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四川省泸县一中高2019届第三次诊断性模拟考试数学（文科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合，则等于A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据所给的两个集合，整理两个集合，写出两个集合的最简形式，再求出两个集合的交集，即可得到答案.【详解】由题意，集合，，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，及集合的交集的定义的运算，其中正确求解两个集合，以及掌握两个集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知是虚数单位，复数的共轭复数虚部为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先化复数为代数形式，再根据共轭复数概念以及虚部概念得结果.【详解】因为，所以复数的共轭复数为，因此虚部为4，选C.【点睛】本题考查共轭复数概念以及虚部概念，考查基本分析求解能力，属基础题.3.在等差数列中，前项和满足，则的值是A.5B.7C.9D.3【答案】A【解析】【分析】根据等差数列性质求的值.【详解】因为，所以，即选A.【点睛】本题考查等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.4.军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：（1）甲的平均成绩比乙的平均成绩高；（2）甲的成绩的极差是29；（3）乙的成绩的众数是21；（4）乙的成绩的中位数是18．则这4个结论中，正确结论的个数为A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图估计平均数、极差、众数以及中位数，即可判断选项.【详解】根据茎叶图知甲的平均成绩大约二十几，乙的平均成绩大约十几，因此（1）对；甲的成绩的极差是37-8=29，（2）对；乙的成绩的众数是21，（3）对；乙的成绩的中位数是．（4）错，选C.【点睛】本题考查茎叶图以及平均数、极差、众数、中位数等概念，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.5.已知向量，若间的夹角为，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由，然后展开利用数量积公式求解．【详解】解：，，，的夹角为，．故选：A．【点睛】本题考查平面向量的模长，数量积运算，是基础题．6.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（）A.B.C.D.0【答案】C【解析】【分析】利用函数的图象变换规律求得的解析式，可得的值．【详解】解：将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则，故选：C．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数的图象变换规律，属于基础题．7.如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A.2B.C.6D.8【答案】A【解析】【分析】先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2，所以该四棱锥的体积为.故选A【点睛】本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型.8.学校根据课程计划拟定同时实施“科普之旅”和“红色之旅”两个主题的研学旅行，现在小芳和小敏都已经报名参加此次的研学旅行，则两人选择的恰好是同一研学旅行主题的概率为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据古典概型概率公式求结果.【详解】小芳和小敏报名方法共有种，其中两人选择的恰好是同一研学旅行主题的有种，因此所求概率为，选B.【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.9.设变量满足约束条件若目标函数取得最大值时的最优解不唯一，则实数的值为A.B.C.或D.或【答案】C【解析】【分析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定取最优解所满足的条件，即得结果.【详解】作可行域，则直线为直线AB或直线AC时取最大值,此时或，选C.【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.10.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是A.B.C.D.【答案】B【解析】如图，根据双曲线的对称性可知，若是钝角三角形，显然为钝角，因此，由于过左焦点且垂直于轴，所以，，，则，，所以，化简整理得：，所以，即，两边同时除以得，解得或（舍），故选择D.点睛：求双曲线离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，在列方程或不等式的过程中，要考虑到向量这一重要工具在解题中的应用.求双曲线离心率主要以选择、填空的形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏高，属于对能力的考查.11.点，，，在同一个球面上，，，若球的表面积为，则四面体体积的最大值为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求球的半径，再根据勾股定理得三角形ABC为直角三角形，根据勾股定理可得球心到平面ABC距离，最后可得四面体体积的最大值.【详解】因为球的表面积为，所以,因为所以三角形ABC为直角三角形，从而球心到平面ABC距离为,因此四面体体积的最大值为，选C.【点睛】本题考查四面体体积以及外接球，考查综合分析求解能力，属中档题.12.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先分离变量，再利用导数研究新函数单调性与值域，即可确定实数的取值范围.【详解】由得，令,则，因此当时当时从而要有两个不同的零点，需，选D.