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2018年四川省成都市第七中学高二下学期4月月考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.为了解名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为的样本，则分段的间隔为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：由题意知，分段间隔为，故选C.考点：本题考查系统抽样的定义，属于中等题.2.已知全集为实数集,集合,则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】集合,集合，所以或,所以,故选.3.“常数是2与8的等比中项”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】∵常数是2与8的等比中项，∴，解得．∴“常数是2与8的等比中项”是“”的必要不充分条件．选B．4.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：本题是几何概型问题，矩形面积2，半圆面积，所以质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，故选B．考点：几何概型．5.已知是双曲线的一个焦点，点到的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.2【答案】C【解析】设一条渐近线方程为，，则点到的一条渐近线的距离，则双曲线的离心率，故选C.6.等差数列，，，…的第四项等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由，得，又，故则数列前三项依次为，，，，从而第四项为故选：A7.如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（）A.4B.C.D.8【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是一个底面上底边长为2，下底边长为4，直角腰长为4的直角梯形，高为4的四棱锥，可面积最小的面积为面，即可求解.【详解】由三视图可知，该几何体是一个底面上底边长为2，下底边长为4，直角腰长为4的直角梯形，高为4的四棱锥，直观图如图所示，所以面积最小的面积为面，其中为直角三角形，且，所以面积为，故选B.【点睛】由三视图还原为空间几何体的直观图问题，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，通常以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑，同时求解以三视图为载体的空间几何体问题的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.8.已知曲线，则下列结论正确的是（）A.把向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B.把向右平移个单位长度，得到的曲线关于轴对称C.把向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D.把向右平移个单位长度，得到的曲线关于轴对称【答案】B【解析】对于A，把向左平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为，为偶函数，图象关于轴对称．故A不正确．对于B，把向右平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为，为偶函数，图象关于轴对称．故B正确．对于C，把向左平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为，无奇偶性，图象不对称．故C不正确．对于D，把向右平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为，无奇偶性，图象不对称．故D不正确．综上选B．9.公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.如图是根据刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.若运行该程序，则输出的的值为：（参考数据：，，）（）A.48B.36C.30D.24【答案】D【解析】【分析】模拟执行程序，逐次循环计算，根据判断条件，即可求解输出的结果，得到答案.【详解】由题意，模拟执行程序，可得：第一次循环：，，不满足条件，；第二次循环：，不满足条件，；第三次循环：，满足条件，退出循环，输出的值为24，故选D.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．10.若是函数的一个极值点，则当时，的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：求导，利用求得，再利用导数的符号变化确定函数在的单调性和极值，与端点函数值进行比较确定最小值．详解：因为，所以，由题意，得，解得，即，，所以在单调递增，在区间上单调递减，又，，所以的最小值为．点睛：1.已知函数在取得极值求有关参数时，不仅要重视，还要注意验证在两侧的符号不同；2.利用导数求函数在某闭区间上的最值的一般步骤是：①求导；②通过研究导数在该区间上的符号变化确定函数的单调性和极值；③比较极值和端点函数值，确定函数的最值．11.已知抛物线：经过点，过焦点的直线与抛物线交于,两点，，若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】抛物线：经过点，则p=2,,设,则,,,令,,,则,故选B.点睛:本题考查直线与抛物线的位置关系以及平面向量的垂直表示,属于中档题.先根据抛物线的方程恒过定点求出标准方程,得到焦点坐标,再设出曲线上点B的坐标,进而用向量垂直的方法表示出,可求出点B,设出曲线上点A的坐标,根据求出点A,进而得出答案.12.若曲线与曲线（）存在公共切线，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】在点的切线斜率为,在点的切线的斜率为,故,由斜率公式得,即,则有解.由,的图象有交点即可,相切时有,所以,故选D.