青海省西宁市第四高级中学、第五中学、第十四中学三校2019届高三数学4月联考试题 理

青海省西宁市第四高级中学、第五中学、第十四中学三校2019届高三数学4月联考试题理一、选择题（每小题5分，共60分）1．设i是虚数单位，则复数21ii在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合1{|0}1xAxx„，{0B，1，2，3}，则(AB)A．{1，0，1}B．{0，1}C．{1，0}D．{0}3．已知向量，，且，则（）A．B．C．D．4．已知平面平面，交于直线l，且直线a，直线b，则下列命题错误的是（）A.若ba//，则la//或lb//B.若ba，则la且lbC.若直线ba,都不平行直线l，则直线a必不平行直线bD.若直线ba,都不垂直直线l，则直线a必不垂直直线b5.给出下列四个命题：①命题p：；②的值为0；③若为偶函数，则曲线处的切线方程是．④已知随机变量则．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4．6．已知S为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式63()Sxx的展开式中常数项的系数是()A．20B．20C．203D．607．设实数x，y满足约束条件4210xyxyx„„…，则目标函数1yzx的取值范围是()A．13(,][0,]22B．13[,]42C．11[,]24D．13[,]228．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为()A．833B．8C．6D．4339.已知函数()sin()fxAx(0A，0，0)，其导函数()fx的部分图像如图所示，则函数()fx的解析式为()A．13()4sin()24fxxB．1()4sin()24fxxC．1()4sin()34fxxD．2()4sin()34fxx10．已知命题p：若2a且2b，则abab；命题:0qx，使(1)21xx，则下列命题中为真命题的是()A．pqB．()pqC．()pqD．()()pq11．点P在双曲线22221(0,0)xyabab上，12FF、是这条双曲线的两个焦点，1290FPF，且12FPF的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A．2B．3C．2D．512.如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是()A．323B．3423C．33D．3223二、填空题：（本大题共4小题，共20分）13．设随机变量1~(6,)2XB，则(3)PX．14．已知递减等差数列{}na中，31a，4a为1a，6a等比中项，若nS为数列{}na的前n项和，则7S的值为．15.如图，在ABC中，13ADDC，P是线段BD上一点，若16APmABAC，则实数m的值为．16.若函数，则__________．三．解答题：（本大题共70分）17．(本小题满分12分)已知在ABC中，2BAC，且2ca．（1）求角A，B，C的大小；（2）设数列{}na满足2|cos|nnanC，前n项和为nS，若20nS，求n的值．18．(本小题满分12分)经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：年龄x2832384248525862收缩压y（单位mm)Hg114118122127129135140147其中：1221ˆˆˆ,niiiniixynxybaybxxnx，82117232iix，8147384iiixy（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ˆˆˆybxa；ˆˆ(,ab的值精确到0.01)（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9~1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06~1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12~1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为180mmHg的70岁的老人，属于哪类人群？19.(本小题满分12分)在等腰RtABC中，90BAC，腰长为2，D、E分别是边AB、BC的中点，将BDE沿DE翻折，得到四棱锥BADEC，且F为棱BC中点，2BA．（1）求证：EF平面BAC；（2）在线段AD上是否存在一点Q，使得//AF平面BEQ？若存在，求二面角QBEA的余弦值，若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1(1,0)F、2(1,0)F，若椭圆过点3(1,)2．（1）求椭圆C的方程；（2）若A，B为椭圆的左、右顶点，0(Px，00)(0)yy为椭圆上一动点，设直线AP，BP分别交直线:6lx于点M，N，判断线段MN为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由．21.(本小题满分12分)已知函数xexxxf)1(21)(2，xaxaxxgln)1()(，1a．（1）求曲线)(xf在1x处的切线方程；（2）讨论函数)(xg的极小值；（3）若对任意的]0,1[1x，总存在]3,[2ex，使得)()(21xgxf成立，求实数a的取值范围。