天文学常用简单公式

-1-天文学常用简单公式编辑人：丛雨1.视运动和天球坐标系(1)地平高度h与天顶距z的关系90zh(2)天体上中天时的地平高度90h天体下中天时的地平高度90h其中δ是天体的赤纬，φ是地理纬度，北纬取正南纬取负。(3)恒星时S与时角t的关系（对于任意一个赤经为α，时角为t的天体）St春分点赤经为0h，所以春分点的时角即为当前的恒星时。(4)球面三角基本公式（大写字母为角，小写字母为边）sinsinsinsinsinsinabcABCcoscoscossinsincoscoscoscossinsincosabcbcAABCBCa(5)球冠的表面积（h为球冠高度，R为球的半径，r为球冠的底面半径）222()SRhrh2.望远镜(1)角放大倍率：物镜焦距÷目镜焦距(2)极限星等（望远镜口径为D，肉眼极限星等取6等，瞳孔直径d一般取6或7mm）65lgDmd(3)角分辨率（θ以弧度为单位，λ为观测波长）1.22D对于光学望远镜（取λ=550nm，θ以角秒″为单位，D以毫米mm为单位）上式简化为-2-140D(4)薄透镜成像公式（焦距f，凸透镜焦距为正、凹透镜焦距为负；物距u；像距d，实像取正号、虚像取负号）111fud(5)底片比例尺（焦距为F的望远镜或相机，实际角直径α与像平面上的长度l的比值）206265(/)mmlF3.角直径(1)球形天体的角直径（天体的距离d普遍远大于其半径R）2Rd准确的式子为2arcsinRd。需注意角度与弧度的换算。同理，一段距离或长度l在距离d（dl）处张角的弧度大小ld。根据秒差距的定义，1AU在1pc外的张角大小为1角秒，由于1rad=206265ʺ，则1pc=206265AU。(2)内行星大距时与太阳的角距离（内行星轨道半径r1，外行星轨道半径r2）12arcsinrr(3)周年视差为π（角秒″）的恒星，其距离（秒差距pc）1d此式默认了测量地点为地球，若在其他天体上需乘以其轨道半径（以AU为单位）。4.会合周期12111tTT①T1和T2为内行星和外行星的公转周期，t为两者的会合周期（两次冲日的时间间隔）。②太阳日（一昼夜的长度）是地球自转与公转的会合周期，朔望月是月球绕地球公转与绕太阳公转的会合周期。③两天体角速度的方向相同时取号，如行星的公转计算会合周期；角速度的方向相反时取号，如金星的自转和公转计算太阳日长度。-3-5.光度和亮度(1)恒星的光度（恒星每秒辐射的总能量，即功率，其中半径R，有效温度Te，斯特藩–玻尔兹曼常量σ，也适用于黑体辐射）244eLRT(2)在距离辐射源r处单位时间、单位面积接收到的辐射流量（亮度）24LFr由此可知亮度与距离的平方成反比。(3)普朗克黑体辐射定律（温度为T的黑体，单位面积、单位时间、单位立体角、单位频率或波长间隔内辐射的能量）32/211hkThBce或25/211hckThcBe(4)维恩位移定律（黑体辐射的峰值波长为λ）0.29cmKT6.星等(1)距离模数公式（视星等m与绝对星等M的关系）5lg5mMr其中距离r的单位是秒差距pc，mM被称作距离模数。(2)对一天体在不同波段测光所得的星等差称为色指数，例如BV色指数BVBVmm(3)全波段绝对热星等Mbol与热改正BCbolVMMBC(4)普森公式（亮度为E1和E2，或辐射流量F1和F2的天体的星等差）11222.5lgEmmE①可写作绝对星等与光度的关系式11222.5lgLMML。②使用此式常和已知天体的（绝对）星等、亮度（光度）进行比较，如通过太阳的绝对星等MS与太阳光度L⊙来计算其他天体2.5lgSLMML。-4-③可根据21Fr用普森公式计算同一天体在不同距离时的星等2212112.5lgrmmr，并据此推导出距离模数公式。④双星（多星）系统的总星等m所对应的是两星亮度相加后的总亮度12EE，即12112.5lgEEmmE或12222.5lgEEmmE。7.万有引力(1)万有引力公式（适用于距离为r的两质点，或质量分布均匀的球形物体）2MmFGr(2)引力势能（无限远处为势能零点）pMmEGr(3)开普勒第三定律（太阳系中天体的半长轴a与周期T的关系，太阳质量M⊙远大于行星等天体的质量）3224GMaT或33122212aaTT若a以AU作单位，T以年作单位，对于太阳系天体，上式可简写为321aT。对于双星模型，准确的开普勒第三定律为322()4aGMmT式中12aaa为两天体的半长轴之和，且12Mama。当a以AU为单位，T以年为单位时，双星系统的总质量以太阳质量M⊙为单位。(4)活力公式（限制性二体问题中小天体的速度为v、半长轴为a、到质心的距离为r）221()()vGMmra当Mm时省略m（如飞行器绕地球、行星绕恒星运动）221()vGMra。(5)椭圆轨道的极坐标参数方程cos1)1(2eear-5-极角θ为从近日点开始算起，天体和焦点的连线与椭圆长轴方向的夹角，若从远日点算起则分母取号(6)第二宇宙速度（逃逸速度，第一宇宙速度的2倍）2122GMvvR(7)位力定理（引力束缚系统的总动能或平均动能T，总势能或平均势能V）20TV8.红移和宇宙学(1)多普勒红移和宇宙学红移的定义式（λ0为原波长，Δλ为波长的变化量）0z(2)红移z与退行速度v的关系2(1)cvzcv当视向速度远小于光速时（vc），vzc。(3)哈勃定律（星系的退行速度v与距离d的关系，H0为目前的哈勃常数）0vHd(4)宇宙尺度因子R与宇宙学红移z的关系（宇宙学量的下标0代表当前值）01RzR宇宙尺度因子常用归一化的无量纲变量0/aRR表示，取01a。(5)哈勃常数的定义式RaHRa(6)宇宙临界密度238cHG(7)宇宙减速因子（宇宙膨胀时的“减速度”）2RRqRq为正代表宇宙减速膨胀，q为负代表宇宙加速膨胀。-6-(8)弗里德曼方程22833GΛkHR该式适用于均匀、各向同性的宇宙，式中Λ是与暗能量有关的宇宙学常数，宇宙曲率k取值为0、1，密度ρ包括物质密度ρm和辐射密度ρr。平直宇宙的曲率k=0，宇宙当前是物质为主，辐射密度ρr0可忽略不计。可将其写作1mrΛkΩΩΩΩ的形式，其中宇宙密度参数为物质密度参数mmcΩ和辐射密度参数rrcΩ，宇宙学常数参数为ΩΛ，宇宙曲率参数为Ωk。对于平直、物质为主的宇宙，当前时刻有1mΛΩΩ。(9)物质密度ρm、辐射密度ρr、背景辐射温度T与红移z的关系30400(1)(1)(1)mmrrzzTTz(10)宇宙尺度因子a随时间t变化的近似关系1/2at（辐射为主）或2/3at（物质为主）9.其他(1)史瓦西半径（史瓦西黑洞的视界半径）22GMRc(2)黑洞的温度（约化普朗克常数/2h，玻尔兹曼常数k，黑洞质量M）38cTkGM(3)引力透镜（光线的路径与天体中心的垂直距离为b，偏转角为θ）24GMbc(4)引力红移（在无限远处观察一个从距离天体r的位置处发射的光子）1/222(1)1GMzrc当21GMrc时，2GMzrc。