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四川省泸州市2018-2019学年高二上学期末统一考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线的倾斜角为A.0B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直线是与轴垂直的直线，倾斜角为90°【详解】解：直线的斜率不存在，倾斜角为．故选：D．【点睛】本题考查了直线方程与倾斜角的应用问题，常见解题方法是当斜率存在时，利用求解；不存在时，倾斜角为90°，是基础题．2.抛物线的准线方程为A.B.C.D.【答案】A【解析】，则，焦点位于轴上，所以抛物线的准线方程为，故选A。3.如果一个几何体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是A.三棱柱B.四棱柱C.圆锥D.圆柱【答案】C【解析】【分析】选项中圆锥的正视图不可能是矩形，可以逐一排除【详解】解：三棱柱，四棱柱特别是长方体，圆柱的正视图都可以是矩形，圆锥不可能．几何体放置不同，则三视图也会发生改变三棱柱，四棱柱特别是长方体，圆柱的正视图都可以是矩形．【点睛】几何体放置不同，则三视图也会发生改变，考查了学生的空间想象力．4.设为实数,且,则下列不等式正确的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】对于、，令可判断；对于，取，则可判断；对于，由，可以得到，利用不等式的传递性可判断的正误.【详解】对于，令，故错误；对于，当时，则，故错误；对于，则，，则，故错误；对于，且，故正确，故选D.【点睛】判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.5.如图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员参加11场比赛的得分情况画出的茎叶图若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则的值是A.8B.9C.10D.11【答案】A【解析】【分析】由两名运动员得分情况的茎叶图，可读出甲乙两名运动员的得分情况，由甲运动员的得分情况可得甲的中位数，由乙运动员的得分情况可得乙的众数，然后求得。【详解】解：根据茎叶图知，甲运动员的中位数为，乙运动员的众数为，则．故选：A．【点睛】本题考查了利用茎叶图求中位数和众数的应用问题，准确地读出茎叶图中的数据是解题的关键，是基础题．6.某公司位员工的月工资（单位：元）为，，…，，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】试题分析：均值为;方差为,故选D.考点：数据样本的均值与方差.7.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，则其虚轴长为A.1B.4C.3D.0【答案】B【解析】【分析】由双曲线方程可知，；又焦点到渐近线的距离为2，所以得到，结合可解得，故虚轴长为4.【详解】解：双曲线的一个焦点设为，，且，一条渐近线的方程设为，，由题意可得，即有，故选：B．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，其中焦点落在不同的轴上，渐近线方程的形式是不一样的，解与渐近线方程有关问题时，先要考虑焦点所在的轴；其次还考查了点到直线的距离公式，以及运算能力，属于基础题．8.设，，是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列说法正确的是A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】D【解析】【分析】判断立体几何中命题的真假性，可以用找反例方法来判断，如果找出了反例说明命题是错误的，找不到反例可试着证明命题的正确性【详解】解：A中m，n还可能相交或异面；B中漏掉了的情况；C中，也可能相交；D中同垂直于一个平面的两条直线平行，正确，A，B，C中的结论都不完整，D中的结论有定理作保证，显然选D．【点睛】此题考查了线面、面面的各种关系，假命题可通过取反例的方法来判断，若找不出反例可试着用定理证明命题的正确性，难度较小．9.某市为调查某社区居民的家庭收入与年支出的关系，现随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据：收入万元91011支出万元若该社区居民家庭收入与年支出存在线性相关关系，且根据上表得到的回归直线方程是，其中，据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出约为A.万元B.万元C.万元D.万元【答案】B【解析】【分析】先求出社区5户家庭收入与支出的平均值，代入到回归直线方程中，求解出参数，然后估计年收入为15万元家庭的年支出费用。【详解】解：，，再根据样本中心点在回归直线上，所以可得，所以线性回归直线方程为，当时，，解得元．故选：B．【点睛】本题考查了线性回归方程，求解线性回归方程先要将均值求出，准确计算出均值是前提，属中档题．10.如图的程序框图的部分算法思路来源于我国古代内容极为丰富的数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b的值分别为12，15，则输出的A.3B.30C.60D.180【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得，，，不满足条件，满足条件，满足条件，满足条件，此时，不满足条件，计算并输出．故选：C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．11.设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，若以MF为直径的圆过点，则的值为A.B.5C.D.10【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的方程求出焦点F，利用直径所对圆周角为直角得出，从而得到方程，求出点M的坐标，再通过两点距离公式计算出的值．【详解】解：抛物线C：的焦点为，设，以MF为直径的圆过点，，，，解得，，；．故选：C．【点睛】本题考查了抛物线的定义应用问题、圆的性质，点在圆上这一条件如何转化是本题的关键，恰当合理的转化能够简化后续的计算，本题是中档题．12.已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，A，B是圆与双曲线C位于x轴上方的两个交点，且，则双曲线C的离心率为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据条件可得圆的圆心和半径，然后用表示出，再运用双曲线的定义得出。