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-1-万有引力与航天(45分钟100分)选择题(本题共10小题,每小题6分,共60分,其中每题只有一个选项正确)1.(2020年山东新高考模拟)2019年10月28日发生了天王星冲日现象,即太阳、地球、天王星处于同一直线。此时是观察天王星的最佳时间。已知日地距离为R0,天王星和地球的公转周期分别为T和T0,则天王星与太阳的距离为()A.R0B.R0C.R0D.R0【解析】选A。由开普勒第三定律可知:=,所以R=R0。2.(2019·漳州模拟)我国计划于2022年发射“人造月亮”,届时天空中将会同时出现月亮和“人造月亮”。月亮A和“人造月亮”B绕地球(球心为O)的运动均可视为匀速圆周运动,如图所示,设∠BAO=θ,运动过程中θ的最大正弦值为p,月亮绕地球运动的线速度和周期分别为v1和T1,“人造月亮”绕地球运动的线速度和周期分别为v2和T2,则()A.=,=B.=,=C.=,=-2-D.=,=【解析】选A。由图可知,当AB连线与“人造月亮”的轨道相切时,∠BAO最大,其正弦值也最大,故p=(r人、r月分别为“人造月亮”与月亮绕地球运转的轨道半径)。因为=m,故v=,有:===。又因为=mω2r,故=,有:==,可见A正确,B、C、D错误。3.(2019·海南高考)2019年5月,我国第45颗北斗卫星发射成功。已知该卫星轨道距地面的高度约为36000km,是“天宫二号”空间实验室轨道高度的90倍左右,则()A.该卫星的速率比“天宫二号”的大B.该卫星的周期比“天宫二号”的大C.该卫星的角速度比“天宫二号”的大D.该卫星的向心加速度比“天宫二号”的大【解析】选B。地球的引力提供卫星和空间实验室绕地球做圆周运动的向心力,由G=得v=,所以该卫星的速率比“天宫二号”的小,选项A错误;由G=mr得T=,该卫星的周期比“天宫二号”的大,选项B正确;由G=mω2r得ω=,知-3-该卫星的角速度比“天宫二号”的小,选项C错误;由G=ma,可得该卫星的向心加速度比“天宫二号”的小,选项D错误。4.若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律,在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下,需要验证()A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的【解析】选B。设月球的质量为M月,地球的质量为M,苹果的质量为m,则月球受到的万有引力为F月=,苹果受到的万有引力为F=,由于月球质量和苹果质量之间的关系未知,故二者之间万有引力的关系无法确定,故A错误;根据牛顿第二定律=M月a月,=ma,整理可得a月=a,故B正确;在月球表面处=m′g月,由于月球本身的半径大小及其质量与地球的半径、质量关系未知,故无法求出月球表面和地球表面重力加速度的关系,故C错误;苹果在月球表面受到的引力为F′=,由于月球本身的半径大小及其质量与地球的半径、质量关系未知,故无法求出苹果在月球表面受到的引力与在地球表面受到的引力之间的关系,故D错误。-4-5.卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动,其线速度大小为v。假设航天员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力,物体静止时,弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G,则这颗行星的质量为()A.B.C.D.【解析】选B。由N=mg,得g=,据G=mg和G=m得M=,故选B。6.宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m,半径均为R,四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于四星系统,下列说法错误的是(忽略星体自转)()A.四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B.四颗星的轨道半径均为C.