2021届高考数学全国统考版二轮复习梳理纠错预测学案专题四函数与导数文解析

1．函数的考查，主要考查函数的性质以及函数零点问题，通常和函数图象结合起来考查，一种是图象的识别，另一种利用图象来分析函数，通过数形结合的思想解决与函数有关的问题．函数零点问题主要考查的形式为函数所在的区间，零点的个数问题，或者是求参数的取值范围问题．2．导数的考查主要分为两种，一种为导数的运算以及导数的几何意义的考查，另一种是利用函数解决函数的单调性，以及极（最）值问题．一、函数1．函数的单调性单调性是函数在定义域上的局部性质，函数单调性常考的等价形式有：若𝑥1≠𝑥2，且𝑥1，𝑥2∈[𝑎，𝑏]，𝑓(𝑥)在[𝑎，𝑏]上单调递增12120fxfxxx(𝑥1−𝑥2)[𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)]0；𝑓(𝑥)在[𝑎，𝑏]上单调递减12120fxfxxx(𝑥1−𝑥2)[𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)]0．2．函数的奇偶性①若𝑓(𝑥)是偶函数，则𝑓(𝑥)=𝑓(−𝑥)；②若𝑓(𝑥)是奇函数，则𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，0在其定义域内，则𝑓(0)=0；③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性．3．函数的周期性①若𝑦=𝑓(𝑥)对xR，𝑓(𝑥+𝑎)=𝑓(𝑥−𝑎)或𝑓(𝑥+2𝑎)=𝑓(𝑥)(𝑎0)恒成立，则𝑦=𝑓(𝑥)是周期为2𝑎的周期函数；②若𝑦=𝑓(𝑥)是偶函数，其图象又关于直线𝑥=𝑎对称，则𝑓(𝑥)是周期为2|𝑎|的周期函数；考点清单命题趋势专题4××函数与导数③若𝑦=𝑓(𝑥)是奇函数，其图象又关于直线𝑥=𝑎对称，则𝑓(𝑥)是周期为4|𝑎|的周期函数；④若𝑓(𝑥+𝑎)=−𝑓(𝑥)或1fxafx，则𝑦=𝑓(𝑥)是周期为2|𝑎|的周期函数．4．函数的对称性①若函数𝑦=𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑎+𝑥)=𝑓(𝑎−𝑥)，即𝑓(𝑥)=𝑓(2𝑎−𝑥)，则𝑦=𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=𝑎对称；②若函数𝑦=𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑎+𝑥)=−𝑓(𝑎−𝑥)，即𝑓(𝑥)=−𝑓(2𝑎−𝑥)，则𝑦=𝑓(𝑥)的图象关于点(𝑎，0)对称；③若函数𝑦=𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑎+𝑥)=𝑓(𝑏−𝑥)，则函数𝑓(𝑥)的图象关于直线2abx对称；④若函数𝑦=𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑎+𝑥)=−𝑓(𝑏−𝑥)，则函数𝑓(𝑥)的图象关于直线,02ab对称．5．函数的零点问题（1）函数𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)的零点就是方程𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)的根，即函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象与函数𝑦=𝑔(𝑥)的图象交点的横坐标．（2）确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解．二、导数1．导数的几何意义函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=𝑥0处的导数𝑓′(𝑥0)就是曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(𝑥0，𝑓(𝑥0))处的切线的斜率，即𝑘=𝑓′(𝑥0)．（1）曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(𝑥0，𝑦0)的切线的方程为𝑦−𝑦0=𝑓′(𝑥0)(𝑥−𝑥0)．