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期末复习八图形的初步知识(二)要求知识与方法了解角及角平分线的概念两角互余、互补的概念相交线概念，对顶角的概念垂线、垂线段的概念理解角的表示方法及角的大小比较度、分、秒单位及其换算方法同角或等角的余角(或补角)相等对顶角相等点到直线的距离的概念，直线外一点到直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，能画已知直线的垂线运用计算角的和差时钟中的角度计算问题综合利用角平分线、相交线、垂直、互余(互补)等知识求解角的度数一、必备知识：1．1°＝____________′，1′＝____________″.2．同角或等角的余角____________．____________或____________的补角相等．3．对顶角____________．4．在同一平面内，过一点有一条而且仅有____________直线垂直于已知直线．5．直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，____________最短．从直线外一点到这条直线的____________，叫做点到直线的距离．二、防范点：1．角的三种表示方法不能乱用，特别是用一个顶点字母表示要注意它的局限性．2．”在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线．”这句话中”同一平面内”的条件不能缺失．3．点到直线的距离要和点到点的距离区分开，这里的关键词是”垂线段”和”长度”．角的概念及角的度量例1(1)图中共有角的个数是()A．3B．4C．5D．6(2)将图中的角用不同的方法表示出来，填入下表．表示方式一∠1∠3∠2表示方式二∠4∠DCE(3)15°3′＝________°；120.17°＝________°________′________″.【反思】数角的结论和数线段的结论是相同的．角的表示特别注意一个顶点字母表示时有局限性，不要弄错．对顶角、余角和补角、方位角例2(1)如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，则∠1的对顶角是()A．∠COFB．∠BOFC．∠AOFD．∠BOD(2)已知∠A＝50°，则∠A的余角是________，∠A的补角是________，∠A的补角与余角的差是________．(3)已知一个角的余角等于这个角的2倍，求这个角的补角的度数．(4)如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与OA垂直，则OB的方位角是()A．北偏西30°B．北偏西60°C．东偏北30°D．东偏北60°【反思】(3)这类问题往往用方程思想解决．角的有关计算例3(1)180°－46°42′＝________；28°36′＋72°24′＝________．(2)如图，∠AOD＝86°，∠AOB＝20°，OB平分∠AOC，则∠COD的度数是()A．46°B．43°C．40°D．33°(3)已知OC是∠AOB内部的一条射线，∠AOC＝30°，OE是∠COB的平分线．①如图，当∠COE＝40°时，求∠AOB的度数．②当OE⊥OA时，请在下图中画出射线OE，OB，并直接写出∠AOB的度数．(4)如图，从点O引出6条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，且∠AOB＝100°，OF平分∠BOC，∠AOE＝∠DOE，∠EOF＝140°，求∠COD的度数．【反思】与角有关的计算常用到角平分线、对顶角相等、互余和互补、垂直等知识点，解题过程中要充分运用每一个条件，解题过程中也常用到方程思想．当题目中的图形不确定时，往往要运用分类讨论的数学思想．钟表中的角度计算例4(1)从4点16分到5点40分，时钟的时针转过________°；下午2点24分时，时钟的时针和分针的夹角是________°.(2)如图，已知∠EOD＝70°，射线OC，OB是∠EOA，∠DOA的角平分线．若以OB为钟表上的时针，OC为分针，再经过多少分钟使得∠BOC第一次成90°.【反思】时钟问题关键是搞清楚分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°.有时也常把6°和0.5°理解为分针和时针的速度，用行程问题来解决时钟问题．1．如图，已知点A是射线BE上一点，过点A作CA⊥BE交射线BF于点C，AD⊥BF交射线BF于点D，给出下列结论：①∠1是∠B的余角；②图中互余的角共有3对；③∠1的补角只有∠ACF；④与∠ADB互补的角共有3个．其中正确结论是____________．第1题图2．将一张长方形纸条折成如图所示的形状，BC为折痕．若∠DBA＝70°，则∠ABC＝____________.第2题图3．一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大90度，则这个角的度数是____________．4．如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC＝∠AOD－80°，则∠AOE的度数是____________．第4题图5．如图，O为直线AB上一点，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.(1)图中相等的角是哪几对？(2)图中互余的角是哪几对？(3)图中互补的角是哪几对？第5题图6．如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOC＝∠AOB，射线OD是OB的反向延长线．(1)射线OC的方向是________；(2)求∠COD的度数；(3)若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数．第6题图7．如图，已知∠AOB内部有三条射线OE，OC，OF，其中OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.(1)若∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，求∠EOF的度数；(2)若∠AOB＝α，求∠EOF的度数；(3)若将题中”平分”的条件改为”∠EOB＝13∠COB，∠COF＝23∠COA”，且∠AOB＝α，直接写出∠EOF的度数．第7题图参考答案期末复习八图形的初步知识(二)【必备知识与防范点】1．60602.相等同角等角3.相等4.一条5.垂线段垂线段的长度【例题精析】例1(1)D(2)表示方式一：∠B或∠ABC∠5表示方式二：∠BAC∠ACB∠ACD(3)15.051201012例2(1)B(2)40°130°90°(3)150°(4)B例3(1)133°18′101°(2)A(3)①110°②画图略，150°.(4)20°例4(1)4272(2)25011【校内练习】1．①④【解析】图中互余的角共有4对，∠1与∠CAD，∠1与∠B，∠B与∠BAD，∠BAD与∠CAD，故②错误；∠1的补角有∠ACF和∠DAE，故③错误；①④均正确．2．55°【解析】∠ABC＝180°－70°2＝55°.3．60°4．155°【解析】∵∠AOD＝180°－∠AOC(平角的定义)，∠AOC＝∠AOD－80°(已知)，∴∠AOC＝180°－∠AOC－80°.∴∠AOC＝50°，∠AOD＝130°.∴∠BOD＝∠AOC＝50°(对顶角相等)．∵OE平分∠BOD(已知)，∴∠DOE＝12∠BOD＝25°(角平分线的意义)．∴∠AOE＝∠AOD＋∠DOE＝130°＋25°＝155°.5．(1)∠1＝∠2，∠3＝∠4；(2)∠2与∠4，∠1与∠3，∠2与∠3，∠1与∠4；(3)∠1与∠AON，∠3与∠BOM，∠2与∠AON，∠4与∠BOM，∠AOC与∠BOC.6．(1)北偏东70°(2)∵∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，∴∠BOC＝110°，又∵射线OD是OB的反向延长线，∴∠BOD＝180°，∴∠COD＝180°－110°＝70°.(3)∵∠COD＝70°，OE平分∠COD，∴∠COE＝35°，∵∠AOC＝55°，∴∠AOE＝90°.7．(1)∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝60°.∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∴∠EOC＝12∠BOC＝30°，∠FOC＝12∠AOC＝15°，∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝30°＋15°＝45°.(2)∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∴∠EOC＝12∠BOC，∠FOC＝12∠AOC.∵∠EOF＝∠EOC＋∠FOC，∴∠EOF＝12∠BOC＋12∠AOC＝12(∠BOC＋∠AOC)＝12∠AOB＝12α.(3)∠EOF＝23α.