请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为212(22xttyt为参数），曲线C的极坐标方程为4cos；（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2）若直线l与曲线C交点分别为A，B，点(1,0)P，求11||||PAPB的值．23．（本小题满分10分）已知函数()|24||1|fxxx，（1）解不等式()9fx„；（2）若不等式()2fxxa的解集为A，2{|30}Bxxx，且满足BA，求实数a的取值范围．三校联考理科数学答案一、选择题BDDBBADBBADD二、填空题：13.516；14.14；15.13；16.6三．解答题：17.解：（1）由已知2BAC，又ABC，所以3B，又由2ca，所以2222422cos33baaaaa，所以222cab，所以ABC为直角三角形，,2236CA，（2）0,2222,nnnnnacosnCcosn为奇数为偶数所以22242*21224020202,3kknkkSSSkN，由222224202643kknS．解得226k，所以2k，所以4n或5n．18.解：（1）由表中数据，可得散点图：（如下）(2)28323842485258621141181221271291351401474512988xy818222147384845129ˆ1723284581180.91129iiiiixynxybxxˆˆ1290.914588.05aybx回归直线方程为ˆ0.9188.05yx．（3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为0.917088.05151.75()mmHg1801.19151.75收缩压为180mmHg的70岁老人为中度高血压人群．19.（1）证明：取AB中点H，连结DH、HF，在等腰RtABC中，90BAC，2ABAC，D、E分别是边AB、BC的中点，1ADBD，又翻折后2AB，翻折后ADBD，且ADB为等腰直角三角形，则DHAB，翻折后DEAD，DEBD，且ADBDD，DE平面ADB，//DEAC，AC平面ADB，则ACDH，又ABACA，DH平面ABC，又//HFAC，//DEAC，且12HFACDE，DEFH是平行四边形，则//EFDH，EF平面ABC；（2）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系Dxyz．则(0A，1，0)，(0B，0，1)，(1E，0，0)，(2C，1，0)，11(1,,)22F，设(0Q，t，0)(01)t剟，则11(0,,1),(1,,0),(1,,)22BQtEQtAF，设平面BQE的法向量为(nx，y，)z，则由00nBQytznEQxty，取1y，则(nt，1，)t，要使//AF平面BEQ，则须1111(,1,)(1,,)02222nAFtttt，13t，即线段AD上存在一点1(0,,0)3Q，使得//AF平面BEQ，设平面BAE的法向量为(mx，y，)z，则由00mAByzmAExy，取1y，则(1m，1，1)，111553333cos,33113339nm，二面角QBEA为锐二面角，其余弦值为53333，即线段AD上存在一点Q（点Q是线段AD上的靠近点D的一个三等分点），使得//AF平面BEQ，此时二面角QBEA的余弦值为53333．20.解：（1）由已知1c，221ab①椭圆过点3(1,)2，229141ab②联立①②得24a，23b，椭圆方程为22143xy；（2）设0(Px，0)y，已知(2,0)A，(2,0)B，00y，02xAP，BP都有斜率0000,22APBPyykkxx，20204APBPykkx，③2200143xy，22003(1)4xy，④将④代入③得20203(1)3444APBPxkkx，设AP方程y=k(x+2)，BP方程3(2)4yxk，3(6,8),(6,)MkNk，由对称性可知，若存在定点，则该定点必在x轴上，设该定点为(,0)Tt，则TMTN，23(6,8)(6,)(6)(24)0TMTNtkttk，2(6)24t，626t，存在定点(626,0)或(626,0)以线段MN为直径的圆恒过该定点．21.解：（1）因为，，切点故曲线在处的切线方程为，即．4分（2）的定义域,2222)1)(()1(11)(xxaxxaxaxxaxaxg，∴当时，或，,，∴在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，∴agxg1)1()(极小，当0a时，agxg1)1()(极小，综上agxg1)1()(极小，……………8分（3）对任意的]0,1[1x，总存在]3,[2ex，使得)()(21xgxf成立，等价于)(xf在]0,1[上的最小值大于)(xg在]3,[e上的最小值，当时，，在上递减，，由（2）知，)(xg在]3,[2ex上递增，eaaeegxg)1()()(min，∴eaae)1(1，即122eeea，又，∴)1,12(2eeea…………12分22.解：（Ⅰ）直线l的参数方程为212(22xttyt为参数），直线l的直角坐标方程为:10lxy．2分曲线C的极坐标方程为4cos，曲线C的直角坐标方程为22:40Cxyx．4分（Ⅱ）将直线l的参数方程为212(22xttyt为参数）代入曲线C的方程，得：2230tt，6分2121212||()414tttttt