在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，又因为，从而可构建出关于a，c的方程，解出离心率．【详解】解：圆的圆心为，半径为2c，且，，由双曲线的定义可得，，设，在三角形中，，在三角形中，，由，化简可得，即为，即有，可得．故选：A．【点睛】圆锥曲线的离心率的问题常见解法是构建与的方程（不等式），从而来求解离心率的值（范围）。本题中双曲线离心率的求法，考查了双曲线的定义和三角形的余弦定理运用，还考查了化简变形能力和运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．【答案】15【解析】试题分析：应从高一年级学生中抽取名学生,故应填.考点：分层抽样及运用．14.已知变量x，y满足约束条件，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是一条斜率已知、纵截距未知的直线，然后利用平移法进行求解即可．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得，由图象知当直线经过点C时，直线的截距最小此时z最小，由，得，即，此时，故答案为：．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，准确作出不等式对应的区域是前提，准确解析出目标函数的几何意义是解题的关键．15.三棱锥的侧棱OA，OB，OC两两垂直且长度分别为2cm，2cm，1cm，则其外接球的表面积是______．【答案】【解析】试题分析：根据题意画出图形，为了找到球心建立如图的坐标系，则设球心坐标为，球心到的距离相等可得，，解得，所以球的半径，故其表面积.考点：1.空间向量；2.空间几何体的表面积和体积.16.设A，B在圆上运动，且，点P在直线上运动则的最小值是______．【答案】4【解析】【分析】取AB的中点M，在中，根据勾股定理可得M的轨迹是以O为圆心1为半径的圆。在中，M为中点，所以，即求，等于O到直线的距离减去1可得．【详解】解：取AB的中点M，连OM，则，，即点M的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆．，设点O到直线的距离为，所以当且仅当，M为线段OP与圆的交点时取等故答案为：4．【点睛】直线与圆相交的问题，常见解法是找出弦的中点，利用垂径定理构造出直角三角形，求出圆心到直线的距离，此距离又可用点到直线的距离公式表示，从而得出结论，作为新的条件为后续解题使用．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.为了解某企业生产的某种产品的质量情况，从其生产的产品中随机抽取了部分产品，测量这些产品的一项质量指标值作为样本样本容量为进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本的茎叶图图中仅列出了质量指标值在，的数据．Ⅰ求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值．Ⅱ若产品的这一项质量指标平均值小于70，则可判断该产品的质量不合格，否则合格，请根据以上抽样调查数据，判断该产品质量是否合格？并说明理由．【答案】ⅠⅡ合格【解析】【分析】Ⅰ根据茎叶图可得，总共有8人，结合频率分布直方图，可得频率为0.16，从而可求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；Ⅱ求出平均值，与70作对比即可求出．【详解】解Ⅰ由题意可知，样本容量，，则，Ⅱ则平均值为，则该产品质量合格【点睛】本题考查频率分布直方图和茎叶图的应用，频率分布直方图中每一个矩形的面积为相应组的频率，同时考查数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．18.已知函数．Ⅰ若的解集为，求实数a，b的值；Ⅱ当时，若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】ⅠⅡ．【解析】【分析】Ⅰ根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，可将问题转化为b，3是一元二次方程的两根，再根据韦达定理列方程组可解得；Ⅱ不等式恒成立，分离变量，转化为求可得．【详解】解：Ⅰ因为即的解集为，所以b，3是一元二次方程的两根，，解得，Ⅱ当时，若关于x的不等式恒成立，即在上恒成立，令，，则，，当且仅当时取等．故．【点睛】一元二次不等式的问题可转化为二次函数的图像、二次方程根的问题来解决，不等式恒成立问题常见解法为分离变量法，然后转化为求最值；有时也可以分情况讨论解决问题。19.已知圆C的圆心在直线上，且经过点，．Ⅰ求圆C的方程；Ⅱ已知点，，若P为圆C上的一动点，求的取值范围．【答案】ⅠⅡ．【解析】【分析】Ⅰ设圆心则，即，由列式可解得，，从而可得圆C的标准方程；Ⅱ设，根据两点间的距离公式可得，再根据y的范围可得．【详解】解：Ⅰ设圆心则，即，由得，解得，，圆的半径，圆C的方程为：．Ⅱ设，则，即则，，故的取值范围是．【点睛】本题考查求解圆方程的问题，此问题可通过待定系数法解决，可设圆方程为标准式，也可设为一般式，解题时灵活运用；解决几何中的最值（范围）问题时，可以将几何问题转化为代数问题，通过减元思路，转化为函数问题求解范围。20.如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，其中，，，E为SC的中点，Ⅰ证明：平面SAD；Ⅱ若，，且，求三棱锥的体积．【答案】ⅠⅡ．【解析】【分析】Ⅰ取SD的中点F，连接AF，EF，利用三角形中位线定理及平行公理可得且，则四边形ABEF为平行四边形，得到，再由线面平行的判定可得平面SAD；Ⅱ由，，得，又，由线面垂直的判定得平面SAD，进一步得到平面平面SAD，再证明，由已知利用等积法即可求得三棱锥的体积．【详解】Ⅰ证明：取SD的中点F，连接AF，EF，为SC的中点，，且，又，，且，则四边形ABEF为平行四边形，．平面SAD，平面SAD，平面SAD；Ⅱ解：，，，又，且，平面SAD，则平面平面SAD，又，平面平面，平面SAD，则，，，．由平面SAD，得平面平面SAD，又平面平面，且，得平面SCD，则平面SCD，，．【点睛】本题考查空间中直线与平面的平行关系，线线平行可以得到线面平行，在空间中证明线线平行的常见方法有：中位线法、平行四边形法等等；在求解空间几何体的体积问题时，首先要对几何体的构造进行研究，观察其是否需要适当割（补）形，然后再通过面面垂直求出高，从而解决体积