抛物线中的直角三角形(安松)

知识点(1)在平面直角坐标系中，若直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2垂直，则k1×k2=-1.BCA注意：此知识点在抛物线上求一点使三角形是直角三角形比较简单。注意：此知识点在对称轴或者坐标轴上求一点使三角形是直角三角形比较简单。(2)若△ABC是以点D为直角顶点的直角三角形，则AB2+BC2=AC2.范例学习例题1:如图，抛物线y＝x2-2x-3与x轴交于A(-1,0)、B(3,0),与y轴交于C(0，-3),且对称轴为x＝1.设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．分析：设P(3,m),先用两点间的距离公式表示出PC2,PB2及BC2,然后利用勾股定理建立关于m的方程,最后解方程,若方程有实数根,则存在;否则不存在．∴P点坐标为(1,-4).方法一:设P点坐标为(1,m),则PC2＝12＋(-3-m)2,BC2＝32＋32=18,PB2＝22＋m2,∵∠PCB＝90°,∴PC2＋BC2＝PB2.即[12＋(-3-m)2]＋18＝22＋m2,∴△PBC是直角三角形,且PB为斜边,解得:m=-4,方法二：要使∠PCB＝90°，则直线PC过点C，且与BC垂直，如图，过点C作直线PC⊥直线BC交对称轴于点P,当x=1时，y=-4，∵直线BC的解析式为y=x-3,∴设直线PC的解析式为y=-x+b,把C(0,-3)代入y=-x+b,得b=-3,∴直线PC的解析式为y=-x-3,∴P点坐标为(1,-4).例题2:如图,抛物线y=X2+2x-3交x轴于点A(1,0),交y轴于点B(0,-1),C为y轴负半轴上一点,且BC=2OB,抛物线交直线AB于点D,且CD∥x轴.在这条抛物线上是否存在一点M使得∠ADM为直角?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由．解析:由C(0,-3)、点D在抛物线上,且CD∥x轴,可得D的坐标,先由A、D的坐标可求出直线AD的解析式,然后设并求出直线DM的解析式,最后结合抛物线的解析式建立方程组即可求出M点的坐标。理由如下：由抛物线y=X2+2x-3,得C(0,-3),∵CD∥x轴,∴D的纵坐标为-3,把y=-3代入y=X2+2x-3，得X2+2x-3=-3，解得:x1=-2,x2=0,∴D的坐标为(-2,-3),设直线AD的解析式为y1=k1x+b1,则：320bk1111bk解得：1-1k11b∴直线AD的解析式为y1=x-1.解:存在点M,使得∠ADM=90°.如图，过点D作直线DM⊥直线DA交抛物线于点M,M设直线MD的解析式为y2=-x+b2,把D(-2,-3)代入y2=-x+b2,得b2=-5，∴直线MD的解析式为y1=-x-5.∵直线DA交抛物线于点M,∴-x-5=X2+2x-3解得:x1=-1,x2=-2,当x=-1时,y=1-5=-4;当x=-2时,y=2-5=-3;此时，M(-1,-4);此时，M与D重合;综上所述存在点M(-1,-4),使得∠ADM=90°．针对练习相交于点A(-2,0)、B(4,0),与y轴交于点C，顶点为点P.动点M从点O同时出发,都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB上向点B方向运动,过点M作x轴的垂线交BC于点F.是否存在这样的点F,使△PFB为直角三角形?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由。问题:如图,抛物线与x轴分别4212xxy解:存在,由题可得，C(0,4),P(1,4.5),当PF⊥BC时，3.5+x=y4+-x=y解得:415=y41=x)415,41(F∵直线BC的解析式为y=-x+4,∴设直线PF的解析式为y=x+b,把P(1,4.5)代入y=x+b,得b=3.5，∴设直线PF的解析式为y=x+3.5,∵直线BC与直线PF交于F,当PF⊥PB时，∵点P(1,4.5)、B(4,0),∴设直线PB的解析式为y=-1,5x+6,∴设直线PF的解析式为b,+x32=y把P(1,4.5)代入y=2/3x+b,得，623=b∴根据题意得：623+x32=y4+-x=y解得:1039=y101=x)1039,101(F综上所述，.....