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-1-专题强化二平抛运动与圆周运动的综合问题平抛运动与圆周运动的综合问题是高考的重点，主要有两种类型：一是平抛运动与水平面内圆周运动的综合，二是平抛运动与竖直面内圆周运动的综合。在此类问题中，除了应用平抛和圆周运动相关规律，通常还要结合能量关系分析求解，解题的关键是求解平抛与圆周运动衔接点的速度。一、平抛运动与水平面内圆周运动的综合此类问题往往是物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动，解题思路是：(1)分析物体做匀速圆周运动的受力，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。(2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。(3)两种运动衔接点的速度是联系前后两个过程的关键物理量。例1(2020·辽宁东北育才学校一模)如图所示，M是水平放置的足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，规定经过圆心O水平向右为x轴的正方向。在圆心O正上方距盘面高为h处有一个正在间断滴水的容器，从t＝0时刻开始该容器从O点正上方随传送带沿与x轴平行的方向做匀速直线运动，速度大小为v。已知容器在t＝0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面上时再滴一滴水。求：(1)每一滴水经过多长时间落到盘面上；(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘转动的角速度ω应为多大；(3)第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的最大距离x。[解析]本题为圆周运动与自由落体运动相结合的多解问题。(1)水滴在竖直方向上做自由落体运动，有h＝12gt2，解得t＝2hg。(2)分析题意可知，在相邻两滴水的下落时间内，圆盘转过的角度应为nπ(n＝1,2,3，…)，由ωt＝nπ得ω＝nπt＝nπg2h(n＝1,2,3，…)。(3)由运动学公式得，第二滴水落在圆盘上时到O点的距离为x2＝v·2t＝2v2hg，-2-第三滴水落在圆盘上时到O点的距离为x3＝v·3t＝3v2hg，由几何关系可知，当第二滴水与第三滴水在盘面上的落点位于同一直径上圆心两侧时，两点间的距离最大，则x＝x2＋x3＝5v2hg。[答案](1)2hg(2)nπg2h(n＝1,2,3，…)(3)5v2hg二、平抛运动与竖直面内圆周运动的综合此类问题有两种类型：一是先做平抛后做圆周运动；二是先做圆周后做平抛运动，解题的关键是：(1)除了应用平抛和圆周运动相关规律，通常还要结合能量关系分析求解。(2)竖直面内的圆周运动要明确是“轻绳模型”还是“轻杆模型”，注意应用物体到达圆周最高点的临界条件。(3)两种运动衔接点处的速度是联系前后两个过程的关键物理量，注意速度方向与圆周的几何关系。例2(2019·湖南六校联考)如图所示为水上乐园的设施，由弯曲滑道、竖直平面内的圆形滑道、水平滑道及水池组成，圆形滑道外侧半径R＝2m，圆形滑道的最低点的水平入口B和水平出口B′相互错开，为保证安全，在圆形滑道内运动时，要求紧贴内侧滑行。水离水平滑道高度h＝5m。现游客从滑道A点由静止滑下，游客可视为质点，不计一切阻力，重力加速度g取10m/s2，求：(1)起滑点A至少离水平滑道多高？(2)为了保证游客安全，在水池中放有长度L＝5m的安全气垫MN，其厚度不计，满足(1)的游客恰落在M端，要使游客能安全落在气垫上，安全滑下点A距水平滑道的高度取值范围为多少？[解析](1)游客在圆形滑道内侧恰好滑过最高点时，有mg＝mv2R①从A到圆形滑道最高点，由机械能守恒定律得mgH1＝12mv2＋mg·2R②-3-解得H1＝52R＝5m。③(2)落在M点时抛出速度最小，从A到C由机械能守恒定律得mgH1＝12mv21④v1＝2gH1＝10m/s⑤水平抛出，由平抛运动规律可知h＝12gt2⑥得t＝1s则s1＝v1t＝10m落在N点时s2＝s1＋L＝15m则对应的抛出速度v2＝s2t＝15m/s⑦由mgH2＝12mv22得H2＝v222g＝11.25m安全滑下点A距水平滑道高度范围为5m≤H≤11.25m。[答案](1)5m(2)5m≤H≤11.25m〔专题强化训练〕1.