四川省2019年中考数学试题研究 几何图形综合题题库

题型四几何图形综合题类型一动态探究型1.如图,BD是正方形ABCD的对角线,BC=2,动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动,同时动点Q从点C出发,以相同的速度沿射线BC运动,当点P出发后,过点Q作QE⊥BD,交直线BD于点E,连接AP、AE、PE、QE,设运动时间为t（秒）.（1）请直接写出动点P运动过程中,四边形APQD是什么四边形？（2）请判断AE,PE之间的数量关系和位置关系,并加以证明;（3）设△EPB的面积为y,求y与t之间的函数关系式;（4）请求出△EPQ的面积是△EDQ面积的2倍时t的值.第1题图解：（1）四边形APQD是平行四边形;【解法提示】∵四边形ABCD是正方形,P、Q速度相同,∴∠ABE=∠EBQ=45°,AD//BQ,AD=BC=2,BP=CQ,∴BC=AD=PQ,∴四边形APQD是平行四边形;（2）AE=PE,AE⊥PE;证明如下：∵QE⊥BD,∴∠PQE=90°-45°=45°,∴∠ABE=∠EBQ=∠PQE=45°,∴BE=QE,在△AEB和△PEQ中,QEBEPQEABEPQAB,∴△AEB≌△PEQ（SAS）,∴AE=PE,∠AEB=∠PEQ,∴∠AEP=∠BEQ=90°,∴AE⊥PE;（3）如解图①,过点E作EF⊥BC于点F,第1题解图①∵BC=2,CQ=t,∴BQ=t+2,∵EF⊥BC,且∠EBC=∠EQB=45°,∴EF=BF=FQ,∴EF=21BQ=22t,又∵BP=QC=t,∴y=21EF·BP=21×22t×t,即y=41t2+21t;（4）①当点P在BC的延长线上时,如解图②,作PM⊥QE于点M,第1题解图②∵PQ=2,∠BQE=45°,∴PM=22PQ=2,BE=QE=22BQ=22(t+2),∴DE=BE-BD=22(t+2)-22=22t-2,∵△EPQ的面积是△EDQ面积的2倍,∴EQDEPMEQ21221,∴21×22(t+2)×2=2×21(22t-2)×22(t+2),解得：t=3或t=-2（舍去）,∴t=3;②当P在线段BC上时,解法同①,此时DE=BD-BE=2-22t,∵△EPQ的面积是△EDQ面积的2倍,∴EQDEPMEQ21221,∴21×22(t+2)×2=2×21(2-22t)×22(t+2),解得：t=1或t=-2（舍去）,∴t=1;综上所述,当t=1或t=3时,△EPQ的面积是△EDQ面积的2倍.2.如图,在矩形ABCD中,AB＝6cm,BC＝8cm,对角线AC,BD交于点O.点P从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为1cm/s；同时,点Q从点D出发,沿DC方向匀速运动,速度为1cm/s；当一个点停止运动时,另一个点也停止运动．连接PO并延长交BC于点E,过点Q作QF∥AC交BD于点F.设运动时间为t(s)(0t6),解答下列问题：(1)当t为何值时,AP＝PO；(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2),试确定S与t的函数关系式；(3)当t为何值时,OD平分∠COP？第2题图解：(1)∵在矩形ABCD中,AB＝6cm,BC＝8cm,∠ABC＝90°,∴AC＝10cm,AO＝12AC＝5cm,如解图①,过点P作PM⊥AO于点M,第2题解图①当AP＝PO＝t时,AM＝12AO＝52cm,∵∠PMA＝∠ADC＝90°,∠PAM＝∠CAD,∴△APM∽△ACD,∴APAC＝AMAD,即t10＝528,解得t＝258,即t＝258s时,AP＝PO；(2)如解图②,过点O作OH⊥BC交BC于点H,则OH＝12CD＝12AB＝3cm.由矩形的性质可知∠PDO＝∠EBO,DO＝BO,在△DOP和△BOE中,∠PDO＝∠EBOOD＝OB∠DOP＝∠BOE,∴△DOP≌△BOE(ASA),∴BE＝PD＝(8－t)cm,则S△BOE＝12BE·OH＝12×(8－t)×3＝12－32t.∵FQ∥AC,第2题解图②∴△DFQ∽△DOC,相似比为DQDC＝t6,∴362tSSDOCDFQ△△,∵S△DOC＝14S矩形ABCD＝14×6×8＝12cm2,∴S△DFQ＝12×t236＝t23,∴S五边形OECQF＝S△DBC－S△BOE－S△DFQ＝12×6×8－(12－32t)－t23＝－13t2＋32t＋12,∴S与t的函数关系式为S＝－13t2＋32t＋12；(3)如解图③,过点D作DM⊥PE于点M,作DN⊥AC于点N,易证△ADN∽△ACD,∴DNCD＝ADAC,即DN6＝810,∴DN＝245,第2题解图③∵∠POD＝∠COD,∴DM＝DN＝245,∴ON＝OM＝OD2－DN2＝75,∵S△POD＝12OP·DM＝12×12PD·DC,∴OP·DM＝12PD·DC,∴OP＝5－58t,∴PM＝OP-OM＝185－58t,∵PD2＝PM2＋DM2,即(8－t)2＝(185－58t)2＋(245)2,解得t1＝16(不合题意,舍去),t2＝11239,∴当t＝11239s时,OD平分∠COP.3.如图,已知△ABC中,AB＝10cm,AC＝8cm,BC＝6cm.如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动,它们的速度均为2cm/s.连接PQ,设运动的时间为t(单位：s)(0≤t≤4)．第3题图(1)当t为何值时,PQ∥BC；(2)设△AQP的面积为S(单位：cm2),当t为何值时,S取得最大值,并求出最大值；(3)是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在,求出此时t的值；若不存在,请说明理由．