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第4课时探索规律知识点1探索数、式规律1．[2017·百色]观察以下一列数的特点：0，1，－4，9，－16，25，…，则第11个数是()A．－121B．－100C．100D．1212．[2017·日照]观察图3－2－4中的“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为()图3－2－4A．23B．75C．77D．1393．[2017·铜仁]观察下列关于自然数的式子：4×12－12，①4×22－32，②4×32－52，③…根据上述规律，则第2017个式子的值是()A．8064B．8065C．8066D．80674．[教材习题A组第3题变式]观察下列等式：第1层：1＋2＝3；第2层：4＋5＋6＝7＋8；第3层：9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；第4层：16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24；…在上述的数字宝塔中，从上往下数，2017在第________层．()A．41B．45C．43D．445．[2017·郴州]已知a1＝－32，a2＝55，a3＝－710，a4＝917，a5＝－1126，…，则a8＝________．6．[2017·沧州模拟]观察下面两行数：2，4，8，16，32，64，…①5，7，11，19，35，67，…②根据你发现的规律，取每行数的第10个数，求得它们的和是________(要求写出最后的计算结果)．7．观察下列关于自然数的等式：32－4×12＝5；①52－4×22＝9；②72－4×32＝13；③…根据上述规律解决下列问题：(1)完成第四个等式：92－4×______2＝______；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的代数式表示)．知识点2探索图形规律8．[2017·黔西南州]如图3－2－5，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是()图3－2－5A．71B．78C．85D．899．[2017·重庆A卷]图3－2－6所示的图形都是由同样大小的平行四边形按照一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有3个平行四边形，第2个图形中一共有7个平行四边形，第3个图形中一共有13个平行四边形，…，按此规律排列下去，第9个图形中平行四边形的个数为()图3－2－6A．73B．81C．91D．10910.[2017·天水]观察图3－2－7中的“蜂窝图”：图3－2－7则第n个图案中的“”的个数是________．(用含有n的代数式表示)11．[2017·白银]如图3－2－8，每个图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为________，第2017个图形的周长为________．图3－2－812．图3－2－9所示的图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸．图3－2－9(1)第1个图中所贴剪纸“○”的个数为________，第2个图中所贴剪纸“○”的个数为________，第3个图中所贴剪纸“○”的个数为________；(2)用代数式表示第n个图中所贴剪纸“○”的个数，并求当n＝100时，所贴剪纸“○”的个数．13．[2017·武汉]按照一定规律排列的n个数：－2，4，－8，16，－32，64，…，若最后三个数的和为768，则n为()A．9B．10C．11D．1214．[2017·自贡]填在图3－2－10所示的各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为()图3－2－10A．180B．182C．184D．18615.[2017·扬州]在一列数：a1，a2，a3，…，an中，a1＝3，a2＝7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2017个数是()A．1B．3C．7D．916.[2017·德州]观察图3－2－11所示的图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如第1个图)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法(如第2个图，第3个图)，…，将这种做法继续下去，则第6个图中挖去的三角形的个数为()图3－2－11A．121B．362C．364D．72917．如图3－2－12，用同样规格的灰、白两色正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察图3－2－12所示的图形，探究并回答下列问题．图3－2－12(1)第4个图(n＝4)中，共有白色瓷砖________块；第n个图中，共有白色瓷砖________块．(2)第4个图(n＝4)中，共有瓷砖________块；第n个图中，共有瓷砖________块．