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高考当中立体几何的考查分选择题、填空题和解答题．其中选择题、填空题的考查主要为：（1）空间几何体的三视图结合几何量（线段长度、表面积、体积等）计算以及利用平面的基本性质及线线、线面、与面面判定定理与性质定理对命题真假的判断．（2）多面体的内切球与外接球的考查．解答题的考查主要为线线、线面、与面面平行和垂直关系的判断与证明以及多面的体积，点到面，线到面的距离为主．1．空间几何体的表面积与体积（1）多面体的表面积𝑆棱柱表=𝑆棱柱侧+2𝑆底，𝑆棱锥表=𝑆棱锥侧+𝑆底，𝑆棱台表=𝑆棱台侧+𝑆上底+𝑆下底．（2）旋转体的表面积①圆柱：𝑆表=2𝜋𝑟(𝑟+𝑙)，其中𝑟为底面半径，𝑙为母线长；②圆锥：𝑆表=𝜋𝑟(𝑟+𝑙)，其中𝑟为底面半径，𝑙为母线长；③圆台：𝑆表=𝜋(𝑟′2+𝑟2+𝑟′𝑙+𝑟𝑙)，其中𝑟′，𝑟为上、下底面半径分别，𝑙为母线长；④球体：𝑆球=4𝜋𝑟2，其中𝑟为球的半径．（3）几何体的体积公式考点清单命题趋势专题8××立体几何①柱体：𝑉柱体=𝑆ℎ，其中𝑆为底面面积，ℎ为高；②椎体：13VSh锥体，其中𝑆为底面面积，ℎ为高；③台体：13VSSSSh台体，其中𝑆′、𝑆分别为上、下底面面积，ℎ为高；④球体：343Vr球，其中𝑟为球的半径．2．空间点、直线、平面之间的位置关系（1）平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在这个平面内．公理2：过不同在一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一直线的两条直线平行．3．直线、平面平行的判定及其性质（1）直线与平面平行的判定定理文字语言：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号语言：𝑎⊄𝛼，𝑏⊂𝛼，𝑎//𝑏⇒𝑎//𝛼．图形语言：如下图．（2）直线与平面平行的性质定理文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．符号语言：𝑎//𝛼，𝑎⊂𝛽，𝛼∩𝛽=𝑏⇒𝑎//𝑏．图形语言：如下图．（3）平面与平面平行的判定定理文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．符号语言：𝑎⊂𝛽，𝑏⊂𝛽，𝑎∩𝑏=𝑃，𝑎//𝛼，𝑏//𝛼⇒𝛼//𝛽．图形语言：如下图．（4）平面与平面平行的性质定理文字语言：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号语言：𝛼//𝛽，𝛾∩𝛼=𝑎，𝛾∩𝛽=𝑏⇒𝑎//𝑏．图形语言：如下图．4．直线、平面垂直的判定及其性质（1）直线与平面垂直的判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言：𝑙⊥𝑎，𝑙⊥𝑏，𝑎⊂𝛼，𝑏⊂𝛼，𝑎∩𝑏=𝑃⇒𝑙⊥𝛼．图形语言：如下图．（2）直线与平面垂直的性质定理文字语言：垂直于同一个平面内的两条直线平行．符号语言：𝑎⊥𝛼，𝑏⊥𝛼⇒𝑎//𝑏．图形语言：如下图．（3）平面与平面垂直的判定定理文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．符号语言：𝑙⊂𝛽，𝑙⊥𝛼⇒𝛼⊥𝛽．图形语言：如下图．（4）平面与平面垂直的性质定理文字语言：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．符号语言：𝛼⊥𝛽，𝛼∩𝛽=𝑙，𝑎⊂𝛼，𝑎⊥𝑙⇒𝑎⊥𝛽．图形语言：如下图．一、选择题．1．如图，小方格是边长为1的小正方形，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球表面积经典训练题精题集训（70分钟）为（）A．32𝜋B．30√2𝜋C．41𝜋D．