四川省成都市第七中学2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)一、选择题(共12个小题,每小题5分,共60分.)1.已知等差数列的前n项和为,若,则等于A.18B.36C.54D.72【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的性质:下标之和相等的两项的和相等,由,结合等差数列的求和公式可求得.【详解】数列为等差数列,,由等差数列的性质得:,又其前项和为,,故选D.【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的求和公式的应用,属于中档题.解答与等差数列有关的问题时,要注意应用等差数列的性质()与前项和的关系.2.已知点的坐标满足条件,则的最大值为()A.B.8C.10D.16【答案】C【解析】可行域如图,表示可行域内点到原点距离的平方,所以的最大值为,选C.点睛:线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.3.已知等比数列为递增数列,且,则数列的通项公式()A.B.C.D.【答案】A【解析】由得,由得,所以,选A.4.如图,则()A.90°B.60°C.45°D.30°【答案】B【解析】由三余弦定理得选B.5.若直线与直线互相垂直,则的值为()A.1B.-1C.D.【答案】C【解析】由两直线垂直充要条件得:,选C.6.若的内角的对边分别为,且,则等于()A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析:针对利用正弦定理边角互化可得,即,所以,所以.考点:本小题主要考查解三角形,正弦定理、余弦定理.7.直线与连接的线段相交,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意得在直线上或异侧,所以,选D.8.已知某几何体的三视图如图所示,其中,主(正)视图,左(侧)视图均是由直角三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接直角三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解:由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥,下部分是半球,所以根据三视图中的数据可得:V=1/2×4π/3×()3+1/3×1/2×1×1×1=π/6+1/6,故选C.9.(1+tan17°)(1+tan28°)的值是()A.-1B.0C.1D.2【答案】D【解析】,选D.点睛:应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.10.设,则有()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用两角差的正弦公式化简,分子分母同乘以结合二倍角的正弦公式化简,利用降幂公式化简,从而可得结果.【详解】,,故选A.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式,两角差的正弦公式,意在考查综合运用所学知识解答问题的能力,属于中档题.11.若sin=-cos2α,则sin2α的值可以为()A.-或1B.C.D.-【答案】A【解析】,选A.点睛:三角函数求值的三种类型(1)给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.(3)给值求角:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.12.如图,正方体的棱长为1,线段上有两个动点E,F,且,则下列结论中错误的是()A.B.C.三棱锥的体积为定值D.异面直线所成的角为定值【答案】D【解析】试题分析:∵AC⊥平面,又BE⊂平面,∴AC⊥BE.故A正确.∵EF垂直于直线,,∴⊥平面AEF.故B正确.C中由于点B到直线的距离不变,故△BEF的面积为定值.又点A到平面BEF的距离为,故VA-BEF为定值.C正确当点E在处,F为的中点时,异面直线AE,BF所成的角是∠FBC1,当E在上底面的中心时,F在C1的位置,异面直线AE,BF所成的角是∠EAA1显然两个角不相等,D不正确考点:棱柱的结构特征;异面直线及其所成的角二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题纸上)13.如图,正方体中,直线与所成角大小为__________.【答案】【解析】因为,所以直线与所成角为因为,所以,即直线与所成角大小为14.过点且与原点的距离为1的直线共有__________条.【答案】2【解析】显然过点且与原点的距离为1;再设,由,所以满足条件的直线有两条15.已知关于的不等式的解集为,则__________.