(3)如果每块灰色瓷砖4元，每块白色瓷砖3元，那么当n＝10时，共需花多少钱购买瓷砖？18．如图3－2－13，某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式：(1)当有n张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？(2)一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐，但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种摆放方式来摆放餐桌？为什么？图3－2－13【详解详析】1．B[解析]0＝－(1－1)2，1＝(2－1)2，－4＝－(3－1)2，9＝(4－1)2，－16＝－(5－1)2，…，所以第11个数是－(11－1)2＝－100.故选B.2．B[解析]因为上边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，11，…，左下的数为21，22，23，…，所以b＝26＝64.因为上边的数与左下的数的和正好等于右下的数，所以a＝11＋64＝75.故选B.3．D[解析]由①②③三个等式可得，减数是从1开始连续奇数的平方，被减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，所以第2017个式子的值是4×20172－(2×2017－1)2＝8067.故选D.4．D[解析]因为第1层的第1个数为1＝12，第2层的第1个数为4＝22，第3层的第1个数为9＝32，所以第44层的第1个数为442＝1936，第45层的第1个数为452＝2025，所以2017在第44层．故选D.5.1765[解析]由题意给出的5个数可知an＝(－1)n2n＋1n2＋1，当n＝8时，a8＝1765.6．2051[解析]根据题意可知，①中第10个数为210＝1024；②中第10个数为210＋3＝1027，故它们的和为1024＋1027＝2051.7．解：(1)417(2)第n个等式为(2n＋1)2－4n2＝4n＋1.8．D[解析]第1个图形中共有小正方形的个数为2×2＋1，第2个图形中共有小正方形的个数为3×3＋2，第3个图形中共有小正方形的个数为4×4＋3，…，则第n个图形中共有小正方形的个数为(n＋1)2＋n，所以第8个图形共有小正方形的个数为9×9＋8＝89.故选D.9．C[解析]第1个图形中一共有3个平行四边形，3＝12＋2；第2个图形中共有7个平行四边形，7＝22＋3；第3个图形中共有13个平行四边形，13＝32＋4；…；第n个图形中平行四边形的个数为n2＋n＋1；第9个图形中平行四边形的个数为92＋9＋1＝91.故选C.10．3n＋1[解析]由题意可知每个图都比前一个多出了3个“”，所以第n个图案中“”的个数为4＋3(n－1)＝3n＋1.11．86053[解析]因为第1个图形的周长为2＋3＝5，第2个图形的周长为2＋3×2＝8，第3个图形的周长为2＋3×3＝11，…，所以第2017个图形的周长为2＋3×2017＝6053.12．解：(1)5811(2)第n个图中所贴剪纸“○”的个数为3n＋2，当n＝100时，所贴剪纸“○”的个数为100×3＋2＝302.13．B[解析]由题意，得第n个数为(－2)n，那么(－2)n－2＋(－2)n－1＋(－2)n＝768，当n为偶数时，整理得3×2n－2＝768，解得n＝10；当n为奇数时，整理得－3×2n－2＝768，则求不出整数．故选B.14．C[解析]观察已知数据的规律，因为3×5－1＝14；5×7－3＝32；7×9－5＝58；…；所以m＝13×15－11＝184.故选C.15．B[解析]依题意，得a1＝3，a2＝7，a3＝1，a4＝7，a5＝7，a6＝9，a7＝3，a8＝7，…，观察可知6个数为一个循环，2017÷6＝336……1，所以a2017＝a1＝3.故选B.16．C[解析]第1个图挖去中间的1个小三角形，第2个图挖去中间的(1＋3)个小三角形，第3个图挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…，则第6个图挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即第6个图挖去中间的364个小三角形．故选C.17．解：(1)第4个图中，共有白色瓷砖4×5＝20(块)；第n个图中，共有白色瓷砖n(n＋1)块．故答案为20，n(n＋1)．(2)第4个图中，共有瓷砖(4＋2)×(4＋3)＝42(块)；第n个图中，共有瓷砖(n＋2)(n＋3)块．故答案为42，(n＋2)(n＋3)．(3)4×(4×10＋6)＋3×(10×11)＝184＋330＝514(元)．答：共需花514元钱购买瓷砖．18.解：(1)第一种摆放方式中，第一张桌子坐6人，后边多一张桌子多坐4人，即有n张桌子时，可坐人数为6＋4(n－1)＝4n＋2.第二种摆放方式中，第一张桌子坐6人，后边多一张桌子多坐2人，即有n张桌子时，可坐人数为6＋2(n－1)＝2n＋4.(2)打算用第一种摆放方式来摆放餐桌．理由：当n＝25时，4×25＋2＝102(人)，102＞98，2×25＋4＝54(人)，54＜98.所以选用第一种摆放方式来摆放餐桌．