留数定理与几类积分的计算

第1页留数定理与几类积分的计算中文摘要本文主要总结几类可用留数定理计算的积分的特征并给出对应的用留数定理算积分的步骤以及可行性说明。其中类型3是对文献1中给出的结论的推广，类型3中的引理2是笔者对文献1的一道习题的推广并给出了证明。接着笔者补充了参考文献2中多值函数积分部分4个引理的证明并给出相应的应用例子，类型7笔者根据个人理解将分成瑕积分和黎曼积分两类给出计算方法。关键词：留数定理，积分计算，单值函数，多值函数……正文（一）单值函数类型1：形如20(sint,cost)dtIR的实积分，其中(x,y)R是有理函数，并且在圆周22{(x,y):xy1}上分母不为零。解决技巧：令itze，将实积分转化为单位圆周上的复积分。由sin,cost,22itititititeeeetdziedti可得：22221111111(,)2Re((,),z)22222nkCkzzzzIRdzisRizzizizzi①其中，12,,...,nzzz是22111(,)22zzRizzzi在单位圆周内的所有孤立奇点，22111(,)22zzRizzzi在单位闭圆盘除去12,,...,nzzz外的其他点都解析。例子：类型2：形如(x)dxIR的实反常积分，其中(x)R是有理函数，在实轴上分母不为零，并且分母的次数至少比分子次数高2。计算公式为12Re(R(z),z)nkkIis（其中12,,...,nzzz为R(z)在上半平面的所有孤立奇点，R(z）在上半平面除去这些点外的其他点解析）第2页解决技巧：围道积分法。添加圆弧将实反常积分转化到计算留数和半径趋向于无穷的圆弧积分，其中R取逆时针方向。如图所示：图1可行性分析：由留数定理可得当12max(,,...,)nRzzz时，有1(z)dz(x)dx2Re(R(z),z)RnRkRkRRis②于是只要圆弧积分在半径趋于无穷时存在极限则可以算出原反常积分。要求分母的次数至少比分子次数高2可使得半径趋向于无穷的圆弧积分为零。证明：(z)dz(z)2(z)RRfffR，由于分母次数至少比分子次数高2，因而必有lim(z)0RfR，证得lim(z)dz0RRf。令R可得12Re(R(z),z)nkkIis例子：类型3：形如(x)e(0)ixIfdx的积分，其中(z)f在0lmz上可能有有限个孤立奇点外，在其余点解析，而且,0lim(z)0zlmzf，(z)f在实轴上的孤立奇点只能是可去奇点或者一阶极点。从对于类型2的可行性分析可知留数定理计算反常积分的可行性关键在于圆弧积分当半径趋于无穷时的极限好算，最好是为零。为了用留数定理解决类型3的积分需用Jordan引理。引理1（Jordan引理）:若函数(z)f在0,lmz(a0)Rza上连续，且,lim(z)0zlmzaf，则对任意正的常数0，都有lim(z)dz0RizRef，其中0:zRe,,iRlmzaRR用此引理可知满足引理要求的(z)f与ize的乘积做被积函数的圆弧积分当第3页半径趋于无穷时极限为零，可用留数定理计算反常积分(x)e(0)ixIfdx。类型3.1形如(x)e(0)ixIfdx的积分，其中(z)izef在上半平面0lmz上可能有有限个孤立奇点外,分母在实轴上没有零点，在其余点解析，而且,0lim(z)0zlmzf解决技巧：围道积分法。与类型2的解决技巧相同。计算公式及推导：若(z)izef在上半平面除去12,,...,nzzz等所有孤立奇点外连续，在0lmz连续，且,0lim(z)0zlmzf，则可得1(z)2Re((z),z)nizizkkefdzisef，分离实部和虚部可得：1sin(x)(x)2Re((z),z)nizkkfdxsef③1cos(z)(z)2{Re((z),z)}nizkkfdzlmsef④例子：类型3要求分母在实轴上不为零，此时我们会提出疑问——如果被积函数在实轴上有有限个点使得分母为零，此时能否使用留数定理？为简单起见，只讨论这些实值均是f(x)的一阶极点的情况。解决技巧：采用选取合适的积分闭路绕过奇点。如图2所示：图2可行性分析：由留数定理可得：1(z)dz(z)dz(x)dx(x)dx2Re(ef(z),z)RrnrRizizixixizkCCRrkefefefefis第4页由此式我们可知(x)e(0)ixIfdx计算关键在于小圆弧积分(z)dzrizCef当r趋于零时是否容易求极限。直观判断：0r时，ize可用0ie替代，(z)dzrizCef近似于0(0)(z)dz(0)riCzfez。由于z=0只是一阶极点，可0lim(z)rzf存在，用其替代分子的位置。1rCdziz。猜想0(z)dz(lim(z))rizCrefizf，证明两者相等的方法是作差，然后对作差结果的模进行合适放大来说明模必定为零。文献2对以上猜想的一般化是下面的引理2，此处略去证明。引理2：函数(z)f在区域D：120,arg(za)zar上连续，且lim(za)(z)zazDfA则210lim(z)dz()fiA（12,,0iaer）含实值一阶极点的类型3积分计算公式：其中12,,...,lxxx是(z)f在实轴上的所有一阶极点且除此之外无其他奇点。