（2）过点(𝑥0，𝑦0)作曲线𝑦=𝑓(𝑥)的切线，点(𝑥0，𝑦0)不一定是切点，于是对应切线的斜率也不一定是𝑓′(𝑥0)．切点不确定时，一般先设切点坐标，由导数得到切线斜率，写出切线方程后，再利用条件来确定切点坐标，从而得到切线的方程．2．单调性与导数的关系设函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间(𝑎，𝑏)内可导．（1）如果在(𝑎，𝑏)内，恒有𝑓′(𝑥)0，则𝑦=𝑓(𝑥)在此区间是增函数；（2）如果在(𝑎，𝑏)内，恒有𝑓′(𝑥)0，则𝑦=𝑓(𝑥)在此区间是减函数；（3）如果在(𝑎，𝑏)内，恒有𝑓′(𝑥)=0，那么函数𝑦=𝑓(𝑥)在这个区间内是常函数．3．利用导数判断函数单调性的步骤（1）确定定义域（易错点：漏写定义域）；（2）求导函数𝑓′(𝑥)；（3）解𝑓′(𝑥)0（或𝑓′(𝑥)0），得到单调递增（减）区间；（4）在定义域范围内取补集，得到减（增）区间．4．极值的定义（1）函数𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑥=𝑎的函数值比它在点𝑥=𝑎附近的函数值都小，则把𝑎叫做𝑓(𝑥)的极小值点，𝑓(𝑎)叫做𝑓(𝑥)的极小值．若𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑥=𝑎处可导，𝑓′(𝑥)是其导数，就可以用导数描述函数在极小值点附近的特征：𝑓′(𝑎)=0；而且在点𝑥=𝑎附近的左侧𝑓′(𝑥)0，右侧𝑓′(𝑥)0．（2）函数𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑥=𝑏的函数值比它在点𝑥=𝑏附近的函数值都大，则把𝑏叫做𝑓(𝑥)的极大值点，𝑓(𝑏)叫做𝑓(𝑥)的极大值．若𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑥=𝑏处可导，𝑓′(𝑥)是其导数，就可以用导数描述函数在极大值点附近的特征：𝑓′(𝑏)=0；而且在点𝑥=𝑏附近的左侧𝑓′(𝑥)0，右侧𝑓′(𝑥)0．注意：极值点指𝑥的取值，极值指相应的𝑓(𝑥)的取值．5．求可导函数极值的步骤（1）求函数的定义域；（2）求导数，并判断函数的单调性；（3）画表判断函数的极值．6．求函数𝑓(𝑥)在区间[𝑎，𝑏]上的最值得一般步骤（1）求函数𝑦=𝑓(𝑥)在[𝑎，𝑏]内的极值；（2）比较函数𝑦=𝑓(𝑥)的各极值与端点处的函数值𝑓(𝑎)，𝑓(𝑏)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．一、选择题．1．已知𝑓(𝑥)是定义在𝐑上的奇函数，当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=𝑥2−3𝑥，则函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑥+3的零点的集合为（）A．{1，3}B．{−3，−1，1，3}C．{2−√7，1，3}D．{−2−√7，1，3}【答案】D【解析】因为𝑓(𝑥)是定义在𝐑上的奇函数，当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=𝑥2−3𝑥，所以223,03,0xxxfxxxx，所以2243,043,0xxxgxxxx，由20430xxx，解得𝑥=1或𝑥=3；由20430xxx，解得𝑥=−2−√7或𝑥=−2+√7（舍去），所以函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑥+3的零点的集合为{−2−√7，1，3}，故选D．【点评】函数的奇偶性的运用，分段函数，函数的零点，一元二次方程的解法，难度中等．2．已知函数𝑓(𝑥)的周期为2，当𝑥∈[−1，1]时，𝑓(𝑥)=𝑥2，那么函数𝑓(𝑥)的图象与𝑦=|lg𝑥|函数的图象的交点共有（）A．10个B．9个C．8个D．1个【答案】A【解析】由题可知，如图所示：当𝑥=10时，𝑦=1，根据图象可知，交点个数为10，故选A．【点评】本题考查两函数图象的交点个数，利用数型结合，形象直观，属基础题．