(2019·吉林重点中学协作体联考)如图所示，半径为R的圆轮在竖直面内绕中心O点所在水平轴匀速转动，轮上A、B两点各粘有一小物体，当B点转至最低位置时，此时O、A、B、P四点在同一竖直线上，已知OA＝AB，P是地面上的一点，此时A、B两点处的小物体同时脱落，最终落到水平地面上同一点。不计空气阻力，则O、P之间的距离是(A)A．76RB．52RC．5RD．7R[解析]本题考查竖直平面内圆周运动与平抛运动的结合。设O、P之间的距离为h，则A点物体下落的高度为h－12R，A随圆轮运动的线速度为12ωR，设A点物体下落的时间为t1，-4-水平位移为s，则在竖直方向上有h－12R＝12gt21，在水平方向上有s＝12ωR·t1，B点物体下落的高度为h－R，B随圆轮运动的线速度为ωR，设B点物体下落的时间为t2，水平位移也为s，则在竖直方向上有h－R＝12gt22，在水平方向上有s＝ωR·t2，联立解得h＝76R，故选项A正确，B、C、D错误。2．(2019·福建福州质检)(多选)在飞镖游戏中，匀速转动的竖直圆盘边缘有一点A，当A点转到最高点时与A点等高处的飞镖以初速度v0垂直圆盘对准A点水平抛出，恰好击中圆盘上A点，已知飞镖抛出点与圆盘水平距离为L，如图所示，不计空气阻力，下列判断正确的是(AB)A．从飞镖抛出到恰好击中A点的时间为Lv0B．圆盘的直径为gL22v20C．圆盘转动的最大周期为Lv0D．圆盘转动的角速度为2kπv0L(k＝1,2,3，…)[解析]本题考查平抛运动与圆周运动相结合的临界问题。飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，飞镖恰好击中A点，说明A点正好在最低点时被击中，设飞镖飞行的时间为t，由L＝v0t，可得飞镖飞行时间为t＝Lv0，故A正确；在此期间，圆盘转过k＋12(k＝0,1,2，…)圈，则当k＝0时，圆盘转动周期最大，此时T＝2t＝2Lv0，故C错误；设圆盘转动的角速度为ω，在时间t内，圆盘转过的角度为ωt＝(2k＋1)π，解得圆盘转动的角速度为ω＝k＋v0L(k＝0,1,2，…)，故D错误；分析可知，圆盘的直径为飞镖下落的高度，即d＝h＝12gt2＝gL22v20，故B正确。3．(2019·陕西宝鸡月考)如图所示，餐桌中心是一个半径为r＝1.5m的圆盘，圆盘可绕中心轴转动，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘间的动摩擦因数为μ1＝0.6，与餐桌间的动摩擦因数为μ2＝0.225，餐桌离地面的高度为h＝0.8m。设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑-5-动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。(1)为使物体不滑到餐桌上，圆盘的角速度ω的最大值为多少？(2)缓慢增大圆盘的角速度，物体从圆盘上甩出，为使物体不滑落到地面上，餐桌半径R的最小值为多大？(3)若餐桌的半径R′＝2r，则在圆盘角速度缓慢增大时，物体从圆盘上被甩出后滑落到地面上的位置到从圆盘甩出点的水平距离L为多少？[答案](1)2rad/s(2)2.5m(3)2.1m[解析](1)由题意可得，当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时，圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力，所以随着圆盘转速的增大，小物体受到的静摩擦力增大。当静摩擦力最大时，小物体即将滑落，此时圆盘的角速度达到最大，有fm＝μ1N＝mω2rN＝mg联立两式可得ω＝μ1gr＝2rad/s(2)由题意可得，当物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零，对应的餐桌半径取最小值。设物体在餐桌上滑动的位移为s，物体在餐桌上做匀减速运动的加速度大小为a，则a＝fm，f＝μ2mg，得a＝μ2g＝2.25m/s2物体在餐桌上滑动的初速度v0＝ωr＝3m/s由运动学公式得0－v20＝－2as，可得s＝2m由几何关系可得餐桌半径的最小值为R＝r2＋s2＝2.5m(3)当物体滑离餐桌时，开始做平抛运动，平抛的初速度为物体在餐桌上滑动的末速度v′t，由题意可得v′2t－v20＝－2as′由于餐桌半径为R′＝2r，所以s′＝r＝1.5m可得v′t＝1.5m/s物体做平抛运动的时间为t，则h＝12gt2解得t＝2hg＝0.4s物体做平抛运动的水平位移为sx＝v′tt＝0.6m由题意可得L＝s′＋sx＝2.1m