搜索
本部分主要考查均值不等式的应用，含绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，恒成立问题，利用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明不等式，柯西不等式的应用等．总体而言难度不大．知识点1．含绝对值不等式的解法1．绝对值三角不等式（1）定理1：如果𝑎，𝑏是实数，则|𝑎+𝑏|≤|𝑎|+|𝑏|，当且仅当𝑎𝑏≥0时，等号成立；（2）性质：|𝑎|−|𝑏|≤|𝑎±𝑏|≤|𝑎|+|𝑏|；（3）定理2：如果𝑎，𝑏，𝑐是实数，则|𝑎−𝑐|≤|𝑎−𝑏|+|𝑏−𝑐|，当且仅当(𝑎−𝑏)(𝑏−𝑐)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法（1）含绝对值不等式|𝑥|𝑎，|𝑥|𝑎的解法不等式𝑎0𝑎=0𝑎0|𝑥|𝑎{𝑥|−𝑎𝑥𝑎}|𝑥|𝑎{𝑥|𝑥𝑎或𝑥−𝑎}{𝑥|𝑥∈𝐑，且𝑥≠0}𝐑（2）|𝑎𝑥+𝑏|≤𝑐(𝑐0)和|𝑎𝑥+𝑏|≥𝑐(𝑐0)型不等式的解法①|𝑎𝑥+𝑏|≤𝑐⇔−𝑐≤𝑎𝑥+𝑏≤𝑐；②|𝑎𝑥+𝑏|≥𝑐⇔𝑎𝑥+𝑏≥𝑐或𝑎𝑥+𝑏≤−𝑐．（3）|𝑥−𝑎|+|𝑥−𝑏|≥𝑐(𝑐0)和|𝑥−𝑎|+|𝑥−𝑏|≤𝑐(𝑐0)型不等式的解法解法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；解法二：利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想；解法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想．知识点2：不等式的证明方法考点清单命题趋势专题12××不等式选讲1．基本不等式定理一：设𝑎，𝑏∈𝐑，则𝑎2+𝑏2≥2𝑎𝑏，当且仅当𝑎=𝑏时，等号成立．定理二：如果𝑎，𝑏为正数，则2abab，当且仅当𝑎=𝑏时，等号成立．定理三：如果𝑎，𝑏，𝑐为正数，则33abcabc，当且仅当𝑎=𝑏=𝑐时，等号成立．2．不等式的证明方法（1）比较法①作差比较：𝑎𝑏⇔𝑎−𝑏0，𝑎𝑏⇔𝑎−𝑏0；②作商比较：01aabb，01aabb．（2）分析法：从待证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式；（3）综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理证明，推导出所要证明的不等式成立；（4）反证法①作出与所证不等式相反的假设；②从条件出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．（5）放缩法：要证𝑎𝑏，可寻找合适的中间量𝑐有𝑎𝑐，𝑐𝑏，从而证得𝑎𝑏．一、解答题．1．已知函数𝑓(𝑥)=|2𝑥−2|+|𝑥−6|．（1）求不等式𝑓(𝑥)10的解集；（2）记集合𝐴={𝑥|𝑓(𝑥)−√5𝑎=0}，若A，求实数𝑎的取值范围．【答案】（1）2|3xx或6x；（2）5,．【解析】（1）依题意22610xx．当𝑥1时，22610xx，则23x，故23x；当1≤𝑥≤6时，22610xx，则𝑥6，无解；当𝑥6时，22610xx，则𝑥6，故𝑥6，故不等式𝑓(𝑥)10的解集为2|3xx或6x．（2）依题意，5fxa，而38,12264,1638,6xxfxxxxxxx，则可知𝑓(𝑥)min=5，即𝑓(𝑥)的值域为5,，因为A，故√5𝑎≥5，则5a，故实数𝑎的取值范围为5,．【点评】本题考查绝对值不等式的求解，解题的关键是根据绝对值为0时端点分段讨论取绝对值进行求解．2．已知函数()3132fxxx．（1）求不等式𝑓(𝑥)≤5的解集；（2）若关于𝑥的不等式2()29fxaa恒成立，求实数𝑎的取值范围．【答案】（1）213xx；（2）1,52．【解析】（1）𝑓(𝑥)≤5，即为31325xx，经典训练题精题集训（70分钟）等价于133325xxx或21333325xxx或2333325xxx，解得213x，即不等式的解集为213xx．（2）因为()313233325fxxxxx，当且仅当213x时取最小值，所以由2()29fxaa恒成立，可得2295aa，即22950aa，解得152a，故实数𝑎的取值范围是1,52．【点评】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．3．已知函数𝑓(𝑥)=2|𝑥−1|+|𝑥+2|的最小值为m．（1）画出函数𝑓(𝑥)的图象，利用图象写出函数最小值𝑚；（2）若𝑎，𝑏，𝑐∈𝐑，且𝑎+𝑏+𝑐=𝑚，求证：𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎≤3．【答案】（1）图象见解析，最小值为3；（2）证明见解析．【解析】（1）3,22124,213,1xxfxxxxxxx，图象如图所示：由图可知当𝑥=1时𝑓(𝑥)取得最小值𝑚=3．