2021届高考数学全国统考版二轮复习梳理纠错预测学案专题二函数与导数理解析

1．函数的考查主要为函数性质，基本初等函数，函数的应用为主．函数性质主要为函数的奇偶性、单调性、周期性和值域（最值）的考查，常以选择题、填空题的形式出现；基本初等函数的考查一般单独或与不等式结合命题考查，考查的形式主要为填空题和选择题；函数的应用主要为函数零点问题的考查，难度相对较难．2．导数的考查一般是一道大题一道小题的形式出现，小题即为选择题、填空题，主要对导数的几何意义以及导数在研究函数问题中的直接运用；大题即解答题一般以压轴题的形式出现，主要考查导数、不等式、方程等方面的综合运用，难度较大．一、函数1．函数的单调性单调性是函数下定义域上的局部性质，函数单调性常考的等价形式有：若𝑥1≠𝑥2，且𝑥1，𝑥2∈[𝑎，𝑏]，𝑓(𝑥)在[𝑎，𝑏]上单调递增12120fxfxxx(𝑥1−𝑥2)[𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)]0；𝑓(𝑥)在[𝑎，𝑏]上单调递减12120fxfxxx(𝑥1−𝑥2)[𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)]0．2．函数的奇偶性①若𝑓(𝑥)是偶函数，则𝑓(𝑥)=𝑓(−𝑥)；②若𝑓(𝑥)是奇函数，则𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，0在其定义域内，则𝑓(0)=0；考点清单命题趋势专题2××函数与导数③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性．3．函数的周期性①若𝑦=𝑓(𝑥)对𝑥∈𝐑，𝑓(𝑥+𝑎)=𝑓(𝑥−𝑎)或𝑓(𝑥+2𝑎)=𝑓(𝑥)(𝑎0)恒成立，则𝑦=𝑓(𝑥)是周期为2𝑎的周期函数；②若𝑦=𝑓(𝑥)是偶函数，其图象又关于直线𝑥=𝑎对称，则𝑓(𝑥)是周期为2|𝑎|的周期函数；③若𝑦=𝑓(𝑥)是奇函数，其图象又关于直线𝑥=𝑎对称，则𝑓(𝑥)是周期为4|𝑎|的周期函数；④若𝑓(𝑥+𝑎)=−𝑓(𝑥)或1fxafx，则𝑦=𝑓(𝑥)是周期为2|𝑎|的周期函数．4．函数的对称性①若函数𝑦=𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑎+𝑥)=𝑓(𝑎−𝑥)，即𝑓(𝑥)=𝑓(2𝑎−𝑥)，则𝑦=𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=𝑎对称；②若函数𝑦=𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑎+𝑥)=−𝑓(𝑎−𝑥)，即𝑓(𝑥)=−𝑓(2𝑎−𝑥)，则𝑦=𝑓(𝑥)的图象关于点(𝑎，0)对称；③若函数𝑦=𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑎+𝑥)=𝑓(𝑏−𝑥)，则函数𝑓(𝑥)的图象关于直线2abx对称；④若函数𝑦=𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑎+𝑥)=−𝑓(𝑏−𝑥)，则函数𝑓(𝑥)的图象关于直线,02ab对称．5．函数的零点问题（1）函数𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)的零点就是方程𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)的根，即函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象与函数𝑦=𝑔(𝑥)的图象交点的横坐标．（2）确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解．二、导数1．导数的几何意义函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=𝑥0处的导数𝑓′(𝑥0)就是曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(𝑥0，𝑓(𝑥0))处的切线的斜率，即𝑘=𝑓′(𝑥0)．（1）曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(𝑥0，𝑦0)的切线的方程为𝑦−𝑦0=𝑓′(𝑥0)(𝑥−𝑥0)．（2）过点(𝑥0，𝑦0)作曲线𝑦=𝑓(𝑥)的切线，点(𝑥0，𝑦0)不一定是切点，于是对应切线的斜率也不一定是𝑓′(𝑥0)．切点不确定时，一般先设切点坐标，由导数得到切线斜率，写出切线方程后，再利用条件来确定切点坐标，从而得到切线的方程．2．单调性与导数的关系设函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间(𝑎，𝑏)内可导．（1）如果在(𝑎，𝑏)内，恒有𝑓′(𝑥)0，则𝑦=𝑓(𝑥)在此区间是增函数；（2）如果在(𝑎，𝑏)内，恒有𝑓′(𝑥)0，则𝑦=𝑓(𝑥)在此区间是减函数；（3）如果在(𝑎，𝑏)内，恒有𝑓′(𝑥)=0，那么函数𝑦=𝑓(𝑥)在这个区间内是常函数．3．利用导数判断函数单调性的步骤（1）确定定义域（易错点：漏写定义域）；（2）求导函数𝑓′(𝑥)；（3）解𝑓′(𝑥)0（或𝑓′(𝑥)0），得到单调递增（减）区间；（4）在定义域范围内取补集，得到减（增）区间．4．极值的定义（1）函数𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑥=𝑎的函数值比它在点𝑥=𝑎附近的函数值都小，则把𝑎叫做𝑓(𝑥)的极小值点，𝑓(𝑎)叫做𝑓(𝑥)的极小值．若𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑥=𝑎处可导，𝑓′(𝑥)是其导数，就可以用导数描述函数在极小值点附近的特征：𝑓′(𝑎)=0；而且在点𝑥=𝑎附近的左侧𝑓′(𝑥)0，右侧𝑓′(𝑥)0．