经典训练题精题集训（70分钟）3．某食品的保鲜时间𝑦（单位：小时）与储藏温度𝑥（单位：℃）满足函数关系kxbye（2718e．为自然对数的底数，𝑘，𝑏为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．21小时【答案】C【解析】依题有：192=ⅇ𝑏，48=ⅇ22𝑘+𝑏，两式相除得4=ⅇ−22𝑘，解得ln4ln22211k，ln192b，那么ln211xbye，当𝑥=33时，ln2333111922192248byee，故选C．【点评】本题考查指数函数的概念及其性质，考查函数模型在现实生活中的应用，考查整体思想，考查学生应用函数思想解决实际问题的能力．4．设函数31,121,xxxfxx，则满足𝑓(𝑓(𝑎))=2𝑓(𝑎)的𝑎的取值范围是（）A．2,13B．0,1C．2,3D．1,【答案】C【解析】令𝑓(𝑎)=𝑡，则𝑓(𝑡)=2𝑡，当𝑡1时，3𝑡−1=2𝑡，由𝑔(𝑡)=3𝑡−1−2𝑡的导数为𝑔′(𝑡)=3−2𝑡ln2，当𝑡1时，𝑔′(𝑡)0，𝑔(𝑡)在(−∞，1)递增，即有𝑔(𝑡)𝑔(1)=0，则方程无解；当1t时，2𝑡=2𝑡成立，由𝑓(𝑎)≥1，即3𝑎−1≥1，解得23a且𝑎1或𝑎≥1，2𝑎≥1，解得𝑎≥0，即为𝑎≥1，综上所述实数𝑎的取值范围是2,3，故选C．【点评】本题主要考查了分段函数的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、函数的最值等知识点的综合考查，注重考查了分类讨论思想和转化与化归思想，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中构造新的函数𝑔(𝑡)=3𝑡−1−2𝑡，利用新函数的性质是解答的关键．5．已知函数22log,02,0xxfxxxx关于𝑥的方程()fxm，𝑚∈𝐑．有四个不同的实数解𝑥1，𝑥2，𝑥3，𝑥4，则𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4的取值范围为（）A．0,B．10,2C．3(1,)2D．(1,)【答案】B【解析】作函数𝑓(𝑥)的图象如图：结合图象可知，𝑥1+𝑥2=−2，2324loglogxx，故𝑥3𝑥4=1，根据题意，𝑚∈(0，1)，则24 log0,1x，故𝑥4∈(1，2)，则12344412xxxxxx，根据对勾函数1yxx在(1，2)上单调递增，故12344412xxxxxx在(1，2)上单调递增，所以1234441120,2xxxxxx，故选B．【点评】本题考查了函数零点与方程解的关系，考查数形结合思想，对勾函数性质，属于中档题．6．已知函数13,1,01,0,1xxfxxx，且gxfxmxm在1,1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．91,20,42B．111,20,42C．92,20,43D．112,20,43【答案】A【解析】令ℎ(𝑥)=𝑚(𝑥+1)，分别作出𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)的图象如下，由图象知ℎ(𝑥)=𝑚(𝑥+1)是过定点(−1，0)的一条直线，当直线绕着定点转动时，与𝑓(𝑥)图象产生不同的交点．当直线ℎ(𝑥)在𝑥轴和直线𝐴𝐵及切线和直线𝐴𝐶之间时，与𝑓(𝑥)图象产生两个交点，此时924m或102m，故答案选A．【点评】本题考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．7．已知𝑎5且𝑎ⅇ5=5ⅇ𝑎，𝑏4且𝑏ⅇ4=4ⅇ𝑏，𝑐3且𝑐ⅇ3=3ⅇ𝑐，则（）A．cbaB．𝑏𝑐𝑎C．𝑎𝑐𝑏D．𝑎𝑏𝑐【答案】D【解析】因为𝑎ⅇ5=5ⅇ𝑎，𝑎5，故𝑎0，同理𝑏0，𝑐0，令0xefxxx，，则21xexfxx，当0𝑥1时，𝑓′(𝑥)0；当𝑥1时，𝑓′(𝑥)0，故𝑓(𝑥)在0,1为减函数，在1,为增函数，因为𝑎ⅇ5=5ⅇ𝑎，𝑎5，故55aeea，即𝑓(5)=𝑓(𝑎)，而0𝑎5，故0𝑎1，同理0𝑏1，0𝑐1，𝑓(4)=𝑓(𝑏)，𝑓(3)=𝑓(𝑐)，因为𝑓(5)𝑓(4)𝑓(3)，故𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)𝑓