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-1-磁场对运动电荷的作用(45分钟100分)一、选择题(本题共9小题,每小题6分,共54分,1～6题为单选题,7～9题为多选题)1.处于匀强磁场中的一个带电粒子,仅在磁场力作用下做匀速圆周运动。将该粒子的运动等效为环形电流,那么此电流值()A.与粒子电荷量成正比B.与粒子速率成正比C.与粒子质量成正比D.与磁感应强度成正比【解析】选D。设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T,则环形电流:I==,可见,I与q的平方成正比,与v无关,与B成正比,与m成反比,故选D。2.如图所示,带电小球沿竖直的光滑绝缘圆弧形轨道内侧来回往复运动,匀强磁场方向水平,它向左或向右运动通过最低点时,下列说法错误的是()A.加速度大小相等B.速度大小相等C.所受洛伦兹力大小相等D.轨道对它的支持力大小相等【解析】选D。带电小球沿竖直的光滑绝缘圆弧形轨道向左或向右运动通过最低点的过程中,只有重力做功,机械能守恒,所以通过最低点时速度大小相等,选项B正确;由a=得通过最低点时加速度大小相等,选项A正确;通过最低点时所受洛伦兹力大小F=qvB,选项C正确;向左或向右运动通过最低点时,洛伦兹力方向相反,而合力相等,所以轨道对它的支持力大小不相等,选项D错误。3.(2019·北京高考)如图所示,正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入,从b点射出。下列说法正确的是()-2-A.粒子带正电B.粒子在b点速率大于在a点速率C.若仅减小磁感应强度,则粒子可能从b点右侧射出D.若仅减小入射速率,则粒子在磁场中运动时间变短【解析】选C。根据洛伦兹力用来提供向心力,运动轨迹向力的方向弯曲,根据左手定则:磁场穿入手心,四指指向正电荷运动方向或者负电荷运动反方向,拇指所指方向为洛伦兹力方向,由此可以判断出,粒子带负电,选项A错误;因为洛伦兹力与速度始终垂直,所以洛伦兹力只改变速度的方向,不改变速度的大小,粒子在a、b两点速率相同,选项B错误;由qBv=m解得r=,若只B减小,其他条件不变,半径r变大,粒子从b点右侧射出,选项C正确;根据T==,仅改变入射速率并不影响带电粒子运动周期T,速率减小,半径减小,由图可知,半径减小,在磁场中的轨迹所对应的圆心角先增大后不变,时间先变长后不变,选项D错误。4.中核集团核工业西南物理研究院2019年建成我国新托卡马克装置——中国环流器二号M装置,托卡马克装置意在通过可控热核聚变方式,给人类带来几乎无限的清洁能源,俗称“人造太阳”。要实现可控热核聚变,装置中必须有极高的温度,因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装,而是通过磁约束,使之长时间束缚在某个有限空间内。如图所示,环状磁场的内半径为R1,外半径为R2,磁感应强度大小为B,中空区域内带电粒子的质量为m,电荷量为q,具有各个-3-方向的速度。欲保证带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为R2的区域内,则带电粒子的最大速度为()A.B.C.D.【解析】选B。粒子的速度越大,在磁场中运动的半径越大,如果我们限制了最大半径,就限制了最大速度。本题中欲保证带电粒子都不会穿出磁场的外边,故最大半径为rmax=。根据r=,得vmax=,A、C、D错误,B正确。5.如图所示,在xOy坐标系的第Ⅰ象限中有垂直于纸面向里的匀强磁场,一带电粒子在x轴上的A点垂直于x轴射入磁场,第一次入射速度为v,且经时间t1恰好在O点反向射出磁场,第二次以2v的速度射入,在磁场中的运动时间为t2,则t1∶t2的值为()A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶1【解析】选C。由于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时,洛伦兹力提供向心力,从而得到半径公式:r=,时间:t=T=·,只与粒子偏转的角度有关。由题意知当粒子的速度变为2v时,其半径也变为原来的2倍,则粒子偏转90°后垂直y轴射出。所以==,故A、B、D错误,C正确。-4-【总结提升】本题易错点是:根据粒子运动的周期与粒子的速度无关,容易判断出时间之比为1∶1,但没有考虑到磁场区域只在第Ⅰ象限,粒子还没有到达x轴时已穿出磁场,所以粒子只偏转90°。