2021届高考数学全国统考版二轮复习梳理纠错预测学案专题九解析几何文解析

本部分考查点主要有：（1）直线间的位置关系、点到线和线到线的距离、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，主要以选择题、填空题的形式出现，选做题当中也会出现直线与圆的位置关系考查；（2）椭圆、抛物线、双曲线的方程与性质的考查，直线与椭圆、抛物线、双曲线位置关系的考查．1．直线方程与圆的方程（1）直线方程的五种形式名称方程形式适用条件点斜式𝑦−𝑦0=𝑘(𝑥−𝑥0)不能表示斜率不存在的直线斜截式𝑦=𝑘𝑥+𝑏两点式112121yyxxyyxx不能表示平行于坐标轴的直线截距式1xyab不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线一般式𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0(𝐴，𝐵不同时为零)可以表示所有类型的直线（2）两条直线平行与垂直的判定①两条直线平行：对于两条不重合的直线𝑙1，𝑙2，若其斜率分别为𝑘1，𝑘2，则有1212//llkk；当直线𝑙1，𝑙2不重合且斜率都不存在时，12//ll．考点清单命题趋势专题9××解析几何②两条直线垂直：如果两条直线𝑙1，𝑙2的斜率存在，设为𝑘1，𝑘2，则有𝑙1⊥𝑙2⇔𝑘1·𝑘2=−1；当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，𝑙1⊥𝑙2．（3）两条直线的交点的求法直线𝑙1：𝐴1𝑥+𝐵1𝑦+𝐶1=0，𝑙2：𝐴2𝑥+𝐵2𝑦+𝐶2=0，则𝑙1与𝑙2的交点坐标就是方程组11122200AxByCAxByC的解．（4）三种距离公式①𝑃1(𝑥1，𝑦1)，𝑃2(𝑥2，𝑦2)两点之间的距离：|𝑃1𝑃2|=√(𝑥2−𝑥1)2+(𝑦2−𝑦1)2．②点𝑃0(𝑥0，𝑦0)到直线𝑙：𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0的距离：0022AxByCdAB．③平行线𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶1=0与𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶2=0间距离：1222CCdAB．（5）圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(𝑥−𝑎)2+(𝑦−𝑏)2=𝑟2(𝑟0)圆心：(𝑎，𝑏)，半径：𝑟一般方程𝑥2+𝑦2+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0，(𝐷2+𝐸2−4𝐹0)圆心：,22DE，半径：22142DEF（6）点与圆的位置关系点𝑀(𝑥0，𝑦0)与圆(𝑥−𝑎)2+(𝑦−𝑏)2=𝑟2的位置关系：①若𝑀(𝑥0，𝑦0)在圆外，则(𝑥0−𝑎)2+(𝑦0−𝑏)2𝑟2．②若𝑀(𝑥0，𝑦0)在圆上，则(𝑥0−𝑎)2+(𝑦0−𝑏)2=𝑟2．③若𝑀(𝑥0，𝑦0)在圆内，则(𝑥0−𝑎)2+(𝑦0−𝑏)2𝑟2．2．直线、圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系(半径为𝑟，圆心到直线的距离为𝑑)相离相切相交图形量化方程观点𝛥0𝛥=0𝛥0几何观点𝑑𝑟𝑑=𝑟𝑑𝑟（2）圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为𝑑，两圆的半径分别为𝑅，𝑟(𝑅𝑟)，则位置关系外离外切相交内切内含公共点个数01210𝑑，𝑅，𝑟的关系𝑑𝑅+𝑟𝑑=𝑅+𝑟𝑅−𝑟𝑑𝑅+𝑟𝑑=𝑅−𝑟𝑑𝑅−𝑟公切线条数432103．