2021级硕士研究生《数值分析》试卷(A)与参考答案

精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜2021级硕士研究生《数值分析》试卷(A)与参考答案篇一：硕士研究生《数值分析》试卷2021(A)硕士研究生《数值分析》试卷2021(A)一、判断题(下列各题，你认为正确的，请在题后的括号内打“√”，错误的打“×”，每题2分，共10分)1.近似数x?3.200关于准确值x?3.200678有4位有效数字。()2.设xi(i?0,1,2,3)是互异的点，li(x)(i?0,1,2,3)是Lagrange插值基函数，则*?4xl(x)?4x2iii?0732.()1234精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜5673.设f(x)?x?3x?2，则差商f[2,2,2,2,2,2,2]?1。()4.设A是n阶非奇异方阵，则解方程组Ax?b的迭代法收敛的充要条件是A的谱半径3?(A)?1。()5.解常微分方程初值问题的四阶Runge-Kutta方法的整体截断误差是O(h)，其中h是步长。()二、填空题(每空2分，共16分)1.设x?(2,1,?3,4)，A??2.设I?T4??25??.则||x||1?Cond(A)??4?3???20若用梯形求积公式计算I，结果是4；用Simpson求积公式计算I，f(x)dx，结果是2.则f(1)?.3.设S是函数f在区间[0,3]上满足第一类边界条件的的三精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜次样条：?x2,0?x?1,?S(x)??12??x?1??a?x?1??b,1?x?3,?2则a?，b?f?(3)?.4.设函数f(0.8)??1.2,f(0.9)??1.4,f(1)??1.0,f(1.1)?0.2,f(1.2)?0.5,步长h?0.2，则用三点数值微分公式计算f?(1)的近似值为.5.设函数f(x)是最高次项系数为?1的3次多项式，的Lagrange插值多项式,则余项f(x)?*p2(x)是f(x)在节点?1,0,1上p2(x)?*三(本题满分8分)的近似值x的相对误差限是0.01%，求x至少应具有几位有效数字？四(本题满分10分)对下列方程组分别建立收敛的Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式，并说明理由。?3x1?2x2?10x3?15,???10x1?4x2?x3?5,?2x?10x?7x?8.精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜23?1五(本题满分10分)用下列表中的数据求插值多项式p(x)，使之满足p(xi)?f(xi)，i?0,1,2，和p?(x0)?f?(x0),p?(x0)?f?(x0).六(本题满分12分)(1)确定x1,x2,A1,A2，使下面的求积公式为Gauss型求积公式?1?1f(x)dx?A1f(x1)?A2f(x2).(2)用(1)中的两点Gauss公式计算I??1xcos2xdx的近似值。*x是方程f(x)?0的单根。七(本题满分12分)(1)设f?C2[a,b]，写出求x的Newton迭代格式；并证明求x的Newton迭代法至少是平方收敛的。(2)取初值x0?1.5,x1?1.6，用弦截法求方程x?2x?1?0在x0?1.5附近的实根3*精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜*x*.（只迭代两次）。八(本题满分10分)求拟合下列表中数据的1次最小二乘多项式p1(x)，取权?i?1，i?0,1,2,3，并计算总误差Q.九(本题满分12分)(a)证明Euler方法具有1阶精度。(b)用改进的Euler方法求解下列初值问题，取步长h?0.5，y?dy?1?,?dtt??y(1)?2.?1?t?2,.篇二：研究生《数值分析》考卷参考答案2021-2021学年研究生《数值分析》参考答案与评分标准一、（10分）（1）误差产生的来源主要是哪几方面？（2）设x?10?5%，求函数f(x)?x的相对误差界。解：（1）误差产生的来源主要是模型误差、观测误差、舍入误差、截断误差。（2）近似数x?10，绝对误差限?*(x*)?0.05，自变量的相对误差限为?r(x)?函数值的绝对误差***0.05?0.005。101f(x)?f(x)?f?(x)(x?x)?x*精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜n***?1?1nx*(x?x)?*(x?x*)，nx*所以函数值的相对误差e?*rf(x)?f(x*)f(x*)?x*nx*?x*(x?x*)*x?x11**???r(x)*nxn**代入?r(x)得数据，可取函数值f(x)相对误差限为：?r(f(x))?**1**1??r(x)??0.005。nn二、（10分）设l0?x?，l1?x?，?,ln?x?是以x0,x1,?,xn为节点的Lagrange插值基函数，试证：k?0,?1,?(1)?lj?0?xk?k?1,2,?n,?0,jj?0???1?nxx?x,k?n?1;01n?n(2)设p(x)为任意首项次数为1的(n?1)次多项式，则p(x)??p(xj)lj?x???(x)，j?0n其中?(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)。k证明：（1）考虑函数f(x)?x（其中k?0,1,2,?,n?1），利用Lagrange插值余项公式有f(n?1)(?)f(x)?Ln(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)(n?1)!即f(n?1)(?)f(x)??xl?x??(x?x0)(x?x1)?(x?xn)，①精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜(n?1)!j?0nkjj其中?介于x，x0,x1,?,xn之间。当k?0时，f(x)?1，fnkjj(n?1)(x)?0，于是由式①得，f(n?1)(?)1??xl?x??(x?x0)(x?x1)?(x?xn)?0(n?1)!j?0取x?0既得?xl?0??1；kjjj?0n当k?1,2,?,n时，f(x)?xk，fknkjj(n?1)(x)?0，于是由式①得，f(n?1)(?)x??xl?x??