【答案】-2【解析】为方程两根,因此16.数列满足,,写出数列的通项公式__________.【答案】【解析】因为,所以,两式相减得,即,又,所以,因此点睛:给出与的递推关系求,常用思路是:一是利用转化为的递推关系,再求其通项公式;二是转化为的递推关系,先求出与之间的关系,再求.应用关系式时,一定要注意分两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起.三、解答题(共6小题,第17题10分,18至22题每题12分,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.如图所示,在直三棱柱中,,点是的中点.(1)在棱上找一点,当在何处时可使平面平面,并证明你的结论;(2)求二面角大小的正切值.【答案】(1)在棱中点(2)【解析】试题分析:(1)先寻找线线平行,所以取为棱中点,再根据线面平行判定定理得线面平行,最后根据线面平行证面面平行(2)过点作直线的垂线,再由三垂线定理可得也与直线垂直,即为二面角的平面角.再结合勾股定理解三角形得二面角大小的正切值试题解析:解:(1)当在棱中点时,可使平面平面,证明:易得.因此平面平面.(2)在平面内,过点作直线的垂线,记垂足为,连接,即为二面角的平面角.由已知,结合勾股定理得为直角三角形,,从而.二面角大小的正切值为.点睛:(1)探索性问题通常用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.18.已知直线,直线交轴负半轴于点,交轴正半轴于点.(1)记的面积为,求的最小值并求此时直线的方程;(2)直线过定点,求的最小值.【答案】(1)最小值为4,直线方程为(2)4【解析】试题分析:(1)分别求出直线与坐标轴的交点,根据直角三角形面积公式可得,再根据基本不等式求最值,并确定的值,即得直线的方程;(2)利用向量数量积得,再根据基本不等式求最值试题解析:解:由题意,分别令,解得且.(1)时,当且仅当时取等.所以的最小值为4,此时直线的方程为.(2)易得,∴,,当且仅当时取到,的最小值为4.点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.19.如图,已知矩形所在的平面,分别为的中点,.(1)求证:平面;(2)求与面所成角大小的正弦值;(3)求证:面.【答案】(1)见解析(2)(3)见解析【解析】试题分析:(1)取的中点,利用平几知识证四边形是平行四边形.即得.再根据线面平行判定定理得平面;(2)由矩形得即为与面所成角,再解直角三角形得与面所成角的正弦值(3)由等腰三角形性质得,再根据矩形得而,所以根据线面垂直判定定理得平面,即得,因此平面.最后根据,得面.试题解析:解:记中点为,易得平行且等于,(1)证明:如图,取的中点,连结,则有,且,∴四边形是平行四边形.∴.∵平面,平面,∴平面;(2)易得即为与面所成角,,所以,与面所成角大小的正弦值为;(3)证明:∵平面平面平面.∴,∵,∴平面,又∵平面,∴,∵,为中点,∴,又∵,∴平面.∵,∴平面.20.已知,函数,的内角所对的边长分别为.(1)若,求的面积;(2)若,求的值.【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(1)先根据向量数量积坐标表示得,再根据二倍角公式及配角公式得,根据可解得,由正弦定理可得即得,最后根据直角三角形面积公式求面积(2)由得利用同角三角函数关系得,最后根据,利用两角和余弦公式展开得的值.试题解析:解:,(1)由,结合为三角形内角得而.由正弦定理得,所以.(2)由时,,∴,21.设的内角所对的边长分别为,且.(1)求的值;(2)若,求的最大值.【答案】(1)(2)20解析:(1)由正弦定理,结合三角形中和差角公式得:,从而,即;(2)由(1)知内角均为锐角,如图所示过作垂直于垂足为.设,由题意结合得,且,所以时,.【解析】试题分析:(1)由正弦定理将边化为角:,再根据三角形内角关系及诱导公式得,即得,因此;(2)过作垂直于垂足为,利用底乘高的一半表示三角形面积:设,则由比例关系,因此,又,所以可利用基本不等式求最值试题解析:(1)由正弦定理,结合三角形中和差角公式得:,从而,即;(2)由(1)知内角均为锐角,过作垂直于垂足为.设,由题意结合得,且,所以时,.22.已知数列满足.(1)设,求数列的通项公式;(2)求数列的前项和;(3)记,求数列的前项和.【答案】(1)(2)(3)【解析】试题分析:(1)对条件两边同除以得,即得数列首项及公差均为1的等差数列,再根据等差数列通项公式求数列的通项公式;(2)因为,所以利用错位相减法求和得数列的前项和;(3)对裂项处理:,再根据分组求和以及裂项相消法求和得数列的前项和.试题解析:(1)由得,得;(2)易得,错位相减得所以其前项和;(3),或写成.点睛:用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.