40√3𝜋【答案】C【解析】根据三视图可得原几何体如图所示，且𝑃𝐻⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑃𝐻=4，𝐻为𝐴𝐵的中点，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，其边长为4．设𝑂1为正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的中心，𝑂2为△𝑃𝐴𝐵的外心，则外接球的球心𝑂满足𝑂𝑂1⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑂𝑂2⊥平面𝑃𝐴𝐵，所以21//HOOO，又𝐻𝑂2⊂平面𝑃𝐴𝐵，故𝑂𝑂2⊥𝐻𝑂2，同理𝑂𝑂1⊥𝐻𝑂1，所以四边形𝐻𝑂2𝑂1𝑂为矩形．在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐻𝑂1=2，在△𝑃𝐴𝐵中，(4−𝑃𝑂2)2+4=𝑃𝑂22，故252PO，故外接球半径为2541442，故外接球的表面积为414414，故选C．【点评】几何体外接球的半径的求法，关键是球心位置的确定，可用球心与各面的外接圆的圆心的连线与此面垂直来确定，如果球心的位置不确定，那么可用补体的方法来确定球心的位置．2．已知平面𝛼，𝛽，直线𝑙，𝑚，且有𝑙⊥𝛼，𝑚⊂𝛽，给出下列命题：①若∥，则𝑙⊥𝑚；②若lm∥，则𝛼⊥𝛽；③若𝛼⊥𝛽，则lm∥；④若𝑙⊥𝑚，则∥．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】对于①：因为∥，𝑙⊥𝛼，所以𝑙⊥𝛽，又𝑚⊂𝛽，所以𝑙⊥𝑚，故正确；对于②：因为lm∥，𝑙⊥𝛼，所以𝑚⊥𝛼，又𝑚⊂𝛽，所以𝛼⊥𝛽，故正确；对于③：因为𝛼⊥𝛽，𝑙⊥𝛼，所以𝑙与𝑚可能平行或异面，故错误；对于④：因为𝑙⊥𝑚，𝑙⊥𝛼，所以m∥或𝑚⊂𝛼，所以∥不一定成立，故错误，故选B．【点评】判断符号语言描述的空间中位置关系的命题的真假：（1）利用定理、定义、公理等直接判断；（2）作出简单图示，利用图示进行说明；（3）将规则几何体作为模型，取其中的部分位置关系进行分析．二、填空题．3．沿正三角形𝐴𝐵𝐶的中线𝐴𝐷翻折，使点𝐵与点𝐶间的距离为√2，若该正三角形边长为2，则四面体𝐴𝐵𝐶𝐷外接球表面积为______．【答案】5π【解析】由题意，折叠后的四面体中，AD⊥CD，AD⊥DB，CD∩DB=D，AD⊥面BCD，且2ABAC，在ADBRt△中，AD＝√3，且BC＝√2，设△BCD的外心为N，外接圆半径r，过N作MN⊥平面BDC，过A作AMDN∥，则四边形ADNM为矩形，3MNAD，∵△BDC中，1BDDC，BC＝√2，故∠BDC＝90°，由正弦定理可得，221r，即22r，则可得外接球球心O在MN的中点，2222315()224RONr，四面体ABCD的外接球表面积245SR，故答案为5π．【点评】本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．三、解答题．4．如图，在三棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶中，已知𝛥𝑆𝐴𝐶是正三角形，𝐺为𝛥𝑆𝐴𝐶的重心，𝐷，𝐸分别为𝑆𝐶，𝐴𝐵的中点，𝐹在𝐴𝐵上，且13AFAB．（1）求证：DE∥平面𝑆𝐺𝐹；（2）若平面SAC平面𝐴𝐶𝐵，2ACBC，∠𝐴𝐶𝐵=120°，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）1．【解析】（1）证明：连接𝐴𝐷，∵𝐷为𝑆𝐶的中点，𝐺为𝛥𝑆𝐴𝐶的重心，∴点𝐺一定在𝐴𝐷上，且23AGAD，∵𝐸为𝐴𝐵的中点，∴12AEAB，又13AFAB，∴12AEAB，即23AFAE，∴AGAFADAE，则GFDE∥，∵𝐺𝐹⊂平面𝑆𝐺𝐹，𝐷𝐸⊄平面𝑆𝐺𝐹，∴DE∥平面𝑆𝐺𝐹．