6.如图所示,在0≤x≤3a的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场,磁感应强度大小为B。在t=0时刻,从原点O发射一束等速率的相同的带电粒子,速度方向与y轴正方向的夹角分布在0°～90°范围内。其中,沿y轴正方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场右边界上P(3a,a)点离开磁场,不计粒子重力,下列说法正确的是()A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为3aB.粒子的发射速度大小为C.带电粒子的比荷为D.带电粒子在磁场中运动的最长时间为2t0【解析】选D。根据题意作出沿y轴正方向发射的带电粒子在磁场中做圆周运动的运动轨迹如图所示,圆心为O′,根据几何关系,可知粒子做圆周运动的半径为r=2a,故A错误;沿y轴正方向发射的粒子在磁场中运动的圆心角为,运动时间t0=,解得:v0=,选项B错误;沿y轴-5-正方向发射的粒子在磁场中运动的圆心角为,对应运动时间为t0,所以粒子运动的周期为T=3t0,由Bqv0=mr,则=,故C错误;在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图所示,由几何知识得该粒子做圆周运动的圆心角为,在磁场中的运动时间为2t0,故D正确。7.(2019·惠州模拟)如图所示,在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场,MN是一竖直放置的感光板。从圆形磁场最高点P以速度v垂直磁场正对着圆心O射入带正电的粒子,且粒子所带电荷量为q、质量为m,不考虑粒子重力,关于粒子的运动,以下说法正确的是()A.粒子在磁场中通过的弧长越长,运动时间也越长B.射出磁场的粒子其出射方向的反向延长线也一定过圆心OC.射出磁场的粒子一定能垂直打在MN上D.只要速度满足v=,入射的粒子出射后一定垂直打在MN上【解析】选B、D。速度不同的同种带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相等,对着圆心入射的粒子,速度越大在磁场中轨道半径越大,弧长越长,轨迹对应的圆心角θ越小,由t=T知,运动时间t越小,故A错误;带电粒子的运动轨迹是圆弧,根据几何知识可知,对着圆心入射的粒子,其出射方向的反向延长线一定过圆心,故B正确;速度不同,半径不同,轨迹对应的圆心角不同,对着圆心入射的粒子,出射后不一定垂直打在MN上,与粒子的速度有关,故C错误;速度-6-满足v=时,粒子的轨迹半径为r==R,入射点、出射点、O点与轨迹的圆心构成菱形,出射点与点O的连线垂直于PO,粒子一定垂直打在MN板上,故D正确。【加固训练】如图所示,圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场,经过Δt时间从C点射出磁场,OC与OB成60°角。现将带电粒子的速度变为,仍从A点沿原方向射入磁场,不计重力,则粒子在磁场中的运动时间变为()A.2ΔtB.ΔtC.3ΔtD.Δt【解析】选A。设圆形磁场区域的半径是R,以速度v射入时,半径r1=,根据几何关系可知,=tan60°,所以r1=R;运动时间Δt=T=T;以速度射入时,半径r2==r1=R设第二次射入时的圆心角为θ,根据几何关系可知:tan==,所以θ=120°则第二次运动的时间为:t=T=T=T=2Δt,故选A。-7-8.如图所示,宽d=4cm的有界匀强磁场,纵向范围足够大,磁感应强度的方向垂直纸面向里,现有一群带正电的粒子从O点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场,若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径均为r=10cm,则()A.右边界:-8cmy8cm有粒子射出B.右边界:y8cm有粒子射出C.左边界:y8cm有粒子射出D.左边界:0y16cm有粒子射出【解析】选A、D。当粒子斜向上进入磁场、运动轨迹与右边界相切,或粒子沿y轴负方向射入磁场时,粒子从右边界射出的范围最大,画出粒子的运动轨迹(如图所示)并根据几何关系可求出,在右边界-8cmy8cm范围内有粒子射出,选项A正确,选项B错误;当粒子斜向上进入磁场,运动轨迹与右边界相切时,可求出粒子从左边界y=16cm处射出,当粒子的速度方向与y轴正方向的夹角减小时,粒子从左边界射出的出射点向下移动,直到夹角为零时,粒子直接从O点沿y轴正方向射出,所以选项C错误,选项D正确。