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四川省泸州市泸县第五中学2017-2018学年高二数学上学期期末模拟考试试题理（含解析）一选择题（每小题5分，12小题，共60分，每小题的四个选项只有一项符合题目要求，请将答案填在后面答题卡中，否则不予给分）1.已知命题：，则A.B.C.D.【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，全称命题命题“”的否定为特称命题“”，故选C.2.“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A.....................3.有50件产品，编号从1到50，现在从中抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的第一个样本编号为7，则第三个样本编号是A.37B.27C.17D.12【答案】B【解析】用系统抽样时，每个组中抽取的样本编号通常是一个等差数列，且公差为组数，故第三个样本编号为.故选B.4.泸州市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下，则这组数据的中位数是A.19B.20C.21.5D.23【答案】B【解析】样本数据共有12个，中位数为.故选B.5.已知椭圆()的左焦点为F1(－4,0)，则m等于A.9B.4C.3D.2【答案】C【解析】由题设知焦点在轴上，所以且，故，故选C.6.若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为A.8B.16C.24D.32【答案】C【解析】一般地，如果样本数据的标准差为，那么数据标准差为（），故选C.7.直线与圆相交于两点，若，则的值是：A.B.C.D.【答案】B【解析】设圆心到直线的距离为，则，又，解得，故选B.8.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【答案】D【解析】根据y与x的线性回归方程为y=0.85x﹣85.71，则=0.85＞0，y与x具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（），B正确；该大学某女生身高增加1cm，预测其体重约增加0.85kg，C正确；该大学某女生身高为170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．故选：D．视频9.已知两圆，，动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为A.B.CD.【答案】D【解析】设圆的半径为，则，∴的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，故所求的轨迹方程为.故选C.10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A.B.C.D.5【答案】C【解析】解：该几何体是棱长分别为的长方体中的三棱锥：，其中：，该几何体的表面积为：.本题选择B选项.点睛：本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键，由三视图判断空间几何体（包括多面体、旋转体和组合体）的结构特征是高考中的热点问题.视频11.直线与椭圆交于、两点，以线段为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：设椭圆的左、右焦点分别为、，由题意可得，由，得，．∴．由椭圆定义可知，，∴，∴．考点：直线与椭圆的位置的关系.【思路点睛】本题重点考查圆与椭圆的综合，考查椭圆的几何性质，解题的关键是判断以这两个焦点两点为顶点得一矩形．以为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点两点为顶点得一矩形，求出矩形宽与长，利用椭圆的定义，即可求得椭圆的离心率．12.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是A.B.C.D.【答案】A【解析】由题设可以，.又因为，故两条动直线相互垂直，所以，有基本不等式可知也就是，当且仅当时等号成立.选A.二、填空题（共4个小题，5分每题，共20分）13.双曲线的渐近线方程是___________.【答案】【解析】令，得渐近线方程为：.故填.14.某校早上8:00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30～7:50之间到校，且每人在该时间段任何的时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____【答案】【解析】假设小张是后的分钟到校，小王是后的分钟到校，则两人到校应满足，它是一个平面区域，对应的面积为.设随机事件为“小张比小王至少早5分钟到校”，则两人到校时间应满足，对应的平面区域如图下图阴影部分所示，其面积为，故所求概率为，故填.点睛：本题为几何概型中的会面问题，其处理方法是找出基本事件对应的平面区域的面积.15.已知抛物线的焦点，点，则曲线上的动点到点与点的距离之和的最小值为_________．【答案】2【解析】如图，抛物线的准线为，过点做作准线的垂线，垂足为，则，所以，当且仅当三点共线时等号成立，故所求最小值为．点睛：抛物线中，与焦点有关的问题可以转化到准线的距离去考虑．16.已知椭圆：的右焦点为，为直线上一点，线段交于点，若，则__________．【答案】【解析】由条件椭圆：∴椭圆的右焦点为F,可知F(1,0)，设点A的坐标为（2，m），则=（1，m），∴，∴点B的坐标为，∵点B在椭圆C上，∴，解得：m=1，∴点A的坐标为（2，1），.答案为：.三．解答题：解答应说明必要的文字说明，证明过程和演算步骤.17.已知命题：实数满足，其中；命题：方程表示双曲线．（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：先由命题解得；命题得，（1）当，得命题，再由为真，得真且真，即可求解的取值范围．（2）由是的充分不必要条件，则是的充分必要条件，根据则，即可求解实数的取值范围．试题解析：命题：由题得，又，解得；命题：，解得．