(x?x0)(x?x1)?(x?xn)?0(n?1)!j?0取x?0既得?xl?0??0；kjjj?0nn?1当k?n?1时，f(x)?x，f(n?1)(x)?(n?1)!，于是由式①得，xn?1f(n?1)(?)??xl?x??(x?x0)(x?x1)?(x?xn)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)(n?1)!j?0nn?1jjkn??xl0?(?1)x0x1?xn。?jj精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜j?0n取x?0既得(n?1)(2)若p(x)为任意首项次数为1的(n?1)次多项式，则p(x)?(n?1)!，则利用Lagrange插值余项公式有p(n?1)(?)p(x)?Ln(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)(n?1)!即p(x)??p(xj?0nj)lj?x???(x)。三、（15分）1、叙述3次样条的定义；2、确定参数a、b、c、d、e的关系，使得函数s(x)是3次样条函数，其中?a(x?2)2?b(x?1)3,x?(??,1)?2x?[1,3)s(x)??c(x?2),?d(x?2)2?e(x?3)3,x?[3,?)?为了使函数s(x)满足条件s(0)?26，s(1)?7，s(4)?25求确定参数a、b、c、d、e的值。解：1、若函数s(x)在定义区间[a,b]（也可以是开区间）上二阶导数连续，且在在每个小区间[xj,xj?1]（?0,1,2,?,n）上是三次多项式，其中a?x0?x1???xn?b是给定的节点，则称s(x)是节点x0,x2,?,xn上的3次样条函数。2、由?a(x?2)2?b(x?1)3,x?(??,1)?s(x)??c(x?2)2,x?[1,3)?d(x?2)2?e(x?3)3,x?[3,?)?精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜可得s(1)???s(1?0)?a,?s(3?0)?c,s(3)??s(1?0)?c,s(3?0)?d,??s?(1)???s?(1?0)??2a,?s?(3?0)?2c,s?(3)???s?(1?0)??2c,?s?(3?0)?2d,?s??(1?0)?2a,?s??(3?0)?2c,s??(3)??s??(1)??????s(1?0)?2c,s(3?0)?2d,??为了使函数s(x)是3次样条函数，当且仅当a?c，c?d即a?c?d，b，d可以任意取值。为了使函数s(x)满足条件s(0)?26，s(1)?7，s(4)?25，根据上面推导过程，可得?s(0)?4a?b?26,?s(1)?a?7,??s(4)?4d?e?25,?结合a?c?d，可得a?c?d?7，b?2，e??3。四、（15分）设f(x)、g(x)?C[a,b]，分别定义（1）(f,g)?（2）(f,g)??baf?(x)g?(x)dx；?baf?(x)g?(x)dx?f(a)g(a)；b问这两种定义是否构成内积？解：（1）由(f,g)??af?(x)g?(x)dx结合定积分线性性，可得精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜(f,g)?(g,f)，(?f,g)??(f,g)，其中?为常数，(f1?f2,g)?(f1,g)?(f2,g)，但不满足“(f,f)?0，当且仅当f?0时(f,f)?0”，这是因为(f,f)??(f?(x))ab2dx?0ba只能推出f?(x)?0，即f(x)为常数，但不一定为0，故(f,g)??f?(x)g?(x)dx不构成内积。（2）由(f,g)?则，可得(f,g)?(g,f)，(?f,g)??(f,g)，其中?为常数，(f1?f2,g)?(f1,g)?(f2,g)，下面考察第4条“(f,f)?0，当且仅当f?0时(f,f)?0”。由于b?af?(x)g?(x)dx?f(a)g(a)，结合定积分线性性和四则运算法(f,f)??(f?(x))2dx?f2(a)，ab当f?0时，则有(f,f)?反之，若(f,f)??0ab2dx?02?0；?(f?(x))ab2dx?f2(a)?0，则必有f?0，即精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜(f,g)??baf?(x)g?(x)dx?f(a)g(a)满足内积公理的四个条件，所以它构成内积。五、（10分）确定参数a、b、c，构造下面积分公式，使其代数精度尽可能高，并指出其代数精度?h?hf(x)dx?h[af(0)?b(f(?h)?f(h))?c(f(?2h)?f(2h))]。解：由于对称性，上述积分公式对于奇次幂函数显然成立。求积公式有三个待定参数，即a、b、c，将f(x)?1,x2,x4，分别代入求积公式，令其左右相等，拟解得三个待定参数。设积分公式对f(x)?1成立，得h[a?1?b(1?1)?c(1?1)]?2h即a?2b?2c?2；类似，设积分公式对f(x)?x2成立，得b?4c?设积分公式对f(x)?x4成立，得b?16c?解联立方程组1；31。5a?2b?2c?2,1b?4c?,31b?16c?,51921得a?，b?，c??，于是积分公式为154590精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜?h?h21?19?f(x)dx?h?f(0)?(f(?h)?f(h))?(f(?2h)?f(2h))?。4590?15?56对于f(x)?x积分公式显然成立。对于f(x)?x，2h7左边=?xdx?，?h7h6右边=h?21?19?f(0)?(f(?h)?f(h))?(f(?2h)?f(2h))?4590?15?篇三：硕士生数值分析试卷答案2021湖北工业大学2021级硕士学位研究生试题科目代号考试时间2021.12.26上午8:30-10:30科目名称考试地点2-007;2-008数值分析1、答案请写在答题纸上，在此试卷上答题无效。2、允许使用计算器一、填空题（每小题2分，共20分）(1)设x的相对误差为2%，则x的相对误差是(2)设f(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)，则差商f[x0,x1]，f[x0,x1,x2](3)设lj