四颗星表面的重力加速度均为GD.四颗星的周期均为2πa【解题指导】在四颗星组成的四星系统中,其中任意一颗星受到其他三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力,根据合力提供向心力,求出星体匀速圆周运动的周期。根据万有引力等于重力,求出星体表面的重力加速度。【解析】选B。星体在其他三个星体的万有引力作用下,合力方向指向对角线的交点,围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动,故A正确。四颗星的轨道半径为r=a,故B错误。根据万有引力等于重力有:G=m′g,则g=G,故C正确。根据万有引力提供向心力G+2Gcos45°=ma,解得T=2πa,D正确,选B。-5-7.为“照亮”“嫦娥四号”“驾临”月球背面之路,一颗承载地月中转通信任务的中继卫星在“嫦娥四号”发射前进入到地月拉格朗日点L2,如图。在该点,地球、月球和中继卫星始终位于同一直线上,且中继卫星绕地球做圆周运动的周期与月球绕地球做圆周运动的周期相同,则()A.中继卫星绕地球做圆周运动的周期为一年B.中继卫星做圆周运动的向心力仅由地球提供C.中继卫星的线速度小于月球运动的线速度D.中继卫星的向心加速度大于月球运动的向心加速度【解析】选D。卫星绕地球做圆周运动的周期与月球绕地球运动的周期相等,都约为27.3天,故A错误;中继卫星做圆周运动的向心力由月球和地球引力的合力提供,故B错误;中继卫星与月球同步绕地球运动,角速度相等,根据v=ωr,知中继卫星的线速度大于月球的线速度,故C错误;根据a=ω2r知,中继卫星的向心加速度大于月球的向心加速度,故D正确。8.如图所示是宇宙空间中某处孤立天体系统的示意图,位于O点的一个中心天体有两颗环绕卫星,卫星质量远远小于中心天体质量,且不考虑两卫星间的万有引力。甲卫星绕O点做半径为r的匀速圆周运动,乙卫星绕O点的运动轨迹为椭圆,半长轴为r、半短轴为,甲、乙均沿顺时针方向运转。两卫星的运动轨迹共面且交于M、N两点。某时刻甲卫星在M处,乙卫星在N处。下列说法正确的是()A.甲、乙两卫星的周期不相等B.甲、乙两卫星各自经过M处时的加速度大小相等C.乙卫星经过M、N处时速率不相等D.甲、乙各自从M点运动到N点所需时间之比为1∶3-6-【解析】选B。由题意可知,甲卫星运动的轨道半径与乙卫星椭圆轨道的半长轴相等,由开普勒第三定律可知,它们运动的周期相等,A错误;万有引力提供向心力,由牛顿第二定律得:G=ma,解得,加速度:a=,两卫星运动到M点时与中心天体的距离相同,故甲卫星经过圆轨道上M点时的加速度与乙卫星经过椭圆轨道上M点时的加速度相同,B正确;在椭圆轨道上,由对称性可知,关于半长轴对称的M和N的速率相等,C错误;设甲、乙卫星运动周期为T,由几何关系可知,∠MON=60°,故对于甲卫星,顺时针从M运动到N,所用时间t甲=,对于乙卫星,顺时针从M运动N,刚好运动半个椭圆,但由于先向远地点运动后返回,速度在远地点运动得慢,在近地点运动得快,所以t乙,故甲、乙各自从M点运动到N点所需时间之比小于1∶3,故D错误。9.北斗卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统,截至2019年6月,我国已成功发射了46颗北斗导航卫星,并成功实现组网。其中A、B两颗北斗导航卫星绕地球做匀速圆周运动,SA、SB表示两卫星与地心的连线在单位时间内扫过的面积,vA、vB表示两卫星运行的速率。下列关系式正确的是()A.SA=SBB.=C.=D.无法确定【解析】选B。卫星绕地球做匀速圆周运动,由牛顿第二定律得:G=m=m()2r,S=,联立解得:S=,所以=,故A、C、D错误,B正确。10.如图,人造卫星M、N在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动。已知M、N连线与M、O连线间的夹角最大为θ,则M、N的运动周期之比等于()-7-A.sin3θB.C.D.【解析】选D。设M、N的轨道半径分别为RM、RN。据题,卫星M、N连线与M、O连线间的夹角最大时,MN连线与卫星N的运行轨道应相切,根据几何关系有RN=RMsinθ,根据开普勒第三定律有:=联立解得=,故D正确。