【点睛】本题考查利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数是奇函数，且当时，则的值是_______．【答案】【解析】【分析】先求,再根据奇函数性质得【详解】因为,又函数是奇函数，所以【点睛】本题考查利用函数奇偶性求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.14.若，则的值是_____．【答案】【解析】【分析】先根据诱导公式化简)，再根据二倍角余弦公式求结果.【详解】因为,所以，因此.【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.15.在锐角中，角的对边分别为，已知，，，则的面积为__________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理可得，又，可求出，再求出，利用余弦定理可解的，利用面积公式计算求解即可.【详解】由正弦定理及，得，又，所以,锐角中,所以，解得，所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，属于中档题.16.已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线定义可得,所以，故当PA和抛物线相切时，最小，再利用斜率公式及导数的几何意义确定切点P的坐标，即可求解.【详解】抛物线的焦点F(0,1),准线方程为，过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线定义可得,所以,为锐角，故当最小时，最小，故当PA和抛物线相切时，最小，设切点P，由的导数为则PA的斜率为，求得，可得P(4,4),所以，，,即的最小值是.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线的斜率，导数的几何意义，属于中档题.三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.已知数列的前项和为，（1）求的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据和项与通项关系得，再根据等比数列定义以及通项公式得结果，（2）先化简，再根据等差数列求和公式得，利用放缩以及裂项相消法求和，即证得结果.【详解】（1）因为，所以，，两式相减化简得：，又，所以，符合上式，所以是以为首项，以为公比的等比数列.所以（2）由（1）知，所以，所以【点睛】本题考查等比数列定义与通项公式以及裂项相消法求和，考查综合分析求解能力，属中档题.18.随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大.长沙某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城市（总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近）采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价:(单位：元/月）和购买人数(单位：万人）的关系如表:流量包的定价（元/月）3035404550购买人数（万人）18141085（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系？并指出是正相关还是负相关；（2）①求出关于的回归方程；②若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定位25元/月，请用所求回归方程预测长沙市一个月内购买该流量包的人数能否超过20万人.参考数据：，，.参考公式：相关系数，回归直线方程，其中，.【答案】(1)见解析;(2)①;②一个月内购买该流量包的人数会超过20万人.【解析】【分析】(1)根据题意，得,计算出相关系数，从而可以作出判断;(2)①求出回归直线方程，②由①知，若，则，从而预测长沙市一个月内购买该流量包的人数会超过20万人【详解】（1）根据题意，得，.可列表如下根据表格和参考数据，得，.因而相关系数.由于很接近1，因而可以用线性回归方程模型拟合与的关系.由于，故其关系为负相关.（2）①，，因而关于的回归方程为.②由①知，若，则，故若将流量包的价格定为25元/月，可预测长沙市一个月内购买该流量包的人数会超过20万人.【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19.如图，平面平面，其中为矩形，为直角梯形，，，．（1）求证：平面平面；（2）若三棱锥体积为，求与面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）作于，平面平面，且AD为交线，只需证明即可（2）连接，易知为线与面所成的角,利用等体积法求，，解三角形即可求解.【详解】（1）证明：作于，∵，.∴∴，∵，∴∴.∴，即：∵面面，为两个面的交线∴面.（Ⅱ）因为平面平面，，所以平面，所以，∴连接，易知为线与面所成的角，在直角中，，∴所以与面所成角的正弦值为．【点睛】本题主要考查了线线垂直，线面垂直，面面垂直，线面角，属于中档题.20.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求的方程；（2）是否存在直线与相交于两点，且满足：①与（为坐标原点）的斜率之和为2；②直线与圆相切，若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由离心率，已知点坐标代入得及可解得得标准方程；（2）存在性问题，假设直线存在，把代入的方程得，同时设，则可得，①代入得出的一个等式，再由直线和圆相切又得一个等式，联立可解得，同时注意直线与椭圆相交的条件，如满足则说明存在．试题解析：（1）由已知得，解得，∴椭圆的方程为；（2）把代入的方程得：，设，则，①由已知得，∴，②把①代入②得，即，③又，由，得或，由直线与圆相切，则④③④联立得（舍去）或，∴，∴直线的方程为．21.已知函数(为自然对数的底数).（1）若对于任意实数，恒成立，试确定的取值范围；（2）当时，函数在上是否存在极值?若存在，请求出这个极值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用参变分离转化为对应函数最值问题，再利用导数研究对应函数最值，即得结果，（2）利用导数研究函数单调性，根据单调性确定函数极值是否存在.【详解】（1）∵对于任意实数恒成立，∴若，则