圆锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质焦点在𝑥轴上焦点在𝑦轴上标准方程22221(0)xyabab22221(0)yxabab图形焦点坐标𝐹1(−𝑐，0)，𝐹2(𝑐，0)𝐹1(0，−𝑐)，𝐹2(0，𝑐)顶点坐标1,()0Aa，𝐴2(𝑎，0)，1()0,Bb𝐵2(0，𝑏)1()0,Aa，𝐴2(0，𝑎)，1,()0Bb，𝐵2(𝑏，0)长轴长轴𝐴1𝐴2=2𝑎，𝑎是长半轴的长短轴短轴𝐵1𝐵2=2𝑏，𝑏是短半轴的长焦距焦距𝐹1𝐹2=2𝑐，𝑐是半焦距范围|𝑥|≤𝑎，|𝑦|≤𝑏|𝑥|≤𝑏，|𝑦|≤𝑎离心率221(01)cbeeaa，e越接近1，椭圆越扁；𝑒越接近0，椭圆越圆（2）双曲线的标准方程及几何性质标准方程22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab图形一般方程𝑚𝑥2+𝑛𝑦2=1(𝑚𝑛0)几何性质范围|𝑥|≥𝑎，𝑦∈𝐑|𝑦|≥𝑎，𝑥∈𝐑焦点𝐹1(−𝑐，0)，𝐹2(𝑐，0)𝐹1(0，−𝑐)，𝐹2(0，𝑐)顶点𝐴1(−𝑎，0)，𝐴2(𝑎，0)𝐴1(0，−𝑎)，𝐴2(0，𝑎)对称性关于𝑥轴、𝑦轴对称，关于原点中心对称实、虚轴长线段𝐴1𝐴2叫做双曲线的实轴，它的长|𝐴1𝐴2|=2𝑎；线段𝐵1𝐵2叫做双曲线的虚轴，它的长|𝐵1𝐵2|=2𝑏(𝑎叫做双曲线的实半轴长，𝑏叫做双曲线的虚半轴长)焦距焦距|𝐹1𝐹2|=2𝑐，𝑐是半焦距离心率221(1)cbeeaa渐近线方程byxaayxb（3）抛物线的标准方程及其几何性质方程标准𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)𝑦2=−2𝑝𝑥(𝑝0)𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝0)𝑥2=−2𝑝𝑦(𝑝0)𝑝的几何意义：焦点𝐹到准线𝑙的距离图形顶点𝑂(0，0)对称轴𝑦=0(𝑥轴)𝑥=0(𝑦轴)焦点,02pF,02pF0,2pF0,2pF离心率𝑒=1准线方程2px2px2py2pyOFlyxlyxOFyxlOFyxlOF范围𝑥≥0，𝑦∈𝐑𝑥≤0，𝑦∈𝐑𝑦≥0，𝑥∈𝐑𝑦≤0，𝑥∈𝐑焦半径(其中𝑃(𝑥0，𝑦0)02pPFx02pPFx02pPFy02pPFy4．圆锥曲线的综合问题（1）直线与圆锥曲线的位置关系判断直线𝑙与圆锥曲线𝐶的位置关系时，通常将直线𝑙的方程𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0(𝐴，𝐵不同时为0)代入圆锥曲线𝐶的方程𝐹(𝑥，𝑦)=0，消去𝑦(也可以消去𝑥)得到一个关于变量𝑥(或变量𝑦)的一元方程．即联立0,0AxByCFxy，消去𝑦，得𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0．①当𝑎≠0时，设一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的判别式为𝛥，则𝛥0⇔直线与圆锥曲线𝐶相交；𝛥=0⇔直线与圆锥曲线𝐶相切；𝛥0⇔直线与圆锥曲线𝐶相离．②当𝑎=0，𝑏≠0时，即得到一个一次方程，则直线𝑙与圆锥曲线𝐶相交，且只有一个交点，此时，若𝐶为双曲线，则直线𝑙与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若𝐶为抛物线，则直线𝑙与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．（2）圆锥曲线的弦长设斜率为𝑘(𝑘≠0)的直线𝑙与圆锥曲线𝐶相交于𝑀，𝑁两点，𝑀(𝑥1，𝑦1)，𝑁(𝑥2，𝑦2)，则22212121211[)4MNkxxkxxxx或2121212221111[)4MNyyyyyykk．一、选择题．1．椭圆22145xy上的点到长轴两个端点的距离之和最大值为（）A．2B．4C．2√5D．6【答案】D【解析】椭圆上到长轴两个端点的距离之和最大的点是短轴端点，所以最大值为2√𝑎2+𝑏2=6，故选D．【点评】本题考了椭圆的几何性质，属于基础题．2．点𝑃在函数yex的图象上．若满足到直线yxa的距离为√2的点𝑃有且仅有3个，则实数𝑎的值为（）A．2√2B．2√3C．3D．