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-1-专题强化三天体运动中的三种问题一、近地卫星、同步卫星及赤道上物体的运行问题1．同步卫星和赤道上物体：角速度相同，同步卫星轨道半径大，则线速度大。2．同步卫星和近地卫星：向心力都是由万有引力提供，是轨道半径不同的两个地球卫星，都满足v＝GMr，因此近地卫星的速度大。3．近地卫星和赤道上物体：做圆周运动的半径相同，由1、2结论可知，近地卫星的线速度最大。4．特别注意：赤道上物体的向心力由万有引力和支持力的合力提供，所以GMmr2＝mv2r不适用。例1(2019·吉林延吉二高模拟)a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，向心加速度为a1；b处于近地轨道上，运行速度为v1；c是地球同步卫星，离地心距离为r，运行速度为v2，加速度为a2；d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，已知地球的半径为R，则有(C)A．a的向心加速度等于重力加速度gB．d的运动周期有可能是20小时C．a1a2＝RrD．v1v2＝rR[解析]本题考查地球表面的物体与卫星做圆周运动时的区别和联系。同步卫星的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据a＝ω2r知，c的向心加速度大。由GMmr2＝ma可知，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则同步卫星的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，故知a的向心加速度小于重力加速度g，故A错误；由开普勒第三定律r3T2＝k，知卫星的半径越大，周期越大，所以d的运行周期大于c的周期24h，故B错误；由a＝ω2r得，a1a2＝Rr，故C正确；由GMmr2＝mv2r得v＝GMr，所以v1v2＝rR，故D错误。方法总结：-2-卫星与赤道上物体运行问题解题技巧同步卫星是近地卫星与赤道上物体的联系桥梁，同步卫星与近地卫星符合相同规律，轨道半径越大，周期T越大，线速度v，角速度ω，向心加速度an越小；同步卫星与赤道上物体有相同的角速度ω和周期T。二、卫星的变轨与对接问题1．卫星的变轨两类变轨离心运动近心运动变轨起因卫星速度突然增大卫星速度突然减小万有引力与向心力的关系GMmr2mv2rGMmr2mv2r轨迹变化由圆变为外切椭圆，或由椭圆变为外切圆由圆变为内切椭圆，或由椭圆变为内切圆速度和加速度变化两个轨道切点的加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度2.卫星的对接在低轨道运行的卫星，加速后可以与高轨道的卫星对接。同一轨道的卫星，不论加速或减速都不能对接。例2(2020·福建漳州一模)(多选)2019年1月3日，“嫦娥四号”月球探测器顺利着陆在月球背面，成为人类首个实现软着陆月背的探测器。着陆前，探测器先在距月球表面高度约为100km的圆轨道上运行；然后在A点实施变轨，使运行轨道变为远月点A高度约为100km和近月点P高度约为15km的椭圆轨道；再在P点实施制动降落月背。下列说法正确的是(BC)A．从圆轨道到椭圆轨道的变轨过程中，探测器的机械能变大B．探测器在椭圆轨道运行时，在P点的速率大于在A点的速率C．探测器在P点时的加速度大于在A点时的加速度D．探测器在椭圆轨道的运行周期大于在圆轨道的运行周期[解析]本题考查变轨时机械能、速率、加速度、周期的变化。“嫦娥四号”在A处变轨进入椭圆轨道是由圆周运动变为近心运动，心须点火减速，线速度变小，动能变小，高度降低引力势能也减小，所以机械能减小，故A错误；探测器在椭圆轨道从A点到P点的过程，距离月球变近，万有引力做正功，动能增大，则探测器在P点的速率大于在A点的速率，故B正确；根据牛顿第二定律有GMmr2＝ma，得a＝GMr2，知距离月球越远，加速度越小，则探测器在-3-P点时的加速度大于在A点时的加速度，故C正确；圆轨道的半径大于椭圆轨道的半长轴，根据开普勒第三定律，轨道半径越大运行周期越长，则探测器在椭圆轨道的运行周期小于在圆轨道的运行周期，故D错误。规律总结：航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨的半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v＝GMr判断。