【加固训练】如图所示,一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域,磁场宽度为d,方向垂直纸面向里。一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v0进入磁场。若电子在磁场中运动的轨迹半径为2d。O′在MN上,且OO′与MN垂直。下列判断正确的是()A.电子将向右偏转-8-B.电子打在MN上的点与O′点的距离为dC.电子打在MN上的点与O′点的距离为dD.电子在磁场中运动的时间为【解析】选D。电子带负电,进入磁场后,根据左手定则判断可知,所受的洛伦兹力方向向左,电子将向左偏转,如图所示,A错误;设电子打在MN上的点与O′点的距离为x,则由几何知识得:x=r-=2d-=(2-)d,故B、C错误;设轨迹对应的圆心角为θ,由几何知识得:sinθ==0.5,得θ=,则电子在磁场中运动的时间为t==,故D正确。9.如图所示,在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场,磁场的磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域。若该三角形的两直角边长均为2l,则下列关于粒子运动的说法正确的是()A.若该粒子的入射速度为v=,则粒子一定从CD边射出磁场,且距点C的距离为lB.若要使粒子从CD边射出,则该粒子从O点入射的最大速度应为v=C.若要使粒子从AC边射出,则该粒子从O点入射的最大速度应为v=D.该粒子以不同的速度入射时,在磁场中运动的最长时间为-9-【解析】选A、C、D。若该粒子的入射速度为v=,由Bqv=m解得r=l,根据几何关系可知,粒子一定从CD边距C点为l的位置离开磁场,A正确;v=,速度越大,半径越大,根据几何关系可知,若要使粒子从CD边射出,则粒子速度最大时,轨迹与AD边相切,则由几何关系可知,最大半径一定大于l,B错误;若要使粒子从AC边射出,则该粒子从O点入射的最大半径为,因此最大速度应为v=,C正确;粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为,根据几何关系可知,粒子在磁场中运动的最大圆心角为180°,故最长时间为,D正确。【总结提升】临界问题处理思路(1)许多临界问题,题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示,审题时,一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律,找出临界条件。(2)物理方法:①利用临界条件求极值;②利用边界条件求极值;③利用矢量图求极值。(3)数学方法:①用三角函数求极值;②用一元二次方程根的判别式求极值;③用不等式的性质求极值;④图象法。二、计算题(16分,需写出规范的解题步骤)10.如图所示,在真空中坐标xOy平面的x0区域内,有磁感应强度B=1×10-2T的匀强磁场,方向与xOy平面垂直,在x轴上的P(10,0)点,有一放射源,在xOy平面内向各个方向发射速率v=104m/s的带正电的粒子,粒子的质量为m=1.6×10-25kg,电荷量为q=1.6×10-18C,求带电粒子能打到y轴上的范围。【解析】带电粒子在磁场中运动时由洛伦兹力提供向心力即qvB=m,-10-则R==0.1m如图所示,当带电粒子打到y轴上方的A点与P点连线正好为其圆轨迹的直径时,A点即为粒子能打到y轴上方的最高点因OP=10cm,AP=2R=20cm则OA==10cm当带电粒子的圆轨迹正好与y轴下方相切于B点时,若圆心再向左偏,则粒子就会从纵轴离开磁场而运动不到一个圆周,所以B点即为粒子能打到y轴下方的最低点,易得OB=R=10cm。综上所述,带电粒子能打到y轴上的范围为-10cm～10cm。答案:-10cm～10cm11.(10分)(多选)(2020·衡水模拟)如图所示,直线MN与水平方向成60°角,MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场,左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场,两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点,能水平向右发