4【答案】C【解析】过函数yex的图象上点𝑃(𝑥0，𝑦0)作切线，使得此切线与直线yxa平行，'yex，于是𝑒𝑥0=1，则𝑥0=0，𝑦0=1，∴𝑃(0，1)，于是当点𝑃到直线yxa的距离为√2时，则满足到直线yxa的距离为√2的点𝑃有且仅有3个，∴1211ad，解得1a或3a．又当1a时，函数yex的图象与直线1yx相切，从而只有两个点到直线距离为√2，所以不满足；故3a，故选C．【点评】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度较大．3．直线𝑎𝑥+𝑦−1=0被圆𝑥2+𝑦2−2𝑥−8𝑦+13=0所截得的弦长为2√3，则𝑎=（）A．43B．34C．3D．2【答案】A经典训练题精题集训（70分钟）【解析】𝑥2+𝑦2−2𝑥−8𝑦+13=0，即(𝑥−1)2+(𝑦−4)2=4，该圆圆心为(1，4)，半径为𝑟=2，直线𝑎𝑥+𝑦−1=0截圆所得的弦长为2√3，则圆心(1，4)到直线𝑎𝑥+𝑦−1=0的距离为2231dr，24111aa，解得43a，故选A．【点评】本题主要考查圆的方程及圆的弦长问题，属于中档题．求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式𝑙=√1+𝑘2⋅|𝑥1−𝑥2|，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解．优先采用几何法．4．已知直线𝑙:𝑚𝑥+𝑦+3𝑚−√3=0与圆𝑥2+𝑦2=12交于A，B两点．且A，B在x轴同侧，过A，B分别做x轴的垂线交x轴于C，D两点，O是坐标原点，若|𝐶𝐷|=3，则∠𝐴𝑂𝐵=（）A．π6B．π3C．π2D．2π3【答案】B【解析】因为直线的方程𝑙:𝑚𝑥+𝑦+3𝑚−√3=0化为𝑚(𝑥+3)+𝑦−√3=0，所以直线𝑙恒过点(−3，√3)，而点(−3，√3)满足𝑥2+𝑦2=12，所以点(−3，√3)在圆𝑥2+𝑦2=12上，不妨设点𝐴(−3，√3)，又|𝐶𝐷|=3，所以点𝐵(0，2√3)，所以|𝐴𝐵|=√(−3)2+(√3−2√3)2=2√3，又圆𝑥2+𝑦2=12的半径为2√3，所以△𝐴𝑂𝐵是等边三角形，所以π3AOB，故选B．【点评】求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成𝑦=𝑘(𝑥−𝑎)+𝑏，将𝑥=𝑎带入原方程之后，所以直线过定点(𝑎，𝑏)；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点．取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点．5．椭圆2222101xymmm的焦点为𝐹1、𝐹2，上顶点为𝐴，若123FAF，则𝑚=（）A．1B．√2C．√3D．2【答案】C【解析】在椭圆2222101xymmm中，𝑎=√𝑚2+1，𝑏=𝑚，𝑐=√𝑎2−𝑏2=1，如下图所示：因为椭圆2222101xymmm的上顶点为点𝐴，焦点为𝐹1、𝐹2，所以|𝐴𝐹1|=|𝐴𝐹2|=𝑎，123FAF，∴△𝐹1𝐴𝐹2为等边三角形，则|𝐴𝐹1|=|𝐹1𝐹2|，即√𝑚2+1=𝑎=2𝑐=2，因此，3m，故选C．【点评】本题考了椭圆焦点三角形的相关计算，属于中档题．6．设𝐹1､𝐹2分别为双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点𝑃，满足212PFFF且𝐹2到直线𝑃𝐹1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A．173B．173C．54D．53【答案】D【解析】依题意212PFFF，可知△𝑃𝐹1𝐹2是一个等腰三角形，𝐹2在直线𝑃𝐹1的投影是中点，根据双曲线定义可知|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=2𝑎，所以|𝑃𝐹1|=2𝑎+2𝑐，由勾股定理可知222212=22FFacac，整理可得3𝑐2−2𝑎𝑐−5𝑎2=0，即3𝑒2−2𝑒−5=0，解得53e，故选D．【点评】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出𝑎，𝑐，代入公式cea；