四川省泸县第四中学2020届高三数学上学期开学考试试题 理

四川省泸县第四中学2020届高三数学上学期开学考试试题理第I卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数满足，则在复平面内的对应点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若集合，则=A.B.C.D.3.设等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为20，则A.127B.64C.63D.324.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A.若，，则B.若，，且，则C.若，，且，，则D.若直线与平面所成角相等，则5.若展开式二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数为A.40B.30C.20D.156.已知随机变量服从正态分布且,则A.B.C.D.7.函数的零点一定位于区间A.B.C.D.8.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则A.23B.32C.35D.389.某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为A.B.C.D.10.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为5，2，则输出v的值为A.64B.68C.72D.13311.将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，所得图像关于直线对称，则的最小正值为A.B.C.D.12.在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点．有以下三个命题：①异面直线与所成的角是定值；②三棱锥的体积是定值；③直线与平面所成的角是定值．其中真命题的个数是A.3B.2C.1D.0第II卷（非选择题90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量，，若，则_______．14.已知实数满足条件，则的最大值为________．15.已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使平面平面，得到如图所示的三棱锥，若为边的中点，分别为上的动点（不包括端点），且，设，则三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥的内切球的半径为_______.16.已知,，若成立，则实数的取值范围是_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（本大题满分12分）.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为.（1）求；（2）若，求的值．18.（本大题满分12分）如图，在三棱柱侧面．(1)求证：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值．19.（本大题满分12分）近年来，随着网络的普及，数码产品早已走进千家万户的生活，为了节约资源，促进资源循环利用，折旧产品回收行业得到迅猛发展，电脑使用时间越长，回收价值越低，某二手电脑交易市场对2018年回收的折旧电脑交易前使用的时间进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，在如图对时间使用的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率.（1）若在该市场随机选取3个2018年成交的二手电脑，求至少有2个使用时间在上的概率；（2）根据电脑交易市场往年的数据，得到如图所示的散点图，其中（单位：年）表示折旧电脑的使用时间，（单位：百元）表示相应的折旧电脑的平均交易价格.（ⅰ）由散点图判断，可采用作为该交易市场折旧电脑平均交易价格与使用年限的回归方程，若，，选用如下参考数据，求关于的回归方程.5.58.51.9301.479.75385（ⅱ）根据回归方程和相关数据，并用各时间组的区间中点值代表该组的值，估算该交易市场收购1000台折旧电脑所需的费用附：参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.参考数据：，，，，.20.（本大题满分12分）已知椭圆C：22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,FF，过1F任作一条与两条坐标轴都不垂直的直线，与椭圆C交于,AB两点，且2ABF的周长为8，当直线AB的斜率为34时，2AF与x轴垂直.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在定点M，总能使1MF平分AMB？说明理由.21.（本大题满分12分）已知函数．Ⅰ若时，求函数的单调区间；Ⅱ若，则当时，记的最小值为M，的最大值为N，判断M与N的大小关系，并写出判断过程．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），且曲线上的点对应的参数，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）若曲线上的两点满足，过作交于点，求证：点在以为圆心的定圆上.23.选修4-5：不等式选讲已知均为正实数，且.（1）求的最大值；（2）求的最大值.2019-2020学年四川省泸县第四中学高三开学考试数学（理）试题答案1.A2.C3.C4.B5.D6.B7.B8.C9.B10.B11.C12.B13.14.215.16.17.解：（1）由题设得即由正弦定理得，因为所以由于所以又∵，故（2）在△ABC中，由余弦定理及，有，故．由，得所以，因此所以18.(1)如图，设，连接AG.因为三棱柱的侧面为平行四边形，所以G为的中点，因为，所以为等腰三角形，所以，又因为AB⊥侧面，且平面，所以又因为，所以平面AB，又因为平面，所以平面平面；（2）由（1）知平面AB，所以B以G为坐标原点，以的方向为x轴正方向，以的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.由B易知四边形为菱形，因为所以，则可得，所以设平面的法向量，由得：，取z=1，所以，由（1）知=为平面AB的法向量，则易知二面角的余弦值.19.（1）由频率分布直方图可知一台电脑使用时间在上的概率为：，设“任选3台电脑，至少有两台使用时间在”为事件，则（2）（ⅰ）由得，即，，即，所以.（ⅱ）根据频率分布直方图对成交的二手折旧电脑使用时间在，，，，上的频率依次为：0.2，0.36，0.28，0，12，0.04：根据（1）中的回归方程，在区间上折旧电脑价格的预测值为，在区间上折旧电脑价格的预测值为，在区间上折旧电脑价格的预测值为，在区间上折旧电脑价格的预测值为，在区间上折旧电脑价格的预测值为，于是，可以预测该交易市场一台折旧电脑交易的平均价格为：（百元）故该交易市场收购1000台折旧电脑所需的的费用为：（元）20.解：（Ⅰ）因为228ABAFBF，即11228AFBFAFBF，有12122AFAFBFBFa，所以48a，即2a，当直线AB的斜率为34时，2AF与x轴垂直，所以21234AFFF，由22221cyab，且0y，解得2bya，即2,bAca，又2a，故2344bc，所以23bc，由222cab，得1,3cb.所以椭圆C的方程为22143xy.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，11,0F，设直线AB的方程为10xmym，,AB两点的坐标分别为1122,,,xyxy，联立221{143xmyxy，消去x，整理得2234690mymy，所以12122269,3434myyyymm，设,0Ms，由已知1MF平分AMB，得0AMBMkk，所以12120yyxsxs，即12210yxsyxs，即1221120ymysymyssyy，所以1212210myysyy，即22962103434mmsmm，所以13s，即4s，所以4,0M为所求.21.解：Ⅰ函数定义域为R，分当，即时，，此时在R递增，当即，时，，递增，时，，递减，时，，递增；，即时，和，，递增，时，，递减；综上所述，时，在R递增，时，在，递增，在递减，时，在，递增，在递减；Ⅱ，当时，由知在递增，在递减，，当时，函数单调递减，所以其最小值为，最大值为，所以下面判断与的大小，即判断与的大小，其中，令，，令，则，因，所以，单调递增；所以，，故存在使得，所以在上单调递减，在单调递增所以，所以时，，即也即．22.解:（1）将及对应的参数，代入，（，为参数），得,得.∴曲线的普通方程为.由代入上式得曲线的极坐标方程为.（2）曲线的极坐标方程为，由题意可设，,代入曲线的极坐标方程,得，,∴.由得所以点在以为圆心,半径为的圆上.23.解：（1），当且仅当，即时，取等号，故原式的最大值为12.（2）原式因为，当且仅当，即时，取等号所以原式，故原式的最大值为.