高等数学电子教案

第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分【授课时数】【学习目标】1、会求有理代数式、有理三角式函数的积分；2、会用简易积分表求不定积分；3、会用不定积分解决简单的实际问题．【重、难点】重点：有理代数式函数的积分，由求特殊的有理代数式函数的积分推广到用待定系数法求有理代数式函数的积分．难点：正确使用积分法求有理三角式函数的积分，由实例讲解方法．总时数：2学时.第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分1.有理代数式函数的定义两个多项式的商表示的函数称为有理代式数函数.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(其中m、n都是非负整数；naaa,,,10及mbbb,,,10都是实数，并且00a，00b.一、有理代数式函数的积分第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn这有理代数函数是真分式；,)2(mn这有理代数函数是假分式．利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例1123xxx.112xx难点将有理代数式函数化为部分分式之和.第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分（1）分母中若有因式，则分解后为kax)(,)()(121axAaxAaxAkkk有理代数式函数化为部分分式之和的一般规律：其中kAAA,,,21都是常数.特殊地：,1k分解后为.axA第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分（2）分母中若有因式，其中kqpxx)(2,则分解后为042qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk21222211)()(其中iiNM,都是常数),,2,1(ki.特殊地：,1k分解后为.2qpxxNMx第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分2．待定系数法6532xxx)3)(2(3xxx,32xBxA),2()3(3xBxAx),23()(3BAxBAx,3)23(,1BABA,65BA6532xxx.3625xx[例1]第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分2)1(1xx,1)1(2xCxBxA)1()1()1(12xCxBxxA代入特殊值来确定系数CBA,,取,0x1A取,1x1B取,2xBA,并将值代入)1(1C.11)1(112xxx2)1(1xx[例2]第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分[例3].1515221542xxx)1)(21(12xx),21)(()1(12xCBxxA,)2()2(12ACxCBxBA,1,02,02CACBBA,51,52,54CBA,1212xCBxxA)1)(21(12xx整理得第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分[例4]求积分.)1(12dxxxdxxx2)1(1dxxxx11)1(112dxxdxxdxx11)1(112.|1|ln11||lnCxxx解第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分[例5]求积分解.)1)(21(12dxxxdxxxdxx2151522154dxxx)1)(21(12dxxdxxxx2211511251|21|ln52.arctan51)1ln(51|21|ln522Cxxx第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分说明将有理代数式函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：)1(多项式；;)()2(naxA.)()3(2nqpxxNMx第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分1．有理三角式函数的定义由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为有理三角式函数．一般记为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx2sec2tan22xx,2tan12tan22xx二、有理三角式函数的积分第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分2sec2tan122xx,2tan12tan122xx令2tanxu,12sin2uux,11cos22uuxuxarctan2duudx212dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR（万能置换公式）2sin2coscos22xxx第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分[例6]求积分.cossin1sindxxxx解,12sin2uux2211cosuux,122duudx由万能置换公式dxxxxcossin1sinduuuu)1)(1(22duuuuuu)1)(1(112222第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分duuuuu)1)(1()1()1(222duuu211duu11uarctan)1ln(212uCu|1|lntan2xu2x|2sec|lnx.|2tan1|lnCx)1(1112211122ududuuuduu第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分[例7]求积分.sin14dxx解（一）,2tanxu,12sin2uux,122duudxdxx4sin1duuuuu46428331Cuuuu]33331[8133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxxduududuuduu2248183183181第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分解（二）可以不用万能置换公式.dxx4sin1dxxx)cot1(csc22xdxxxdx222csccotcsc(cot)dx.cot31cot3Cxx结论比较以上两种解法，便知万能置换不一定是最佳方法，故三角有理式的计算中先考虑其它手段，不得已才用万能置换.第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分讨论类型),,(nbaxxR),,(necxbaxxR解决方法作代换去掉根号.[例8]求积分dxxxx11解令txx1,12txx三、简单无理函数的积分第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分,112tx,1222ttdtdxdxxxx11dttttt2221211222tdttdtt11122Cttt|11|ln2.11ln122Cxxxxx第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分[例9]求积分.1113dxxx解令16xt,65dxdttdxxx3111dtttt52361dttt163Ctttt|1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx说明无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分[例10]求积分.1213dxxxx解先对分母进行有理化原式dxxxxxxxx)1213)(1213()1213(dxxx)1213()13(1331xdx)12(1221xdx.)12(31)13(922323Cxx第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分（1）常用积分公式汇集成的表称为积分表.（2）积分表是按照被积函数的类型来排列的.（4）积分表见教材《高等数学》第254页附录1．（3）求积分时，可根据被积函数的类型直接或经过简单变形后，查得所需结果.四、简单易积分表的使用第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分[例11]求.)43(2dxxx被积函数中含有bax在积分表(一)中查得公式（7）Cbaxbbaxadxbaxx||ln122现在4,3ba于是.434|43|ln91432Cxxdxxx1.直接查表第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分[例12]求.cos451dxx被积函数中含有三角函数在积分表（十）中查得此类公式有两个224,5baba选公式（91）上面公式将代入得4,5baxbadxcosCxbababababa2tancot2ardxxcos451.2tan3cot32Cxar第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分[例13]求.942xxdx表中不能直接查出,需先进行变量代换.令ux2222394ux942xxdx223221uudu223uudu被积函数中含有,322u2.换元后查表第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分在积分表（五）中查得公式（39）22axxdxCaxaxa22||ln1223uuduCuu2233||ln31将代入得xu2942xxdx.943||2ln312Cxx第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分[例14]求.sin4xdx在积分表（十）中查得公式（82）xdxnsinxdxnnnxxnn21sin1cossin利用此公式可使正弦的幂次减少两次，重复使用可使正弦的幂次继续减少，直到求出结果．这个公式叫递推公式．现在4n于是3.递推查表第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分xdx4sinxdxxx23sin434cossinxdx2sin对积分使用公式（82）xdx2sinCxx2sin412xdx4sin434cossin3xx.2sin412Cxx第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分说明初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数.例,2dxex,sindxxx.ln1dxx第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分简单无理式的积分.代数有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）小结积分表的使用.第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十五特殊类型函数的不定积分思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？