2021届高考数学全国统考版二轮复习梳理纠错预测学案专题十一坐标系与参数方程文解析

本部分内容主要考查极坐标方程与普通方程的互化，参数方程与普通方程的互化；已知直线或曲线的参数方程或极坐标方程，求距离、面积等综合问题，本部分考查难度一般不大．1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点𝑃(𝑥，𝑦)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换,(0):,(0)xxyy的作用下，点𝑃(𝑥，𝑦)对应到点𝑃′(𝑥′，𝑦′)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念在平面内取一个定点𝑂，叫做极点；自极点𝑂引一条射线𝑂𝑥叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点𝑀的极坐标：设𝑀是平面内一点，极点𝑂与点𝑀的距离|𝑂𝑀|叫做点𝑀的极径，记为𝜌；以极轴𝑂𝑥为始边，射线𝑂𝑀为终边的∠𝑥𝑂𝑀叫做点𝑀的极角，记为𝜃．有序数对(𝜌，𝜃)叫做点𝑀的极坐标，记为𝑀(𝜌，𝜃)．一般地，不做特殊说明时，我们认为𝜌≥0，𝜃可取任何实数．注：极坐标(𝜌，𝜃)与(𝜌，𝜃+2𝑘𝜋)(𝑘∈𝐙)表示同一个点．极点𝑂的坐标为(0，𝜃)(𝜃∈𝐑)．若𝜌0，则−𝜌0，规定点(−𝜌，𝜃)与点(𝜌，𝜃)关于极点对称，即(−𝜌，𝜃)与(𝜌，𝜋+𝜃)表示考点清单命题趋势专题11××坐标系与参数方程同一点．如果规定𝜌0，0≤𝜃2𝜋，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(𝜌，𝜃)表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标(𝜌，𝜃)表示的点也是唯一确定的．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数𝜌、𝜃对应唯一点𝑃(𝜌，𝜃)，但平面内任一个点𝑃的极坐标不唯一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，𝑃(𝜌，𝜃)（极点除外）的全部坐标为(𝜌，𝜃＋2𝑘𝜋)或（−𝜌，𝜃＋(2𝑘+1)𝜋），(𝑘∈Z)．极点的极径为0，而极角任意取．若对𝜌、𝜃的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就唯一了，如限定𝜌0，0≤𝜃2𝜋或𝜌0，−𝜋𝜃≤𝜋等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不唯一的．3．极坐标与直角坐标的互化设𝑀是平面内任意一点，它的直角坐标是(𝑥，𝑦)，极坐标是(𝜌，𝜃)，从图中可以得出：cosx，siny，222xy，tan0yxx．4．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程过极点，倾斜角为𝛼的直线（1）𝜃=𝛼(𝜌∈𝐑)和𝜃=𝜋+𝛼(𝜌∈𝐑)（2）𝜃=𝛼(𝜌≥0)和𝜃=𝜋+𝛼(𝜌≥0)过点(𝑎 ， 0)，与极轴垂直的直线𝜌cos𝜃=𝑎过点,2a，与极轴平行的直线𝜌sin𝜃=𝑎(0𝜃𝜋)过点(𝑎 ， 0)，倾斜角为𝛼的直线𝜌sin(𝛼−𝜃)=𝑎sin𝛼圆心为极点，半径为𝑎的圆𝜌=𝑎(0≤𝜃2𝜋)圆心为(𝑎 ， 0)，半径为𝑎的圆2cos22a圆心为,2a，半径为𝑎的圆𝜌=2𝑎sin𝜃(0≤𝜃𝜋)5．参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标𝑥，𝑦都是某个变数𝑡的函数xftygt，并且对于𝑡的每一个允许值，由这个方程所确定的点𝑀(𝑥，𝑦)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数𝑥，𝑦的变数𝑡叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．6．常见曲线的参数方程（1）经过定点𝑃(𝑥0，𝑦0)，倾斜角为2π的直线的参数方程00cossinxxtyyt（𝑡为参数）．设𝑃是直线上的任意一点，则𝑡表示有向线段𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的数量．参数的几何意义是有向线段𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的数量．（2）圆(𝑥−𝑎)2+(𝑦−𝑏)2=𝑟2的参数方程为cossinxarybr（𝜃为参数）；（3）椭圆22221(0)xyabab的参数方程为cossinxayb（𝜑为参数）；椭圆22221(0)yxabab的参数方程为cossinxbya（𝜑为参数）；（4）抛物线𝑦2=2𝑝𝑥参数方程22(2xpttypt为参数，1tant）；参数𝑡的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．7．参数方程与普通方程之间的互化在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．在参数方程与普通方程的互化中，必须使𝑥，𝑦的取值范围保持一致．参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过．根据𝑡的取值范围导出𝑥，𝑦的取值范围．)(),(tgytfx一、选择题．1．极坐标系中，若等边△𝐴𝐵𝐶的两个顶点2,4A、52,4B，那么顶点𝐶的极坐标可能是（）A．323,4B．34,4C．23,D．