青海省西宁市第十四中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理

青海省西宁市第十四中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合22|230,|log12AxxxBxx，则RCAB（）A．1,3B．1,3C．3,5D．1,52．“213k”是“直线ykx与圆22(2)1xy相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设,,mnq是不同的直线，,是两个不同的平面.下列命题中正确的是（）A．若,//,//mmnn，则B．若,,mn，则mnC．,,,mnqmqn，则qD．若//,,mn，则//mn4．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中modNnbm表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如112mod3b表示11除以3后的余数是2．执行该程序框图，则输出的N等于A．7B．8C．9D．105．在等差数列na中，nS表示na的前n项和，若363aa，则8S的值为（）A．3B．8C．12D．246．甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为（）A．23B．29C．14D．137．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A．83π1633B．4π1633C．16343π3D．43π16338．函数y＝2ln||xx的图象大致为()A．B．C．D．9．已知tan24，则sin2（）A．310B．35C．65D．12510．已知A，B分别为椭圆：2214xy的左顶点、下顶点，过点A且斜率为1的直线l与的另一个公共点为C，则BABCuuruuur（）A．185B．195C．4D．21511．已知直三棱柱111ABCABC中，190,1,2ABCABBCCC，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为（）A．35B．35-C．45D．4512．已知椭圆C：22221xyab（0ab）的左，右焦点分别为1F，2F，以2F为圆心的圆过椭圆C的中心，且与C在第一象限交于点P，若直线1PF恰好与圆2F相切于点P，则C的离心率为A．31B．312C．22D．512二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x，y满足约束条件1000xyxyy，则2zxy的最小值为__________.14．三棱锥PABC的四个顶点都在球O上，PA，PB，PC两两垂直，23PAPBPC，球O的体积为______．15．如图，在ABC△中，12021BACABAC，，，D是边BC上一点，2DCBD，则ADBC．16．给出下列说法①函数2xy与函数2logyx互为反函数；②若集合2|440Axkxx中只有一个元素，则1k；③若()2fxx，则2()2fxx；④函数2log(1)yx的单调减区间是(,1)；其中所有正确的序号是___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题10分）已知数列{}na为等差数列，23a，59a.（1）求数列{}na的通项公式;（2）求数列1{3}nna的前n项和nS.18．（本小题12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2212sin2acBac，且22b.（1）求角B的大小；（2）若ABC的面积为S，求S的最大值.19．（本小题12分）如图，四棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.20．（本小题12分）已知抛物线C；22ypx过点1,1A．1求抛物线C的方程；2过点3,1P的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为1k，2k，求证：12kk为定值．21．（本小题12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，π3DAB，ADP△为等边三角形．（1）求证：ADPB．（2）若2AB，6BP，求二面角DPCB的余弦值．22．（本小题12分）已知双曲线2215xy的焦点是椭圆C：22221(0)xyabab的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆C的方程；（2）设动点M，N在椭圆C上，且433MN，记直线MN在y轴上的截距为m，求m的最大值.高二期末理科数学参考答案一、选择题题号123456答案ACABCD题号789101112答案DBBDCA二、填空题13．-214．3615．8316．①④.17．（1）21nan；（2）nnS(n1)31=-?.【解析】(1)设数列na的公差为d，依题意得方程组11349adad解得11,2ad.所以na的通项公式为21nan.（2）由（1）可得113213nnnan，0121133353213nnSn12313133353233213nnnSnn－得1123131321233332131221313nnnnnSnn所以131nnSn.18．（1）4；（2）218.【详解】（1）由2212sin2acBac得：2222sin2cosacBacbacB，即：sincosBB.∴tan1B，又0,B，∴4B.（2）由2222cos22bacacBac，当且仅当ac等号成立.得：224ac.max1221sin248ABCSacBac.19．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．【解析】：（Ⅰ）由已知得.取的中点，连接，由为中点知，.又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取的中点，连结.由得，从而，且.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，，，，，，，.设为平面的一个法向量，则即可取.于是.20．（1）2yx．（2）见解析．【解析】（1）由题意得21p，所以抛物线方程为2yx．（2）设11,Mxy，22,Nxy，直线MN的方程为13xty，代入抛物线方程得230ytyt．所以2280t，12yyt，123yyt．所以121212221212121212111111111111111312yyyykkxxyyyyyyyytt,所以1k，2k是定值．21．（1）见解析（2）0【详解】（1）因为底面ABCD为菱形，且π3DAC，所以ADC为等边三角形．如下图，作BEAD，则E为AD的中点．又因为PAD为等边三角形，所以PEAD．因为PE和BE为平面PBE内的两条相交的直线，所以直线AD平面PBE，又因为PB为面PBE内的直线，所以ADPB．（2）,PADBAD为等边三角形，边长为2，3,6PEBEPB，所以222PEBEPB，PEEB，因为,PEADADBEE，所以PE面ABCD，如图建立空间直角坐标系Exyz，则(0,0,3),(1,0,0),(0,3,0),(2,3,0)PDBC，设平面PCD的法向量为(,,)mxyz，00mPDmDC，即(,,)(1,0,3)0(,,)(1,3,0)0xyzxyz，即3030xzxy，取1z，则3,1xy，(3,1,1)m，设平面PCB的法向量为(,,)nabc，00nPBnBC，即(,,)(0,3,3)0(,,)(2,0,0)0abcabc，即33020bca，取1c，则0,1ab，(0,1,1)n，因为0mn，设二面角DPCB的平面角为，则有cos0.22．(1)2216xy.(2)153.【解析】（Ⅰ）双曲线2215xy的焦点坐标为6,0，离心率为305.因为双曲线2215xy的焦点是椭圆C：22221xyab（0ab）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以6a，且22306aba，解得1b.故椭圆C的方程为2216xy.（Ⅱ）因为4323MN，所以直线MN的斜率存在.因为直线MN在y轴上的截距为m，所以可设直线MN的方程为ykxm.代入椭圆方程2216xy得221612kxkmx2610m.因为22122416kmk2124m22160km，所以221+6mk.设11,Mxy，22,Nxy，根据根与系数的关系得1221216kmxxk，21226116mxxk.则2121MNkxx22121214kxxxx222222411211616mkmkkk.因为433MN，即222222411211616mkmkkk433.整理得42221839791kkmk.令211kt，则21kt.所以221875509ttmt15075189tt75230593.等号成立的条件是53t，此时223k，253m满足2216mk，符合题意.故m的最大值为153.