(2)同一航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。(3)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，交点处外轨道的速度大于内轨道的速度。三、卫星的追及相遇问题某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上。由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻。例3(2019·安徽池州联考)A、B两颗人造地球卫星在同一个平面内同向做匀速圆周运动，B星的轨道半径大于A星的轨道半径。A星绕地球做圆周运动的周期为2小时，经观测每过t小时A、B两颗卫星就会相遇(相距最近)一次。则A、B两颗卫星的轨道半径之比为(D)A．＋2t3B．－2t3C．3＋2t2D．3－2t2[解析]本题考查不同轨道卫星相距最近时的轨道半径关系的情况。A星运动的周期为T1＝2h，轨道半径为r1，设B星运动周期为T2，轨道半径为r2，经过t小时A、B两卫星就会相遇一次，表明A星比B星多转一圈，有(2πT1－2πT2)t＝2π，解得T2＝2tt－2小时；根据开普勒第三定律r31T21＝r32T22，得A、B两卫星的轨道半径之比为3－2t2，选项D正确，A、B、C错误。〔专题强化训练〕1．(2019·江苏，4)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、-4-v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则(B)A．v1v2，v1＝GMrB．v1v2，v1GMrC．v1v2，v1＝GMrD．v1v2，v1GMr[解析]卫星绕地球运动，由开普勒第二定律知，近地点的速度大于远地点的速度，即v1v2。若卫星以近地点时的半径做圆周运动，则有GMmr2＝mv2近r，得运行速度v近＝GMr，由于卫星在近地点做离心运动，则v1v近，即v1GMr，选项B正确。2．(多选)已知地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为v1、向心加速度大小为a1，近地卫星线速度大小为v2、向心加速度大小为a2，地球同步卫星线速度大小为v3、向心加速度大小为a3。设近地卫星距地面高度不计，同步卫星距地面高度约为地球半径的6倍。则以下结论正确的是(BCD)A．v2v3＝6B．v1v3＝17C．a2a3＝49D．a1a3＝17[解析]近地卫星和同步卫星都绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有GMmr2＝mv2r，解得v＝GMr，两卫星的轨道半径之比为1∶7，所以v2v3＝71，故A错误；地球赤道上的物体和同步卫星具有相同的周期和角速度，根据v＝ωr，地球的半径与同步卫星的轨道半径之比为1∶7，所以v1v3＝17，故B正确；根据万有引力提供向心力得GMmr2＝ma，a＝GMr2，两卫星的轨道半径之比为1∶7，则a2a3＝49，C正确；同步卫星与随地球自转的物体具有相同的角速度，根据a＝rω2，地球的半径与同步卫星的轨道半径之比为1∶7，所以a1a3＝17，故D正确。3．(2019·安徽六安一中三模)(多选)如图所示，A、B两卫星绕地球运行，运动方向相同，此时两卫星距离最近，其中A是地球同步卫星，轨道半径为r。地球可看成质量均匀分布的球体，其半径为R，自转周期为T。若经过时间t后，A、B第一次相距最远，下列说法正确的是(AC)-5-A．在地球两极，地表重力加速度是4π2r3T2R2B．卫星B的运行周期是2TtT＋tC．卫星B的轨道半径是r32tt＋T2D．若卫星B通过变轨与A对接之后，B的机械能可能不变[解析]本题考查卫星的追及、相遇问题。对于卫星A，根据万有引力提供向心力，可得GMmr2＝m4π2T2r，可得地球的质量M＝4π2r3GT2，在地球两极，根据万有引力等于重力，可得m′g＝GMm′R2，联立解得g＝4π2r3R2T2，故A正确；卫星A的运行周期等于地球自转周期T，设卫星B的周期为T′。当卫星B比卫星A多转半周时，A、B第一次相距最远，则有2πT′t－2πTt＝π，解得T′＝2TtT＋2t，故B错误；根据开普勒第三定律得r3r3B＝T2T′2，解得rB＝r32t2t＋T2，故C正确；卫星B通过变轨与A对接，则需要在原轨道上进行加速，使万有引力不足以提供向心力，做离心运动，运动过程中机械能守恒，则卫星B的机械能增大，故D错误。