的热点内容，多以选择题和填空题的形式出现，有时还会作为条件结合圆锥曲线进行考查；2．圆锥曲线的定义、方程、与性质是每年的必考热点，多以选择题和填空题的形式出现，主要考查圆锥曲线的几何性质与标准方程的求法；3．解析几何还会考一道解答题，通常难度较大，主要考直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围，定点、定值问题等，综合性比较强．1．直线方程与圆的方程（1）直线方程的五种形式名称方程形式适用条件点斜式𝑦−𝑦0=𝑘(𝑥−𝑥0)不能表示斜率不存在的直线斜截式𝑦=𝑘𝑥+𝑏两点式112121yyxxyyxx不能表示平行于坐标轴的直线截距式1xyab不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线一般式𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0(𝐴，𝐵不同时为零)可以表示所有类型的直线（2）两条直线平行与垂直的判定①两条直线平行：对于两条不重合的直线𝑙1，𝑙2，若其斜率分别为𝑘1，𝑘2，则有𝑙1//𝑙2⇔𝑘1=𝑘2；考点清单命题趋势专题7××解析几何当直线𝑙1，𝑙2不重合且斜率都不存在时，𝑙1//𝑙2．②两条直线垂直：如果两条直线𝑙1，𝑙2的斜率存在，设为𝑘1，𝑘2，则有𝑙1⊥𝑙2⇔𝑘1·𝑘2=−1；当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，𝑙1⊥𝑙2．（3）两条直线的交点的求法直线𝑙1：𝐴1𝑥+𝐵1𝑦+𝐶1=0，𝑙2：𝐴2𝑥+𝐵2𝑦+𝐶2=0，则𝑙1与𝑙2的交点坐标就是方程组11122200AxByCAxByC的解．（4）三种距离公式①𝑃1(𝑥1，𝑦1)，𝑃2(𝑥2，𝑦2)两点之间的距离：|𝑃1𝑃2|=√(𝑥2−𝑥1)2+(𝑦2−𝑦1)2．②点𝑃0(𝑥0，𝑦0)到直线𝑙：𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0的距离：0022AxByCdAB．③平行线𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶1=0与𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶2=0间距离：1222CCdAB．（5）圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(𝑥−𝑎)2+(𝑦−𝑏)2=𝑟2(𝑟0)圆心：(𝑎，𝑏)，半径：𝑟一般方程𝑥2+𝑦2+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0，(𝐷2+𝐸2−4𝐹0)圆心：,22DE，半径：22142DEF（6）点与圆的位置关系点𝑀(𝑥0，𝑦0)与圆(𝑥−𝑎)2+(𝑦−𝑏)2=𝑟2的位置关系：①若𝑀(𝑥0，𝑦0)在圆外，则(𝑥0−𝑎)2+(𝑦0−𝑏)2𝑟2．②若𝑀(𝑥0，𝑦0)在圆上，则(𝑥0−𝑎)2+(𝑦0−𝑏)2=𝑟2．③若𝑀(𝑥0，𝑦0)在圆内，则(𝑥0−𝑎)2+(𝑦0−𝑏)2𝑟2．2．直线、圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系(半径为𝑟，圆心到直线的距离为𝑑)相离相切相交图形量化方程观点𝛥0𝛥=0𝛥0几何观点𝑑𝑟𝑑=𝑟𝑑𝑟（2）圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为𝑑，两圆的半径分别为𝑅，𝑟(𝑅𝑟)，则位置关系外离外切相交内切内含公共点个数01210𝑑，𝑅，𝑟的关系𝑑𝑅+𝑟𝑑=𝑅+𝑟𝑅−𝑟𝑑𝑅+𝑟𝑑=𝑅−𝑟𝑑𝑅−𝑟公切线条数432103．