四川省泸县第四中学2020届高三数学上学期第一次月考试题 文

四川省泸县第四中学2020届高三数学上学期第一次月考试题文第I卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知是虚数单位，则A.B.C.D.2.已知集合，，则=A.B.C.D.3.关于函数的下列结论，错误的是A.图像关于对称B.最小值为C.图像关于点对称D.在上单调递减4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A.2B.4C.6D.85.函数的图像大致是A.B.C.D.6.在等差数列中，若，则等于A.5B.6C.7D.97.2018年12月1日，贵阳市地铁一号线全线开通，在一定程度上缓解了出行的拥堵状况.为了了解市民对地铁一号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：根据图中（岁以上含岁）的信息，下列结论中不一定正确的是A.样本中男性比女性更关注地铁一号线全线开通B.样本中多数女性是岁以上C.岁以下的男性人数比岁以上的女性人数多D.样本中岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高8.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A.B.C.D.9.在直角梯形中，，，，，是的中点，则A.B.C.D.10.若，，，则实数，，之间的大小关系为A.B.C.D.11.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，若的图象关于对称，则的值为A.B.C.D.12.在扇形OAB中，030AOB，C为弧AB上且与,AB不重合的一个动点，且OCxOAyOB，若xy（0）存在最大值，则的取值范围是A．33(,)43B．33(,)32C.33(,)42D．323(,)23第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知是第三象限角，1sin()3，则tan．14.有3个兴趣小组，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这三位同学中有且仅有两个同学参加同一兴趣小组的概率为．15.已知为等比数列的前项和，，若，则实数的值为__________.16.抛物线的焦点为，在上存在，两点满足，且点在轴上方，以为切点作的切线，与该抛物线的准线相交于，则的坐标为__________.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本大题满分12分）已知在中，角，，的对边分别是，，，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的面积的最大值.18.（本大题满分12分）基于移动网络技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，给人们带来新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最近6个月的市场占有率进行了统计，结果如下表：月份2018.112018.122019.012019.022019.032019.04月份代码123456111316152021（I）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合与月份代码之间的关系.如果能，请计算出关于的线性回归方程，如果不能，请说明理由；（II）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，从成本1000元/辆的型车和800元/辆的型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如下表：车型报废年限1年2年3年4年总计1030402010015403510100经测算，平均每辆单车每年能为公司带来500元的收入，不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，以平均每辆单车所产生的利润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？参考数据：，，，.参考公式：相关系数，，.19.（本大题满分12分）.如图，在边长为4的正方形中，点分别是的中点，点在上，且，将分别沿折叠，使点重合于点，如图所示.(I)试判断与平面的位置关系，并给出证明；(II)求二面角的余弦值.20.（本大题满分12分）已知椭圆的左，右焦点，，上顶点为，，为椭圆上任意一点，且的面积最大值为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若点.为椭圆上的两个不同的动点，且（为坐标原点），则是否存在常数，使得点到直线的距离为定值？若存在，求出常数和这个定值；若不存在，请说明理由.21.（本大题满分12分）已知函数.（Ⅰ）当时，函数在区间上的最小值为-5，求的值；（Ⅱ）设，且有两个极值点，.（i）求实数的取值范围；（ii）证明：.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程为：（为参数）.（I）把曲线的极坐标方程和直线的参数方程化为直角坐标方程；（II）若直线与曲线相交于两点，求.23.已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若函数的最小值为3，且，，证明：.2019-2020学年度秋四川省泸县四中高三第一学月考试文科数学试题答案1.B2.A3.C4.C5.D6.C7.C8.A9.D10.B11.A12.D13.4214.3215.16.16.作出抛物线的准线，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt△ABE中，cos∠BAE，得∠BAE＝60°，从而得到直线AB的方程，再与抛物线联立，求得A点坐标，求得切线方程，与x=-1联立，求得M的坐标．作出抛物线的准线l：x＝﹣1，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E∵3，∴设||＝m，则||＝3m，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得||＝||＝m，||＝||＝3m，∴||＝2m因此，Rt△ABE中，cos∠BAE，得∠BAE＝60°所以，直线AB的倾斜角∠AFx＝60°，得直线AB的斜率k＝tan60°．直线AB的方程为y（x﹣1），代入y2＝4x，可得3x2﹣10x+3＝0，∴x＝3或x，∵A在x轴上方，∴A（3，，∴设过A的切线的斜率为m，则切线的方程为，与联立得到，，可得，∴过A的切线的方程为，与x＝-1联立可得∴的坐标为故答案为．17.解：（1）因为，所以，所以，所以.又因为，所以.又因为，所以，所以.又，所以.（2）据（1）求解知，，所以.又，所以.又，当且仅当时等号成立，所以.所以面积的最大值.18（1）由表格中数据可得，，.∵.∴与月份代码之间具有较强的相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系.，∴，∴关于的线性回归方程为.（2）这100辆款单车平均每辆的利润为（元）这100辆款单车平均每辆的利润为（元）∴用频率估计概率，款单车与款单车平均每辆的利润估计值分别为350元、400元，应采购款车型.19.（1）平面．证明如下：在图1中，连接，交于，交于，则，在图2中，连接交于，连接，在中，有，，．平面，平面，故平面；（2）连接交与点，图2中的三角形与三角形PDF分别是图1中的与，，又，平面，则，又，平面，则为二面角的平面角．可知，则在中，，则．在中，，由余弦定理，得．二面角的余弦值为．20(Ⅰ)由题得，，解得，椭圆的标准方程为.(Ⅱ)设，，当直线AB的斜率存在时，设其直线方程为：，则原点到直线的距离为，联立方程，化简得，，由得，则，，即对任意的恒成立，则，，当直线斜率不存在时，也成立.故当时，点到直线AB的距离为定值.21.解：（Ⅰ），∵，，∴，所以在区间上为单调递增.所以，又因为，所以的值为8.（Ⅱ）（i）∵，且的定义域为，∴.由有两个极值点，，等价于方程有两个不同实根，.由得：.令，则，由.当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减.所以，当时，取得最大值，∵，∴当时，，当时，，所以，解得，所以实数的取值范围为.（ii）证明：不妨设，且①，②，①+②得：③②-①得：④③÷④得：，即，要证：，只需证.即证：.令，设，.∴在上单调递增，∴，即，∴.22.(Ⅰ)由得，即曲线C的直角坐标方程为：.直线的直角坐标方程为.(Ⅱ)联立方程整理得：，，.23.（Ⅰ）当时，，故不等式可化为：或或，解得：或.所求解集为：.（Ⅱ）因为.又函数的最小值为3，，所以，解得，即，由柯西不等式得，所以.