（1）若，命题为真时，，当为真，则真且真，∴解得的取值范围是．（2）是的充分不必要条件，则是的充分必要条件，设，，则；∴∴实数的取值范围是．18.某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？【答案】（1）0.0075；（2）224；（3）5【解析】试题分析：(1)利用频率分布直方图小长方形的面积之和为1可得x＝0.0075；(2)结合所给的数据可得：月平均用电量的众数和中位数为,224;(3)结合频率分布直方图和分层抽样的概念可得月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取5户.试题解析：（Ⅰ）由直方图的性质，可得（0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025）×20＝1得：x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075．（Ⅱ）月平均用电量的众数是．因为（0.002＋0.0095＋0.011）×20＝0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002＋0.0095＋0.011）×20＋0.0125×（a－220）＝0.5，解得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224．（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有0.0125×20×100＝25（户），月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100＝15（户），月平均用电量为[260，280）的用户有：0.005×20×100＝10（户），抽取比例，所以月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取（户）．点睛：一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.视频19.已知点及圆：.（1）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；（2）设过点P的直线与圆交于、两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；【答案】（1）和；（2）【解析】试题分析：（1）利用点到直线的距离构建关于斜率的方程，解出斜率即可.注意检验斜率不存在的情形.（2）因为，所以到直线的距离为，但是，因此为的中点，故可直接写出以为直径的圆的方程.解析：（1）若直线的斜率存在，则方程为.即.又圆的圆心为，半径，由，解得.所以直线方程为，即.若的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件.（2）由于，而弦心距，所以，所以恰为的中点，故以为直径的圆的方程为.点睛：注意利用几何量的相互关系简化计算.20.某百货公司1～6月份的销售量x与利润y的统计数据如下表：月份123456销售量x(万件)1011131286利润y(万元)222529261612（1）根据2～5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？【答案】（1）；（2）回归直线方程是理想的【解析】试题分析：（1）直接根据线性回归方程的公式进行计算.（2）利用求出的线性回归方程检验预测值与实际值的差是否不超过2万元.解析：（1）根据表中2～5月份的数据，计算得，，，所以，.故关于的回归直线方程为：.(2)当时，，此时；当时，，此时.故所得的回归直线方程是理想的．21.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底，是的中点。（1）证明：直线平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值。【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）取的中点，连结，，由题意证得∥，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：，，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角的余弦值为．试题解析：（1）取中点，连结，．因为为的中点，所以,,由得，又所以．四边形为平行四边形，．又，，故（2）由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则则，，，，,则因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以，即（x-1）²+y²-z²=0又M在棱PC上，设由①，②得所以M，从而设是平面ABM的法向量，则所以可取m=（0，-，2）.于是因此二面角M-AB-D的余弦值为点睛:（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与m，n互补或相等，故有|cosθ|＝|cosm，n|=．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．22.已知椭圆的短轴长为2，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设过点M（2，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，F1为椭圆的左焦点．①若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点；②试求椭圆C上是否存在点P，使F1APB为平行四边形？若存在，求出F1APB的面积，若不存在，请说明理由．【答案】（1）定点；（2）解析：（1）∵椭圆的短轴长为2，∴，解得，∵离心率为，∴，解得，∴椭圆的方程为．（2）证明：①设过的直线，联立，得，∵直线与椭圆交于两点，∴，即．设，则，∵点关于轴的对称点是，∴．设直线，∵满足直线，∴，∴直线过定点．（2）椭圆左焦点，设的中点，则，，假设存在点使为平行四边形，则是的中点，∴，，即，∵在椭圆上，∴．整理得，解得或（舍），此时，左焦点直