圆锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质焦点在𝑥轴上焦点在𝑦轴上标准方程22221(0)xyabab22221(0)yxabab图形焦点坐标𝐹1(−𝑐，0)，𝐹2(𝑐，0)𝐹1(0，−𝑐)，𝐹2(0，𝑐)顶点坐标1,()0Aa，𝐴2(𝑎，0)，1()0,Bb𝐵2(0，𝑏)1()0,Aa，𝐴2(0，𝑎)，1,()0Bb，𝐵2(𝑏，0)长轴长轴𝐴1𝐴2=2𝑎，𝑎是长半轴的长短轴短轴𝐵1𝐵2=2𝑏，𝑏是短半轴的长焦距焦距𝐹1𝐹2=2𝑐，𝑐是半焦距范围|𝑥|≤𝑎，|𝑦|≤𝑏|𝑥|≤𝑏，|𝑦|≤𝑎离心率221(01)cbeeaa，e越接近1，椭圆越扁；𝑒越接近0，椭圆越圆（2）双曲线的标准方程及几何性质标准方程22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab图形一般方程𝑚𝑥2+𝑛𝑦2=1(𝑚𝑛0)几何性质范围|𝑥|≥𝑎，𝑦∈𝐑|𝑦|≥𝑎，𝑥∈𝐑焦点𝐹1(−𝑐，0)，𝐹2(𝑐，0)𝐹1(0，−𝑐)，𝐹2(0，𝑐)顶点𝐴1(−𝑎，0)，𝐴2(𝑎，0)𝐴1(0，−𝑎)，𝐴2(0，𝑎)对称性关于𝑥轴、𝑦轴对称，关于原点中心对称实、虚轴长线段𝐴1𝐴2叫做双曲线的实轴，它的长|𝐴1𝐴2|=2𝑎；线段𝐵1𝐵2叫做双曲线的虚轴，它的长|𝐵1𝐵2|=2𝑏(𝑎叫做双曲线的实半轴长，𝑏叫做双曲线的虚半轴长)焦距焦距|𝐹1𝐹2|=2𝑐，𝑐是半焦距离心率221(1)cbeeaa渐近线方程byxaayxb（3）抛物线的标准方程及其几何性质方程标准𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)𝑦2=−2𝑝𝑥(𝑝0)𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝0)𝑥2=−2𝑝𝑦(𝑝0)𝑝的几何意义：焦点𝐹到准线𝑙的距离图形顶点𝑂(0，0)对称轴𝑦=0(𝑥轴)𝑥=0(𝑦轴)焦点,02pF,02pF0,2pF0,2pF离心率𝑒=1OFlyxlyxOFyxlOFyxlOF准线方程2px2px2py2py范围𝑥≥0，𝑦∈𝐑𝑥≤0，𝑦∈𝐑𝑦≥0，𝑥∈𝐑𝑦≤0，𝑥∈𝐑焦半径(其中𝑃(𝑥0，𝑦0)02pPFx02pPFx02pPFy02pPFy4．圆锥曲线的综合问题（1）直线与圆锥曲线的位置关系判断直线𝑙与圆锥曲线𝐶的位置关系时，通常将直线𝑙的方程𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0(𝐴，𝐵不同时为0)代入圆锥曲线𝐶的方程𝐹(𝑥，𝑦)=0，消去𝑦(也可以消去𝑥)得到一个关于变量𝑥(或变量𝑦)的一元方程．即联立0,0AxByCFxy，消去𝑦，得𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0．①当𝑎≠0时，设一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的判别式为𝛥，则𝛥0⇔直线与圆锥曲线𝐶相交；𝛥=0⇔直线与圆锥曲线𝐶相切；𝛥0⇔直线与圆锥曲线𝐶相离．②当𝑎=0，𝑏≠0时，即得到一个一次方程，则直线𝑙与圆锥曲线𝐶相交，且只有一个交点，此时，若𝐶为双曲线，则直线𝑙与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若𝐶为抛物线，则直线𝑙与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．（2）圆锥曲线的弦长设斜率为𝑘(𝑘≠0)的直线𝑙与圆锥曲线𝐶相交于𝑀，𝑁两点，𝑀(𝑥1，𝑦1)，𝑁(𝑥2，𝑦2)，则22212121211[)4MNkxxkxxxx或21212122211114MNyyyyyykk．一、选择题．1．