【点睛】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程,过曲线上某点出的切线的斜率,就是函数在该点处的导数值,是中档题.要求曲线上某点的切线方程,需要到两个量,一个是切点,一个是切线的斜率,分别求得切点和斜率,然后根据点斜式可写出切线方程.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数满足条件，则的最大值是__________．【答案】7【解析】如图，过点时，14.已知平面向量，，且，则实数的值是__________．【答案】-1或2【解析】【分析】根据平面向量的共线条件和坐标表示，列出方程，即可求解，得到答案.【详解】由题意，知，，且，可得，即，所以或.【点睛】本题主要考查了平面向量的共线条件的应用和向量坐标表示，其中解答中熟记平面向量的共线条件，列出相应的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.15.已知数列的前项和为，且，则__________．【答案】14【解析】由题意得．答案：16.已知抛物线y=4x的焦点为F,准线为l,点M在l上,且在x轴上方,线段FM依次与抛物线、y轴交于点P,N,若P是FN中点，O是原点，则直线OM的斜率为_________.【答案】-4【解析】由题意得三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数.（1）求的最小正周期和最大值；（2）讨论在上的单调性.【答案】（1）最小正周期为，最大值为；（2）在上单调递增；在上单调递减.【解析】【分析】（1）化简函数的解析式，根据周期的计算公式，即可求解.（2）当时，求得，再根据三角函数的性质，即可求解函数的单调区间.【详解】（1）由题意，根据三角恒等变换的公式，化简得：，所以的最小正周期为，最大值为.（2）当时，则，可得当，即时，单调递增，当，即时，单调递减.综上可知，在上单调递增；在上单调递减.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的恒等变换，其中解答中正确利用三角恒等变换的公式，求得解析式，熟记三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.18.已知函数,曲线在点处的切线为，若时，有极值.（1）求的值；（2）求在上的最大值和最小值.【答案】解:（1）由f（x)=x3+ax2+bx+c,得f′(x)=3x2+2ax+b,当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0①当x=时，y=f(x)有极值，则f′（）=0,可得4a+3b+4=0②由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.∴1+a+b+c=4.∴c=5………………………………….6分（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴f′(x)=3x2+4x-4,令f′(x)=0,得x=-2,x=.当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：x-3(-3,-2)-2(-2,)(,1)1+0-0+y8单调增递13单调递减单调递增4∴y=f(x)在[-3，1]上的最大值为13，最小值为…………………….14分【解析】试题分析：(1)利用题意求得实数a,b,c的值可得函数f(x)的表达式为f(x)＝x3＋2x2－4x＋5(2)结合(1)的解析式和导函数研究原函数的性质可得y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.试题解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0；①当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝－4，又切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4.∴1＋a＋b＋c＝4.∴c＝5.(2)由(1)，得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝，∴f′(x)0的解集为，即为f(x)的减区间．[－3，－2)、是函数的增区间．又f(－3)＝8，f(－2)＝13，f＝，f(1)＝4，∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.19.某地区积极发展电商，通过近些年工作的开展在新农村建设和扶贫过程中起到了非常重要的作用，促进了农民生活富裕，为了更好地了解本地区某一特色产品的宣传费(千元)对销量(千件)的影响，统计了近六年的数据如下：（1）若近6年的宣传费与销量呈线性分布，由前5年数据求线性回归直线方程，并写出的预测值；（2）若利润与宣传费的比值不低于20的年份称为“吉祥年”，在这6个年份中任意选2个年份，求这2个年份均为“吉祥年”的概率附：回归方程的斜率与截距的最小二乘法估计分别为，，其中，为，的平均数.【答案】(1)，的预测值为82.5(2)【解析】【试题分析】(1)利用回归直线方程计算公式计算得回归直线方程,令,求得预测值为.(2)利用列举法和古典概型计算公式,计算得概率为.【试题解析】（1）由前5年数据可得：，，，∴∴回归直线方程为,将代入得∴的预测值为82.5.（2）从6个年份中任取2个年份的情况为：，，，，，，，，，，，，，，，共15种.2个年份均为“吉祥年”的情况有：，，，，，，共6种.∴6个年份中任意选个2个年份均为“吉祥年”的概率为.20.（2015新课标全国Ⅰ理科）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．（1）证明：平面AEC⊥平面AFC；（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1易证EG⊥AC，通过计算可证EG⊥FG，根据线面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法可求出异面直线AE与CF所成角的余弦值.试题解析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=.由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC，在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.在Rt△FDG中，可得FG=.在直角