4,【答案】A【解析】由于等边△𝐴𝐵𝐶的两个顶点2,4A、52,4B，则线段𝐴𝐵的中点为极点𝑂，由等腰三角形三线合一的性质可得𝑂𝐶⊥𝐴𝐵，且3sin42332OCAB，3424，37424，因此，顶点𝐶的极坐标可能是323,4，故选A．【点评】本题考查顶点的极坐标的求法，考查对称、中点坐标公式等基础知识，考查推理论证能力，考查函数与方程思想，是基础题．二、解答题．2．在平面直角坐标系中，曲线𝐶的参数方程为cos1sinxy（𝜃为参数），以坐标原点𝑂为极点，𝑥轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线𝑙的极坐标方程为sin36．（1）求曲线𝐶的普通方程和直线𝑙的直角坐标方程；经典训练题精题集训（70分钟）（2）射线𝑂𝑃的极坐标方程为6，若射线𝑂𝑃与曲线𝐶的交点为𝐴(异于点𝑂)，与直线𝑙的交点为𝐵，求线段𝐴𝐵的长．【答案】（1）𝐶：𝑥2+(𝑦−1)2=1，𝑙：𝑥+√3𝑦−2√3=0；（2）1．【解析】（1）由cos1sinxy，可得2222(1)cossin1xy，所以曲线𝐶的普通方程为𝑥2+(𝑦−1)2=1，由sin36，所以31sincos3022，所以直线𝑙的直角坐标方程为𝑥+√3𝑦−2√3=0．（2）曲线𝐶的方程可化为𝑥2+𝑦2−2𝑦=0，所以曲线𝐶的极坐标方程为𝜌=2sin𝜃，由题意设126,,6AB，，将6代入𝜌=2sin𝜃，𝜌1=1；将6代入sin36，可得𝜌2=2，所以|𝐴𝐵|=|𝜌1−𝜌2|=1．【点评】本题考查弦长公式，一般求弦长的方法包含以下几点：1．直角坐标系下的弦长公式|𝐴𝐵|=√1+𝑘2√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2或212122114yyyyk；2．利用直线参数方程𝑡的几何意义可知|𝐴𝐵|=|𝑡1−𝑡2|；3．极坐标系下，过原点的直线与曲线相交的弦长|𝐴𝐵|=|𝜌1−𝜌2|．3．在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，直线l过点𝑃(0，2)，倾斜角为2．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为𝜌cos2𝜃−2sin𝜃=0．（1）求直线𝑙的参数方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线𝑙交曲线C于A，B两点，M为𝐴𝐵中点，且满足|𝑃𝐴|，|𝑃𝑀|，|𝑃𝐵|成等比数列，求直线𝑙的斜率．【答案】（1）l的参数方程为cos2sinxtyt(t为参数)，C的直角坐标方程为𝑥2=2𝑦；（2）斜率为±2．【解析】（1）因为直线l过点𝑃(0，2)，倾斜角为2，所以直线l的参数方程为cos2sinxtyt(t为参数)；因为2cos2sin，所以22cos2sin，所以曲线C的直角坐标方程为𝑥2=2𝑦．（2）将直线l的参数方程为cos2sinxtyt(t为参数)代入𝑥2=2𝑦，可得22 cos2sin40tt，设A，B所对应的参数为𝑡1，𝑡2，所以1222sincostt，1224costt，因为|𝑃𝐴|，|𝑃𝑀|，|𝑃𝐵|成等比数列，所以212122tttt，即242sincosos4c，解得2tan4，tan2，故直线l的斜率为±2．【点评】解题的关键是熟练掌握极坐标与普通方程、参数方程与普通方程的互化；在利用t的几何意义时，要将直线参数方程的标准形式代入到曲线的直角坐标方程里，方可进行求解，考查计算化简的能力，属基础题．4．在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝐶1的参数方程为3cossinxy(𝛼为参数)．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线𝐶2的极坐标方程为sin24．（1）求曲线𝐶1的普通方程与曲线𝐶2的直角坐标方程；（2）设P为曲线𝐶1上的动点，求点P到𝐶2的距离的最大值，并求此时点P的坐标．【答案】（1）22113:xCy；𝐶2：𝑥+𝑦−2=0；（2）2√2，31,22P．【解析】（1）对于曲线𝐶1有cos3sinxy，所以𝐶1的普通方程为2213xy．对于曲线𝐶2有sin24，2cossin22，coscossin2，即𝐶2的直角坐标方程为𝑥+𝑦−2=0．（2）联立222013xyxy，整理可得4𝑥2−12𝑥+9=0，𝛥=(−12)2−4×4×9=0，所以椭圆𝐶1与直线𝐶2无公共点，设3cos,sinP，点𝑃到直线𝑥+𝑦−2=0的距离为2sin23cossin2322d，当sin13时，𝑑取最大值为2√2，此时点𝑃的坐标为31,22．【点评】本题主要考查极坐标和参数方程的运算，以及点到直线距离公式的使用，属于中档题．5．在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝐶的参数方程为1212xmmymm(𝑚为参数)，以坐标原点𝑂为极点，𝑥轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线𝑙的极坐标方程为cos()24．（1）求直线𝑙的直角坐标方程和曲线𝐶的普通方程；（2）若直线𝑙与曲线𝐶相交于点𝑃，求圆心在极轴上，且经过极点和点𝑃的圆的直角坐标方程．【答案】（1）𝑙:𝑥−𝑦−2=0，:C𝑥2−𝑦2=8；（2）22525()39xy．【解析】（1）曲线C的参数方程为1212xmmymm(m为参数)，两式平方相减得曲线C的普通方程为𝑥2−𝑦2=8．直线l的极坐标方程为cos()24，则(coscossinsin)244，转换为直角坐标方程为𝑥−𝑦−2=0．（2）由22820xyxy，得31xy，所以点P的直角坐标为(3，1)，设圆心为(,0)a，则𝑎2=(𝑎−3)2+1，解得53a，所以，圆的直角坐标方程为22525()