2021届高考数学全国统考版二轮复习梳理纠错预测学案专题十一不等式理解析

不等式在高考当中的考查主要是作为选考内容，考查的重点为不等式的证明，绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，恒成立问题，利用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明不等式，柯西不等式的应用等，有时也会作为工具应用在解题当中，总体而言难度不大．知识点1．含绝对值不等式的解法1．绝对值三角不等式（1）定理1：如果𝑎，𝑏是实数，则|𝑎+𝑏|≤|𝑎|+|𝑏|，当且仅当𝑎𝑏≥0时，等号成立；（2）性质：|𝑎|−|𝑏|≤|𝑎±𝑏|≤|𝑎|+|𝑏|；（3）定理2：如果𝑎，𝑏，𝑐是实数，则|𝑎−𝑐|≤|𝑎−𝑏|+|𝑏−𝑐|，当且仅当(𝑎−𝑏)(𝑏−𝑐)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法（1）含绝对值不等式|𝑥|𝑎，|𝑥|𝑎的解法不等式𝑎0𝑎=0𝑎0|𝑥|𝑎{𝑥|−𝑎𝑥𝑎}|𝑥|𝑎{𝑥|𝑥𝑎或𝑥−𝑎}{𝑥|𝑥∈𝐑，且𝑥≠0}𝐑（2）|𝑎𝑥+𝑏|≤𝑐(𝑐0)和|𝑎𝑥+𝑏|≥𝑐(𝑐0)型不等式的解法①|𝑎𝑥+𝑏|≤𝑐⇔−𝑐≤𝑎𝑥+𝑏≤𝑐；②|𝑎𝑥+𝑏|≥𝑐⇔𝑎𝑥+𝑏≥𝑐或𝑎𝑥+𝑏≤−𝑐．（3）|𝑥−𝑎|+|𝑥−𝑏|≥𝑐(𝑐0)和|𝑥−𝑎|+|𝑥−𝑏|≤𝑐(𝑐0)型不等式的解法解法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；解法二：利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想；解法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想．考点清单命题趋势专题11××不等式知识点2：不等式的证明方法1．基本不等式定理一：设𝑎，𝑏∈𝐑，则𝑎2+𝑏2≥2𝑎𝑏，当且仅当𝑎=𝑏时，等号成立．定理二：如果𝑎，𝑏为正数，则2abab，当且仅当𝑎=𝑏时，等号成立．定理三：如果𝑎，𝑏，𝑐为正数，则33abcabc，当且仅当𝑎=𝑏=𝑐时，等号成立．2．不等式的证明方法（1）比较法①作差比较：𝑎𝑏⇔𝑎−𝑏0，𝑎𝑏⇔𝑎−𝑏0；②作商比较：01aabb，01aabb．（2）分析法：从待证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式；（3）综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理证明，推导出所要证明的不等式成立；（4）反证法①作出与所证不等式相反的假设；②从条件出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．（5）放缩法：要证𝑎𝑏，可寻找合适的中间量𝑐有𝑎𝑐，𝑐𝑏，从而证得𝑎𝑏．一、选择题．1．若𝑎，𝑏∈𝐑，则“𝑎+𝑏4”是“a，b至少有一个大于2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当𝑎+𝑏4时，假设a，b都不大于2，即𝑎≤2，𝑏≤2，则𝑎+𝑏≤4，这与𝑎+𝑏4矛盾，所以“𝑎+𝑏4”是“a，b至少有一个大于2”的充分条件；但是，当a，b至少有一个大于2，如𝑎=3，𝑏=1，𝑎+𝑏=4，所以“𝑎+𝑏4”不是“a，b至少有一个大于2”的必要条件，故选A．【点评】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p是𝑞的必要不充分条件，则𝑞对应集合是p对应集合的真子集；（2）若p是𝑞的充分不必要条件，则p对应集合是𝑞对应集合的真子集；（3）若p是𝑞的充分必要条件，则p对应集合与𝑞对应集合相等；（4）若p是𝑞的既不充分又不必要条件，则p对的集合与𝑞对应集合互不包含．2．（多选）若0𝑥𝑦1，则下列结论正确的是（）A．111loglog22xyxyxyB．xxyeeC．nnxy，*nND．loglogxyyx【答案】ABC【解析】因为0𝑥𝑦1，所以0𝑥𝑦1，111yx，所以1111222xyxyxy，所以1121logloglog2loglog22xyxyxyxyxyxyxyxy，故A正确；因为0𝑥𝑦1，所以𝑥0𝑥−𝑦，所以𝑒𝑥𝑒𝑥−𝑦，故B正确；因为0𝑥𝑦1，所以0𝑥𝑛𝑦𝑛1，𝑛∈𝐍∗，故C正确；因为0𝑥𝑦1，所以0log𝑥𝑦log𝑥𝑥=1，log𝑦𝑥log𝑦𝑦=1，经典训练题精题集训（70分钟）所以log𝑥𝑦1log𝑦𝑥，故D错误，故选ABC．【点评】本题主要考了均值不等式的使用条件，属于基础题．二、填空题．3．若𝑥，𝑦满足约束条件20202xyxyx，则3zxy的最大值为__________．【答案】14【解析】由线性约束条件作出可行域如图，由3zxy可得133zyx，作直线01:3lyx，沿可行域的方向平移可知过点𝐴时，3zxy取得最大值，由202xyx，可得24xy，所以2,4A，所以max23414z，故答案为14．【点评】线性规划求最值的常见类型．（1）线性目标函数求最值：转化为直线的截距问题，结合图形求解；（2）分式型目标函数最值：转化为平面区域内的点与定点连线的斜率问题，结合图形求解；（3）平方型目标函数求最值；转为两点间的距离问题，结合图形求解．