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四川省华文大教育联盟2019年高三第二次质量检测数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分别对集合和中关于的不等式进行求解，得到的范围，然后取交集，得到答案.【详解】集合中：，集合中：，解得所以故选D项.【点睛】本题考查解对数不等式，集合的交集运算，属于简单题.2.若都是实数，且，则的值是A.－1B.0C.1D.2【答案】C【解析】【分析】对条件中的式子进行化简，根据复数相等，得到相应的的值，得到答案.【详解】，，所以，解得，所以故选C项.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于简单题.3.国家统计局统计了我国近10年(2009年2018年)的GDP(GDP是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区总体经济状况的重要指标)增速的情况，并绘制了下面的折线统计图．根据该折线统计图，下面说法错误的是A.这10年中有3年的GDP增速在9．00％以上B.从2010年开始GDP的增速逐年下滑C.这10年GDP仍保持6.5％以上的中高速增长D.2013年—2018年GDP的增速相对于2009年—2012年，波动性较小【答案】B【解析】【分析】利用折线统计图，逐一作出判断即可.【详解】由图可知，这10年中有3年GDP的增速在9．00％以上，则选项A正确；2017年相比于2016年GDP的增速上升，则选项B错误；这10年GDP增速均超过6.5％，则选项C正确；显然D正确.故选：B【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4.已知向量，且向量满足，则A.2B.－3C.5D.－4【答案】C【解析】【分析】根据向量运算得到的坐标表示，然后利用向量垂直得到关于的方程，得到答案.【详解】由题意，，因为，所以即，解得故选C项.【点睛】本题考查向量坐标的运算，向量垂直的转化，属于简单题.5.一个盒中有形状、大小、质地完全相同的5张扑克牌，其中3张红桃，1张黑桃，1张梅花．现从盒中一次性随机抽出2张扑克牌，则这2张扑克牌花色不同的概率为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将所有情况全部列出，然后找到符合要求的情况数量，根据古典概型的概率公式，得到结果.【详解】所有会出现的情况有：（红1，黑1），（红1，梅1），（红2，黑1），（红2，梅1），（红3，黑1），（红3，梅1），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3），（黑1，梅1）共10种.其中符合花色不同的情况有：（红1，黑1），（红1，梅1），（红2，黑1），（红2，梅1），（红3，黑1），（红3，梅1），（黑1，梅1），共7种根据古典概型的概率公式得故选B项.【点睛】本题考查通过列举法求古典概型的概率，属于简单题.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限内的交点为，线段的中点到原点的距离为，则双曲线的渐近线方程为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意求出点的坐标，从而得到点的坐标，根据长度得到关于的方程，从而得到的值，得到渐近线方程.【详解】设双曲线的渐近线方程为，根据题意可知点坐标，为中点，所以可得，所以，所以，即所以双曲线的渐近线方程为故选A项.【点睛】本题考查通过双曲线中，线段的几何关系求双曲线渐近线方程，属于简单题.7.在中，内角A，B，C满足，则A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据条件中的式子进行角化边，从而根据余弦定理得到的值，再由二倍角公式得到的值.【详解】在中，由正弦定理，可得由余弦定理可得.所以.故选B项.【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，二倍角公式，属于简单题.8.如下图，执行程序框图，若输出结果为140，则判断框内应填A.n≤7?B.n7?C.n≤6?D.n6?【答案】D【解析】【分析】根据框图的循环语句进行循环，然后当输出结果为140时，得到的值，从而得到判断框内填写的语句.【详解】根据框图循环可知；；；；；.此时，结合选项可知，选D项.【点睛】本题考查程序框图循环结构，根据输出结果填写判断语句.9.如下图，在正方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与所成的角的大小是A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【解析】【分析】连结，可得，由面得，可得平面，则，有，可得，即与所成的角的大小是，故选D项.【详解】连结正方体，面面，所以正方形中，面，所以面，而面所以又为中点，为中点，可得所以，即异面直线与所成的角的大小是.故选D项.【点睛】本题考查正方体内异面直线所成的角，通过线线垂直证明线面垂直，属于中档题.10.已知函数的最小正周期为，且，则A.在内单调递减B.在内单调递减C.在内单调递增D.在内单调递增【答案】B【解析】【分析】对进行化简，根据最小正周期为得到的值，再由为偶函数得到的值，然后对解析式进行化简，从而得到其单调区间，得到答案.【详解】因为最小正周期为，，得因为，所以为偶函数，所以，而，所以即根据四个选项，可知B项正确.【点睛】本题考查三角函数公式的运用，正弦型函数的性质，属于简单题.11.已知椭圆C的方程为，焦距为，直线与椭圆C相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意表示出点坐标，然后代入椭圆方程，得到关于关系，求出离心率.【详解】设直线与椭圆在第一象限内的交点为，则由，可知，即，解得，所以把点代入椭圆方程得到，整理得，即，因，所以可得故选A项.【点睛】本题考查通过对已知条件的转化，将椭圆上一点的坐标用表示，再代入椭圆方程求出离心率，属于中档题.12.已知函数满足：，当若不等式恒成立，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先画出图像，由恒成立，可求出斜率为的切线，然后求出的取值范围.【详解】由，可知函数图像关于直线对称，作出函数示意图，如图所示.显然，当时，，，由题意，切线斜率为所以，解得所以在切点的切线方程为，即，由恒成立，可得图像与的图像相切或恒在图像的上方，故所求的范围为故选A项.