（2）由题意得𝑎+𝑏+𝑐=3，∵𝑎，𝑏，𝑐∈𝐑，222abab，222bcbc，222caac，三式相加并整理得𝑎2+𝑏2+𝑐2≥𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎，两边同时加：2𝑎𝑏+2𝑏𝑐+2𝑐𝑎，并配方得(𝑎+𝑏+𝑐)2≥3(𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎)，∴9≥3(𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎)，∴𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎≤3成立．【点评】本题考查绝对值函数的性质和利用基本不等式证明其它不等式，属基础题．画图象时关键是根据绝对值得零点分段，然后分段绘制函数的图象，证明不等式时要注意使用基本不等式，并注意时当配凑，配方以便使用已知条件证明结论．4．求证：222211112123n．【答案】证明见解析．【解析】证明：因为2111111nnnnn，所以22221111111111231223341nnn111111111122223341nnn．【点评】本题考查了放缩法证明不等式，关键在于放缩的度的掌握，属于中档题．5．若𝑎，𝑏∈𝐑，𝑎𝑏0，𝑎2+𝑏2=1．求证：331abba．【答案】证明见解析．【解析】33442222222()21212ababababababbaabababab，因为𝑎2+𝑏2=1≥2𝑎𝑏，当且仅当𝑎=𝑏时等号成立，所以102ab，设𝑎𝑏=𝑡，112(0)2htttt，2120htt，则ℎ(𝑡)在10,2上单调递减，所以112hth，所以当102ab时，121abab，所以331abba．【点评】证明不等式通常利用通分、因式分解、配方等变形，变形是为了更有利于判断符号．6．已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥−2|+|𝑥|．（1）求不等式𝑓(𝑥)≥𝑥+2的解集；（2）若函数𝑓(𝑥)的最小值为𝑚，正数𝑎，𝑏满足12mab，求222abba的最小值．【答案】（1）,04,；（2）最小值为1．【解析】（1）22,022,0222,2xxfxxxxxx，由𝑓(𝑥)≥𝑥+2，得0222xxx或0222xx或2222xxx，解得𝑥≤0或𝑥≥4，故不等式𝑓(𝑥)≥𝑥+2的解集为,04,．（2）由绝对值三角不等式的性质，可知|𝑥−2|+|𝑥|≥|(𝑥−2)−𝑥|=2，当且仅当𝑥(𝑥−2)≤0时取“=”号，122ab，即𝑏+2𝑎=2𝑎𝑏．222211212222ababababbaabbaba，当且仅当abba，即32ab时取等号，故222abba的最小值为1．【点评】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．一、解答题．1．已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2+1，𝑔(𝑥)=|𝑥−𝑎|−|2𝑥−1|，12a．（1）当12a时，解不等式27()2gx；（2）对任意𝑥1，𝑥2∈𝐑，若不等式𝑓(𝑥1)≥𝑔(𝑥2)恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）,22,；（2）1322a．【解析】（1）当12a时，112122gxxxx，不等式272gx，即21722x，即217||22x，解得𝑥24或23x(舍去)，由𝑥24，解得𝑥−2或𝑥2．所以不等式27()2gx的解集是,22,．（2）由题意知，只需满足𝑓(𝑥)min𝑔(𝑥)max即可．∵𝑓(𝑥)=𝑥2+1，∴𝑓(𝑥)min=1，依题意，当12a时，11,2131,21,xaxgxxaxaxaxa，由一次函数性质知，𝑔(𝑥)在1,2上单调递增，在1,2a和,a上单调递减，max1()12gxga．高频易错题由𝑓(𝑥)min𝑔(𝑥)max，得112a，即32a．所以实数a的取值范围是1322a．【点评】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数𝑦=𝑓(𝑥)，𝑥∈[𝑎，𝑏]，𝑦=𝑔(𝑥)，𝑥∈[𝑐，𝑑]（1）若∀𝑥1∈[𝑎，𝑏]，∀𝑥2∈[𝑐，𝑑]，总有𝑓(𝑥1)𝑔(𝑥2)成立，故𝑓(𝑥)max𝑔(𝑥2)min；（2）若∀𝑥1∈[𝑎，𝑏]，∃𝑥2∈[𝑐，𝑑]，有𝑓(𝑥1)𝑔(𝑥2)成立，故𝑓(𝑥)max𝑔(𝑥2)max；（3）若∃𝑥1∈[𝑎，𝑏]，∃𝑥2∈[𝑐，𝑑]，有𝑓(𝑥1)𝑔(𝑥2)成立，故𝑓(𝑥)min𝑔(𝑥2)max；（4）若∀𝑥1∈[𝑎，𝑏]，∃𝑥2∈[𝑐，𝑑]，有𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2)，则𝑓(𝑥)的值域是𝑔(𝑥)值域的子集．一、解答题．1．已知函数1fxxaxa．（1）当𝑎=2时，求不等式3fx的解集；（2）若不等式𝑓(𝑥)≥𝑚2−𝑚对任意实数𝑥及𝑎恒成立，求实数𝑚的取值范围．【答案】（1）3|4xx或94x；（2）−1≤𝑚≤2．【解析】（1）当𝑎=2时，不等式3fx为1232xx．所以21232xxx或1221232xxx或121232xxx，解得34x或94x，综上所述，不等式的解集为3|4xx或94x．（2）111fxxaxxaxaaaa，精准预测题而1112