（2）解：延长𝑆𝐺，交𝐴𝐶于𝐻，由题设知，𝐻为𝐴𝐶的中点，∵𝛥𝑆𝐴𝐶是正三角形，∴𝑆𝐻⊥𝐴𝐶，∵平面SAC平面𝐴𝐶𝐵，平面𝑆𝐴𝐶∩平面𝐴𝐶𝐵=𝐴𝐶，𝑆𝐻⊂平面SAC，∴SH平面𝐴𝐶𝐵，即𝑆𝐻为三棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶的高，∵𝐴𝐶=2，∴𝑆𝐻=√3，又2ACBC，120ACB，∴11sin22sin120322ABCSACBCACB△，故1133133SABCABCVSSH△．【点评】本题主要考了空间几何体中，线面平行、线面垂直、面面垂直以及三棱锥的体积，难度适中．5．如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是直角梯形，且𝐴𝐷⊥𝐷𝐶，ADBC∥，𝑃𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐷=4，𝐵𝐶=𝐶𝐷=2，点𝐸为线段𝑃𝐴的靠近点𝑃的三等分点．（1）求证：PC∥平面𝐵𝐷𝐸；（2）若异面直线𝑃𝐴与𝐵𝐶所成的角为45°，求多面体𝐵𝐶𝐷𝐸𝑃的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）409．【解析】（1）连接AC交BD于点O，连接OE．因ABCD是直角梯形，且𝐴𝐷⊥𝐷𝐶，ADBC∥，𝐴𝐷=4，𝐵𝐶=2，所以△𝐴𝐷𝑂和△𝐶𝐵𝑂相似，且有2AOADOCCB，又点E为线段PA的靠近点P的三等分点，有2AEEP，所以有AOAEOCEP，∴𝑂𝐸∥𝐶𝑃，又𝑂𝐸⊂平面𝐵𝐷𝐸，所以𝑃𝐶∥平面𝐵𝐷𝐸．（2）直线PA与BC所成的角为45°，ADBC∥，即∠𝑃𝐴𝐷=45°，又4AD，PD⊥平面ABCD，所以4PDAD．计算得112424832PABCDV，112324243239EABDV．∴多面体体积3240899BCDEPPABCDEABDVVV．【点评】本题考查线面平行的判断定理和多面体体积计算，解题的关键是通过三角形的相似成比例得出平行关系．6．如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，侧面𝑃𝐵𝐶是正三角形，E是𝑃𝐵的中点，且𝐴𝐸⊥平面𝑃𝐵𝐶．（1）证明：PD∥平面𝐴𝐶𝐸；（2）若𝐴𝐵⊥𝐴𝑃，𝑃𝐶=2，求点P到底面𝐴𝐵𝐶𝐷的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）2217．【解析】（1）连接𝐵𝐷角𝐴𝐶于点𝑂，连接𝑂𝐸，因为底面𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，所以𝑂为𝐵𝐷中点，又𝐸是𝑃𝐵的中点，所以EOPD∥，且12EOPD，因为EO平面𝐴𝐶𝐸，𝑃𝐷⊄平面𝐴𝐶𝐸，所以PD∥平面𝐴𝐶𝐸．（2）因为𝐴𝐵⊥𝐴𝑃，𝑃𝐶=2，侧面𝑃𝐵𝐶是正三角形，𝐸是𝑃𝐵的中点，所以2BP，则𝐴𝐵=√2，𝐴𝐸=1，又𝐴𝐸⊥平面𝑃𝐵𝐶，𝐶𝐸⊂平面𝑃𝐵𝐶，所以𝐶𝐸=√22−12=√3，因此𝐴𝐶=√𝐴𝐸2+𝐸𝐶2=2，所以△𝐴𝐵𝐶是底边为√2，腰为2的等腰三角形，因此2212722222ABCS△，设点P到底面𝐴𝐵𝐶的距离为𝑑，由PABCAPBCVV，得1133ABCPBCSdSAE△△，所以12312212772PBCABCSAEdS△△．因此点P到底面𝐴𝐵𝐶的距离为2217，即点P到底面𝐴𝐵𝐶𝐷的距离为2217．【点评】求解空间中点𝑃到平面的距离的方法：（1）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出平面的法向量m，以及一条斜线的方向向量𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，根据PAdmm，即可求出点到面的距离；（2）等体积法：先设所求点到面的距离，选几何体不同的顶点，求出该几何体对应的体积，列出等量关系，即可求出点到面的距离．7．在平行六面体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，已知O为平行四边形𝐵𝐷𝐷1𝐵1的中心，E为1CC的中点．（1）求证：OE∥平面𝐴𝐵𝐶