112Re(ef(z),z)Re(ef(z),x)nlizizktktIisis⑤证明：不妨设(z)f在实轴上只有两个一阶极点12,xx，12xx取积分闭路1122'[R,xr][xr,xr][xr,R](R,r)CRrrCLCLCL,其中',rrCC分别以12,xx为中心，以r为半径的半圆周，取顺时针方向。（r足够小，保证两半圆周无交）由留数定理可得：121(R,r)(z)dz(z)dz(x)dx(z)dz(x)dxRrxrxrizizixizixCCRCxrefefefefef+'21(z)dz(x)2Re((z),)rnRizixizkCxrkefefdxisefz由Jordan引理得lim(z)dz0RizCRef，由引理2得'1200lim((z)dz(z)dz)lim[(z)(z)(zx)(z)]rrizizizizCCrrefefixefef=12[Re((z),)Re((z),)]izizisefxsefx令0,rR可得I=121[Re((z),)Re((z),)]2Re((z),z)nizizizkkisefxsefxisef第5页最后用归纳法可证得f(z)有l个实值一阶奇点时⑤成立。例子：（二）多值函数类型4：形如0(x)x(1p0)pIfdx的反常积分，(z)f在C上除去12,,...,nzzz外解析，这些点均不在包括原点的正实轴上，z是(z)f的m阶零点（1m）解决技巧：做积分闭路C(R,r)如图3所示：图3可行性分析：利用多值函数pz在正实轴下沿是上沿的取值乘上一个不为1的常数k，用留数定理可得(R,r)1(z)2Re((z),)nppkCkzfdziszfz,将(1k)I转换到大圆弧积分，小圆弧积分和留数的计算。引理3：若单值函数(z)f在C上除去12,,...,nzzz外解析，这些点均不在包括原点的正实轴上，z是f(z)的m阶零点（1m）则有2012(x)dxRe(z(z),z)(1p0)1nppkpikixfsfe（在正实轴上取实值的一个单值解析分支内算留数）证明：考虑多值函数(z)pzf。在复平面上取正实轴作为割线，得一区域，再去掉12,,...,nzzz后得到的区域D内(z)pzf可以分解成单值解析分支。取(z)pzf在割线上沿取实值的分支，记为0[(z)]pzf，做积分闭路如图3所示，其中R足够大，使得12,,...,nzzz均在RC的内区域。rC以原点为圆心，r为半径。在实轴下沿，第6页p(lnarg2)0(zf(z))(z)zizkipef，因为在实轴上沿要取实值，可取k=0。在下沿有arg2z。由留数定理可得⑥2(R,r)1(z)dz(z)dz(z)dz(1e)(x)dx2Re((z),z)RrnRppppippkCCCrkzfzfzfxfiszf先计算1(z)dz2(R)RRppCzfM。(R)max(z)RzCMf,因为z是f(z)的m零点（1m），故存在常数c,当R足够大时有(R)max(z)RzCcMfR,此时有1R(z)dz22RpppCzfccRR;lim20pRcR得lim(z)dz0RpCRzf再计算1(z)dz2(r)rrppCzfM。由(z)f在z=0处解析得存在0M使得在原点的某一领域内(z)fM，故可得1(z)dz2rrppCzfM。由10lim20prMr得0lim(z)dz0rpCrzf。令0,rR可得：2012(x)dxRe((z),z)(1e)nppkpikixfszf例子：类型5:形如0f(x)lnxdxI的积分。若单值函数(z)f在C上除去12,,...,nzzz外解析，这些点均不在包括原点的正实轴上，此外z是(z)f的m阶零点，2m。解决技巧：所做的积分闭路与类型4一样。考虑多值函数2(z)(Lnz)f，因为lnln0RrrRxdxxdx我们无法得到I的等式，2(z)(Lnz)f可以保证I不被抵消而得到便于计算的等式。引理4：若函数(z)f满足类型5的要求，则有22001111(x)dx{Re(f(z)lnz,z)},(x)lnxdxRe{Re(f(z)lnz,z)}22nnkkkkflmsfs证明：考虑多值函数2(z)Lnfz，在复平面上取正实轴作为割线，得一区域，在这一区域除去12,,...,nzzz后得的区域D内可将2(z)Lnfz分成解析函数分支。取在第7页割线上沿取实值的分支，记为2(z)lnfz。做积分闭路如类型4，由留数定理可得22(R,r)1(z)lnzdz2Re(f(z)lnz,z)nkCkfis在正实轴下沿，222ln(ln2i)(lnx2i)zz。可得：21222222222222Re((z)lnz,)(z)lnzdz(z)lnzdz(x)lnx(x)(lnx2i)(z)lnzdz(z)lnzdz(x)lnx(x)lnx4(x)lnx4(x)(z)lnzdz(z)lnzdz4RrRrRrnkkRrCCrRRrRRCCrRrrCCisfzfffdxfdxfffdxfiffdxffif2(x)lnx4(x)RRrrdxfdx22(z)ln2(R)lnRCfzdzRMR。由z是(z)f的2m阶零点知:必定存在常数c，当R足够大时2(R)cMR2lim2(R)lnRRMR2lim2ln0RcRR，故可得2lim(z)ln0RCRfzdz。（(R)max(z)RzCMf）下面估算小圆弧积分。22(z)ln2(r)lnrCfzdzrMr（()max(z)rzCMrf），(z)f在原点解析，由