三、解答题．4．已知函数𝑓(𝑥)=|2𝑥|+|𝑥−1|，𝑥∈𝐑．（1）求2fx的解集；（2）若𝑓(𝑥)=𝑘𝑥有2个不同的实数根，求实数k的取值范围．【答案】（1）{1xx或1}3x；（2）2𝑘3．【解析】（I）31,01,0131,1xxfxxxxx，得0312xx或0112xx或1312xx，解得{1xx或1}3x，所以2fx的解集是{1xx或1}3x．（2）问题转化为yfx与ykx有两个交点，由图易知：20210OAk，3OBACkk，∴𝑘𝑜𝐴𝑘𝑘𝑂𝐵，即2𝑘3．【点评】本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1．直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍．5．已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥+𝑎|+|2𝑥−3|．（1）当1a时，求𝑓(𝑥)的最小值；（2）当,22xaa时，不等式5fxx恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）最小值为52；（2）122,5．【解析】（1）当1a时，23,131234,12332,2xxfxxxxxxx，由解析式可知，𝑓(𝑥)在(−∞，−1)和31,2上单调递减，且在𝑥=−1处连续，在3,2上单调递增，故𝑓(𝑥)在32x处取得最小值，且3522f，所以𝑓(𝑥)的最小值为52．（2）∵𝑥∈[𝑎，2𝑎−2]，∴2𝑎−2𝑎，∴𝑎2，又𝑥∈[𝑎，2𝑎−2]，0xa，2𝑥−30，𝑥+50，∴𝑓(𝑥)≤|𝑥+5|⇒|𝑥+𝑎|+|2𝑥−3|≤|𝑥+5|⇒𝑥+𝑎+2𝑥−3≤𝑥+5．即𝑎≤−2𝑥+8在𝑥∈[𝑎，2𝑎−2]上恒成立，令𝑦=−2𝑥+8在𝑥∈[𝑎，2𝑎−2]上单调递减，min412ya，∴𝑎≤−4𝑎+12，解得125a，综上，𝑎的取值范围为122,5．【点评】本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：①分离参数𝑎≥𝑓(𝑥)恒成立(𝑎≥𝑓(𝑥)max即可)或𝑎≤𝑓(𝑥)恒成立（𝑎≤𝑓(𝑥)min即可）；②数形结合(yfx图象在𝑦=𝑔(𝑥)上方即可)；③讨论最值𝑓(𝑥)min或𝑓(𝑥)max恒成立．6．已知函数3212fxxx，记𝑓(𝑥)最小值为k．（1）求k的值；（2）若a，b，c为正数，且2221abckkk．求证：2222222aabbccabc．【答案】（1）2；（2）证明见解析．【解析】（1）当12x时，313121322222fxxxx；当1322x时，35152122222fxxxx；当32x时，31213422fxxxx．所以𝑓(𝑥)最小值为2k．（2）由题得𝑎2+𝑏2+𝑐2=4，222222222444aabbccabcabcabc2222222222abacbcbcacababcabc．【点评】不等式的证明常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）反证法；（5）数学归纳法；（6）放缩法．要根据已知条件灵活选择合适的方法证明．7．设不等式∣|𝑥+1|−|𝑥−1|∣2的解集为𝐴．（1）求集合𝐴；（2）若𝑎，𝑏，𝑐∈𝐴，证明：11abcabc．【答案】（1）{11}Axx∣；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意得，令2,1112,112,1xfxxxxxx，由|𝑓(𝑥)|2，得11x，即{11}Axx∣．（2）要证11abcabc，只需证|1−𝑎𝑏𝑐||𝑎𝑏−𝑐∣，只需2222221abcabc，只需证1−𝑎2𝑏2𝑐2(1−𝑎2𝑏2)，只需证(1−𝑎2𝑏2)(1−𝑐2)0．由𝑎，𝑏，𝑐∈𝐴，得𝑎2𝑏21，𝑐21，所以(1−𝑎2𝑏2)(1−𝑐2)0恒成立，综上，11abcabc．【点评】本题第二问考查分析法证明不等式，关键是将不等式转化为|1−𝑎𝑏𝑐||𝑎𝑏−𝑐∣，两边平方后，分解因式，再利用（1）的结论证明．8．已知函数𝑓(𝑥)=|2𝑥+1|+|4𝑥−5|的最小值为M．（1）求M；（2）若正实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎+𝑏+𝑐=2𝑀，求：(𝑎+1)2+(𝑏−2)2+(𝑐−3)2的最小值．【答案】（1）72M；（2）3．【解析】（1）164,21526,24564,4xxfxxxxx，如图所示：min7()2fx，∴72M．（2）由（1）知𝑎+𝑏+𝑐=7，∴[(𝑎+1)+(𝑏−2)+(𝑐−3)]2=(𝑎+1)2+(𝑏−2)2+(𝑐−3)2+2(𝑎+1)(𝑏−2)+2(𝑎+1)(𝑐−3)+2(𝑏−2)(𝑐−3)，∴[(𝑎+𝑏+𝑐)−4]2≤3[(𝑎+1)2+(𝑏−2)2+(𝑐−3)2]，∴[7−4]2≤3[(𝑎+1)2+(𝑏−2)2+(𝑐−3)2]，∴(𝑎+1)2+(𝑏−2)2+(𝑐−3)2≥3，当且仅当𝑎=0，𝑏=3𝑐=4时值最小，∴(𝑎+1)2+(𝑏−2)2+(𝑐−3)2的最小值为3．【点评】本题考查绝对值函数及平方平均数与算数平均数的大小关系，属于基础题．9．已知函数()|4||24|fxxx．（1）解不等式3fx；（2）若𝑓(𝑥)