【点睛】本题考查分段函数图像，不等式恒成立问题，数形结合的数学思想，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知函数的最小值为2，则___________.【答案】1【解析】【分析】对求导，得到的单调区间和最值，根据其最小值等于，得到的值.【详解】所以当时，，单调递减；当时，，单调递增所以，所以.【点睛】本题考查利用导数求函数的最小值，属于简单题.14.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为______.【答案】6【解析】【分析】根据约束条件，画出可行域，然后将目标函数转化为斜截式，找到最优解，求出的最大值.【详解】根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数转化为，为斜率为的一簇平行线，其中为纵截距，所以当直线经过点时，取得最小值，即的最大值.解得即所以【点睛】本题考查通过线性规划求目标函数的最大值，属于简单题.15.已知___________.【答案】【解析】【分析】利用，和，可得到的值，将进行转化，得到关于的式子，从而得到结果.【详解】所以【点睛】本题考查根据已知角的三角函数值求其它角的三角函数值，构造齐次式将弦化切，属于简单题.16.如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PAB垂直于底面ABC，△ABC与△PAB都是边长为的正三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为___________.【答案】【解析】【分析】根据条件分别作过和中心且分别垂直于面的垂线，找到三棱锥外接球的球心，然后得到相应线段的长度，求出外接球的半径，再计算出外接球的表面积.【详解】如图，设和中心分别为点和点，过点和点分别作面和面的垂线，则两条垂线相交于点，则三棱锥和三棱锥都是正三棱锥，则，所以为三棱锥的外接球球心.设中点为，连接，和都是边长为的正三角形，则则，在直角中，故三棱锥的外接球的表面积为.【点睛】本题考查求三棱锥外接球的半径，需要通过条件寻找其外接球球心和半径，属于难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.已知数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由和的关系式，得到和的递推关系式，从而得到的通项公式；（2）根据（1）中求得的通项，求出通项公式，然后分奇偶，分别求出其前项的和.【详解】（1）当时，.因为，所以，所以.因为，所以.两式相减，得，即又因为，所以.所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以.（2）由（1）可知故当为偶数时，当为奇数时，所以【点睛】本题考查通过与的关系求通项公式，分奇偶求数列的前项和，属于中档题.18.光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能．近几年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下，某地光伏发电装机量急剧上涨，如下表：某位同学分别用两种模型：①②进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下(注：残差等于)：经过计算得，．(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型?并简要说明理由．(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程，并预测该地区2020年新增光伏装机量是多少．(在计算回归系数时精确到0.01)附：归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】（1）选择模型①；（2），19.16（兆瓦）【解析】【分析】（1）根据残差图判断出估计值和真实值比较接近的模型，得到答案.（2）根据（1）得到回归方程，然后根据表中数据计算出回归方程中各参数的值，得到回归方程.【详解】（1）选择模型①.理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值比较相近，模型②的残差值相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好.（2）由（1）可知，关于的回归方程为，令，则.由所给数据可得.所以关于的回归方程为预测该地区2020年新增光伏装机量为（兆瓦）.【点睛】本题考查根据残差图判断拟合效果，根据表格数据求回归方程，属于中档题.19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=2，AB//DC，AB=2CD，∠BCD=90°．(1)求证：AD⊥PB；(2)求点C到平面PAB的距离．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取中点为，通过勾股定理证明，再得到平面，从而证明.（2）根据三棱锥等体积转化，以为底，为高，求出三棱锥的体积，再求出的面积，以为底，到平面的距离为高，从而得到到平面的距离.【详解】（1）如图，取中点为，连接因为所以四边形为正方形.所以所以.所以所以因为平面，平面，所以.又因为所以平面，而平面，所以（2）连接，设点到平面的距离为，则因为且所以平面，所以.在中即.所以.所以.所以，所以.所以点到平面的距离为.【点睛】本题考查通过证明线面垂直证明异面直线互相垂直，通过三棱锥等体积转化，求出点到面的距离，属于中档题.20.已知抛物线的焦点为F，点在此抛物线上，，不过原点的直线与抛物线C交于A，B两点，以AB为直径的圆M过坐标原点．(1)求抛物线C的方程；(2)证明：直线恒过定点；(3)若线段AB中点的纵坐标为2，求此时直线和圆M的方程．【答案】（1）；（2）定点；（3），【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，将转化为抛物线上的点到准线的距离，从而求出，得到抛物线方程.（2）直线与抛物线联立，得到，然后利用以为直径的圆过坐标原点，即,代入，求出斜率与截距的关系，得到直线过的定点.（3）根据中点坐标，求出直线的斜率，得到直线方程，再求出长度，即圆的半径，得到圆的方程.【详解】（1）抛物线，其准线为点在此抛物线上，，点到准线的距离等于,即，得所求抛物线方程为（2）①当直线斜率存在时，设直线的方程为，，易知.联立方程组得，从而可得方程由题意可知所以因为以为直径的圆过坐标原点，所以，即，所以，所以.所以直线的方程为，即，所以直线恒过定