（2）函数𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑥=𝑏的函数值比它在点𝑥=𝑏附近的函数值都大，则把𝑏叫做𝑓(𝑥)的极大值点，𝑓(𝑏)叫做𝑓(𝑥)的极大值．若𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑥=𝑏处可导，𝑓′(𝑥)是其导数，就可以用导数描述函数在极大值点附近的特征：𝑓′(𝑏)=0；而且在点𝑥=𝑏附近的左侧𝑓′(𝑥)0，右侧𝑓′(𝑥)0．注意：极值点指𝑥的取值，极值指相应的𝑓(𝑥)的取值．5．求可导函数极值的步骤（1）求函数的定义域；（2）求导数，并判断函数的单调性；（3）画表判断函数的极值．6．求函数𝑓(𝑥)在区间[𝑎，𝑏]上的最值得一般步骤（1）求函数𝑦=𝑓(𝑥)在[𝑎，𝑏]内的极值；（2）比较函数𝑦=𝑓(𝑥)的各极值与端点处的函数值𝑓(𝑎)，𝑓(𝑏)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．7．定积分的性质（1）ddbbaakfxxkfxx；（2）dddbbbaaafxgxxfxxgxx；（3）dddbccabafxxgxxfxx．8．常用定积分公式（1）1111dbnnbaaxxxnn；（2）dbbaacxcx；（3）sindcosbbaaxxx；（4）cosdsinbbaaxxx；（5）1dlnbbaaxxx；（6）dbxxbaaexe；（7）dlnbxxbaaaaxa．9．dbafxx的几何意义（1）当𝑓(𝑥)在区间[𝑎，𝑏]上大于0时，dbafxx表示直线𝑥=𝑎，bx(𝑎≠𝑏)，𝑦=0和曲线𝑦=𝑓(𝑥)所围成的曲边梯形的面积，这也是定积分的几何意义；（2）当𝑓(𝑥)在区间[𝑎，𝑏]上小于0时，dbafxx表示直线𝑥=𝑎，bx(𝑎≠𝑏)，𝑦=0和曲线𝑦=𝑓(𝑥)所围成的曲边梯形的面积的相反数；（3）当𝑓(𝑥)在区间[𝑎，𝑏]上有正有负时，dbafxx等于位于𝑥轴上方的曲边梯形的面积减去位于𝑥轴下方曲边梯形的面积．一、选择题．1．函数ln||xyx的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得函数的定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)，设ln||xyfxx，∴ln||ln||xxfxfxxx，即函数ln||xfxx为偶函数，其图象关于𝑦轴对称，故排除B、C选项，当𝑥→+∞时，有0y，故排除A选项，（取𝑥1=𝑒2，𝑥2=𝑒10，𝑥3=𝑒100，则2122ln2eyee，1021010ln10eyee，1003100100ln100eyee，因为𝑥1=𝑒2𝑥2=𝑒10𝑥3=𝑒100，而𝑦1𝑦2𝑦3，故A选项不符合题意）．综上所得D选项符合题意，故选D．经典训练题精题集训（70分钟）【点评】本题考查函数的图象，由函数的性质入手是解决问题的关键，属于基础题．2．函数227,(0)()1log,(0)xxfxxx，若𝑓(𝑎)≤5，则实数𝑎的取值范围是（）A．,10,16B．1,16C．,216,D．,12,【答案】A【解析】𝑓(𝑎)≤5可化为2750aa或21log50aa，解得𝑎≤−1或016a，故选A．【点评】常见解不等式的类型：（1）解一元二次不等式用图象法或因式分解法；（2）分式不等式化为标准型后利用商的符号法则；（3）指对数型不等式化为同底的结构，利用单调性解不等式；（4）含参数的不等式需要分类讨论．3．已知𝑓(𝑥)是定义在R上的函数，𝑓(1+𝑥)=𝑓(1−𝑥)，且当1x时，35xfx，若3log54af，7πcos4bf，212cf，则a，b，c的大小关系是（）A．abcB．acbC．bacD．cba【答案】C【解析】因为𝑓(1+𝑥)=𝑓(1−𝑥)，所以函数𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=1对称，又333log54log2723log2，72coscos442，221242，所以33log543log2aff，722cos2422bfff，2142cff．因为333log24，21222，所以22023log242，又当𝑥≥1时，35xfx为减函数，所以2371coslog5442fff，即𝑏𝑎𝑐，故选C．【点评】比较函数值的大小，利用函数的单调性，通过自变量的大小关系转化为函数值的大小．4．已知函数2sin20201xfxx，其中𝑓′(𝑥)为函数𝑓(𝑥)的导数，则20202020ff20212021ff（）A．0B．2C．2020D．2021【答案】B【解析】22sinsin2020120201xxfxfxxx2202012220202202012020120201xxxxx，所以202020202ff，222202012ln20202020coscos2020120201xxxxfxxx，22212ln20202ln202020202ln202020202020coscoscos1202012020112020xxxxxxfxxxx，所以0fxfx，所以𝑓′(2021)−𝑓′(−2021)=0，所以20202020202120212ffff，故选B．【点评】本题考查函数的对称性和求导函数以及求导函数的奇偶性，解答本题的关键是由解析式求得𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)=2，从而得到202020202ff，求出22ln20202020cos20201xxfxx，得到0fxfx，得到𝑓′(2021)−𝑓′(−2021)=0，考查计算能力，属于中档题．5．已知函数2121xfx，且413xff，则实数𝑥的取值范围是（）A．(2，+∞)B．(,2)C．(1,)D．(−∞，1)【答案】D【解析】因为22ln2021xxfx，所以函数2121xfx在𝐑上单调递减，由于413xff，所以4𝑥−13，得𝑥1，故选D．【点评】判断函数𝑓(𝑥)的单