选择题(本题共5小题,每小题8分,共40分,其中每题有多个选项正确)11.(2020·青岛模拟)“太空涂鸦”技术的基本物理模型是:原来在较低圆轨道运行的攻击卫星在变轨后接近在较高圆轨道上运行的侦察卫星时,向其发射“漆雾”弹,“漆雾”弹在临近侦察卫星时,压爆弹囊,让“漆雾”散开并喷向侦察卫星,喷散后强力吸附在侦察卫星的侦察镜头、太阳能板、电子侦察传感器等关键设备上,使之暂时失效。关于这一过程下列说法错误的是()A.攻击卫星在原轨道上运行的周期比侦察卫星的周期大B.攻击卫星到达新轨道后,其动能较原轨道小C.攻击卫星到达新轨道后,其机械能较原轨道增多D.攻击卫星在原轨道需要减速才能变轨接近侦察卫星【解析】选A、D。根据开普勒第三定律=k可知,攻击卫星在原轨道上运行的周期比侦察卫星的周期小,故A错误;根据v=可知攻击卫星到达新轨道时速度变小,根据动能的计算公-8-式可知其动能较原轨道小,故B正确;攻击卫星获得一定的能量后做离心运动,从低轨道向高轨道运动,所以攻击卫星到达新轨道后,其机械能较原轨道增多,故C正确;攻击卫星在原轨道加速后做离心运动,这样才能变轨接近侦察卫星,故D错误。12.(2019·福州模拟)如图,地球与月球可以看作双星系统,它们均绕连线上的C点转动,在该系统的转动平面内有两个拉格朗日点L2、L4(位于这两个点的卫星能在地球引力和月球引力的共同作用下,绕C点做匀速圆周运动,并保持与地球、月球相对位置不变),L2点在地月连线的延长线上,L4点与地球球心、月球球心的连线构成一个等边三角形。我国已发射的“鹊桥”中继卫星位于L2点附近,它为“嫦娥四号”成功登陆月球背面提供了稳定的通信支持。假设L4点有一颗监测卫星,“鹊桥”中继卫星视为在L2点。已知地球的质量为月球的81倍,则()A.地球和月球对监测卫星的引力之比为81∶1B.地球球心和月球球心到C点的距离之比为1∶9C.监测卫星绕C点运行的加速度比月球的大D.监测卫星绕C点运行的周期比“鹊桥”中继卫星的大【解析】选A、C。由万有引力定律F=G可直接得出A是正确的。地月共绕C点转动时,其间的万有引力提供向心力,两球的向心力是一对作用力与反作用力,大小相等。且两球的角速度相等,故有:F=m地ω2r地C=m月ω2r月C,得:==,故B错误。依题给条件,可知监测卫星与月球及“鹊桥”共绕C点的角速度ω相同,因而周期相同,故D错。依正弦定理:=,所以r监Cr月C,又因为a=ω2r,r大的a也大,故a监a月,C正确。13.质量为m的人造卫星在地面上未发射时的重力为G0,它在离地面的距离等于地球半径R的圆形轨道上运行时,()-9-A.周期为4πB.速度为C.动能为G0RD.重力为G0【解析】选A、C。由万有引力提供向心力,则有G=m=mr=ma①由题意可知,r=2R。②质量为m的人造卫星在地面上未发射时的重力为G0,根据万有引力等于重力得:GM=gR2=R2③由①②③解得:周期T=4π,则A正确;由①②③解得速度v=,则B错误;动能为Ek=G0R,则C正确;由a=,则重力为ma=,则D错误。14.如图所示,同步卫星与地心的距离为r,运行速率为v1,向心加速度为a1;地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2,第一宇宙速度为v2,地球半径为R,则下列比值正确的是()A.=B.=-10-C.=D.=【解析】选A、D。因为地球同步卫星的角速度和地球赤道上的物体随地球自转的角速度相同,由a1=ω2r,a2=ω2R得:=,故A正确、B错误;对于地球同步卫星和以第一宇宙速度运动的近地卫星,由万有引力提供做匀速圆周运动所需向心力得到:G=m,G=m解得:=,故D正确,C错误。15.(2019·全国卷Ⅰ)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上,把物体P轻放在弹簧上端,P由静止向下运动,物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧,改用物体Q完成同样的过程,其a-x关系如图中虚线所示,假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍,则()A.M与N的密度相等B.Q的质量是P的3倍C.Q下落过程中的最大动能是P