已知直线𝑙1:𝑎𝑥+(𝑎+2)𝑦+1=0 ， 𝑙2:𝑥+𝑎𝑦+2=0(𝑎∈𝐑)，则“1aee”是“12ll∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵直线𝑙1:𝑎𝑥+(𝑎+2)𝑦+1=0，𝑙2:𝑥+𝑎𝑦+2=0，当“𝑎=−2”时，直线𝑙1:−2𝑥+1=0，𝑙2:𝑥−2𝑦+2=0，不满足12ll∥，当“𝑎=0”时，直线𝑙1:2𝑦+1=0，𝑙2:𝑥+2=0，不满足12ll∥，∴当12ll∥时，则2112aaa，解得𝑎=−1或𝑎=2．而由1aee，解得𝑎=−1，所以由“1aee”能推出“12ll∥”；由“12ll∥”不能推出“1aee”，所以“1aee”是“12ll∥”充分不必要条件，故选A．【点评】本题考查了直线平行的条件，属于基础题．2．直线𝑦=𝑥+2和双曲线2213xy的渐近线相交于𝐴，𝐵两点，则线段𝐴𝐵的长度为（）A．26B．6C．23D．3【答案】A【解析】双曲线2213xy的渐近线为33yx，设𝑦=𝑥+2与33yx相交于A点，与33yx相较于B点，经典训练题精题集训（70分钟）由233yxyx，解得𝐴(−3−√3，−√3−1)；由233yxyx，解得𝐵(√3−3，√3−1)，所以|𝐴𝐵|=√(−3−√3−√3+3)2+(−√3−1−√3+1)2=√24=2√6，故选A．【点评】该题考查的是有关两点间距离问题，解题方法如下：（1）先根据双曲线的渐近线方程求得2213xy的渐近线；（2）联立方程组，分别求得对应的交点坐标；（3）利用两点间距离公式求得结果．3．已知⊙𝑀经过坐标原点，半径𝑟=√2，且与直线𝑦=𝑥+2相切，则⊙𝑀的方程为（）A．(𝑥+1)2+(𝑦+1)2=2或(𝑥−1)2+(𝑦−1)2=2B．(𝑥+1)2+(𝑦−1)2=2或(𝑥−1)2+(𝑦+1)2=2C．(𝑥−1)2+(𝑦+1)2=2或(𝑥+√2)2+𝑦2=2D．(𝑥−1)2+(𝑦+1)2=2或(𝑥−√2)2+𝑦2=2【答案】A【解析】设圆心坐标为(𝑎，𝑏)，半径𝑟=√2，因为圆𝑀过坐标原点，且与直线𝑦=𝑥+2相切，所以22222abab，所以𝑎=𝑏=±1，即圆心为(1，1)或(−1，−1)，圆𝑀的方程为(𝑥−1)2+(𝑦−1)2=2或(𝑥+1)2+(𝑦+1)2=2，故选A．【点评】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．4．已知直线𝑙:𝑚𝑥+𝑦+3𝑚−√3=0与圆𝑥2+𝑦2=12交于A，B两点．且A，B在x轴同侧，过A，B分别做x轴的垂线交x轴于C，D两点，O是坐标原点，若|𝐶𝐷|=3，则∠𝐴𝑂𝐵=（）A．6B．3C．2D．23【答案】B【解析】因为直线的方程𝑙:𝑚𝑥+𝑦+3𝑚−√3=0化为𝑚(𝑥+3)+𝑦−√3=0，所以直线𝑙恒过点(−3，√3)，而点(−3，√3)满足𝑥2+𝑦2=12，所以点(−3，√3)在圆𝑥2+𝑦2=12上，不妨设点𝐴(−3，√3)，又|𝐶𝐷|=3，所以点𝐵(0，2√3)，所以22332323AB，又圆𝑥2+𝑦2=12的半径为2√3，所以△𝐴𝑂𝐵是等边三角形，所以3AOB．故选B．【点评】求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成y=𝑘(𝑥−𝑎)+𝑏，将𝑥=𝑎带入原方程之后，所以直线过定点(𝑎，𝑏)；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点．取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点．5．设𝐴(−2，0)，𝐵(2，0)，O为坐标原点，点P满足|𝑃𝐴|2+|𝑃𝐵|2≤16，若直线𝑘𝑥−𝑦+6=0上存在点Q使得6PQO，则实数k的取值范围为（）A．42,42B．,4242,C．55,,22D．55,22【答案】C【解析】设𝑃(𝑥，𝑦)，则|𝑃𝐴|2+|𝑃𝐵|2=(𝑥+2)2+𝑦2+(𝑥−2)2+𝑦2≤16，整理可得𝑥2+𝑦2≤4，故|𝑂𝑃|≤2，在△𝑃𝑄𝑂中，sinsinOQOPQPOPQO，则sin2sin2214sinOPQP