解：(1)由题意知BP＝2t,AP＝10－2t,AQ＝2t,∵PQ∥BC,∴△APQ∽△ABC,∴APAB＝AQAC,即10－2t10＝2t8,解得t＝209,即当t为209s时,PQ∥BC；(2)∵AB＝10cm,AC＝8cm,BC＝6cm,∴AB2＝AC2＋BC2,∴△ABC为直角三角形,∴∠C＝90°,如解图,过点P作PD⊥AC于点D,第3题解图则PD∥BC,∴△APD∽△ABC,∴APAB＝PDBC,∴10－2t10＝PD6,∴PD＝35(10－2t),∴S＝12AQ·PD＝12×2t×35(10－2t)＝－65t2＋6t＝－65(t－52)2＋7.5,∵－650,抛物线开口向下,有最大值,且0≤t≤4,∴当t＝2.5s时,S有最大值,最大值是7.5cm2；(3)不存在．理由如下：假设存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分,则S△AQP＝12S△ABC,即－65t2＋6t＝12×12×8×6,整理得t2－5t＋10＝0,∵b2－4ac＝(－5)2－4×10＝－150,∴此方程无实数解,即不存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．4.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,边长AB=6,对角线AC、BD交于点O,线段AD上有一动点P,过点P作PH⊥BC于点H,交直线CD于点Q,连接OQ,OP,设线段PD=m．(1)求线段PH的长度；(2)设△DPQ的面积为S,求S与m之间的关系式；(3)当△DPQ的面积与△CQH的面积相等时,m的值是多少？第4题图解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴BC∥AD,AB=AD=CD=6,∵∠BAD=120°,∴∠ADC=60°,∴△ACD是等边三角形,如解图,过点C作CG⊥AD于G,在Rt△CDG中,∠CDG=60°,CD=6,∴DG=3,CG=33,∵BC∥AD,PH⊥BC,CG⊥AD,∴四边形CHPG是矩形,∴PH=CG=33,第4题解图(2)在Rt△PDQ中,∠PDQ=60°,DP=m,∴PQ=3m,∴S=S△PDQ=12DP·PQ=12m×3m=32m2（0＜m≤6）,(3)∵点Q在线段CD上,AD∥BC,∴△CHQ∽△DPQ,当△DPQ的面积与△CQH的面积相等时,有△CHQ≌△DPQ,∴CQ=DQ=12CD=3,在Rt△PQD中,∠PDQ=60°,DQ=3,∴DP=32,即m=32时,△DPQ的面积与△CQH的面积相等．5.如图,在平面直角坐标系中,长方形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OA＝12,OC＝8,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动,运动到点A停止,Q在线段CO上沿CO方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动,运动到点O停止,设运动时间为t秒．（1）B点的坐标为,OQ＝,AP＝；（用含t的代数式表示）（2）当t为何值时,△BCQ的面积不小于△BAP的面积？（3）当t为何值时,△OPQ的面积与△BAP的面积的和为36？请求出t的值；连接AC,试探究此时线段PQ与AC之间的数量关系并说明理由．第5题图备用图解：（1）（12,8）,8-t,12-1.5t；【解法提示】∵四边形OABC是矩形,且OA＝12,OC＝8,∴B（12,8）,由题意得：OP＝1.5t,CQ＝t,∴AP＝12-1.5t,OQ＝8-t.（2）∵S△BCQ≥S△BAP,∴21CQ·BC≥21AP·AB,12t≥8（12-1.5t）,t≥4,∵点P在线段OA上沿OA方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动,运动到点A停止,点Q在线段CO上沿CO方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动,运动到点O停止,∴12÷1.5＝8,8÷1＝8,∴0≤t≤8,∴当4≤t≤8时,△BCQ的面积不小于△BAP的面积；（3）由题意得：S△OPQ+S△BAP＝36,∴21OP·OQ+21AP·AB＝36,21×1.5t×（8-t）+85.11221t＝36,t＝4或-4（舍）,∴当t＝4时,△OPQ的面积与△BAP的面积的和为36；此时AC＝2PQ,理由如下：如解图,第5题解图当t＝4时,OP＝1.5t＝6,CQ＝4,∴P和Q分别是OA和OC的中点,∴AC＝2PQ．6.两个全等的三角形,△ABC,△DEF,按如图所示的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点,线都在同一平面内)．其中,∠C＝∠DEF＝90°,∠ABC＝∠F＝30°,AC＝DE＝6cm.现固定△DEF,将△ABC沿射线DE方向平移,当点C落在边EF上时停止运动．设△ABC平移的距离为x(cm),两个三角形重叠部分的面积为y(cm2)．(1)当点C落在边EF上时,x＝________cm；(2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围；(3)设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N.直接写出在△ABC平移过程中,点M与点N之间距离的最小值．第6题图解：（1）15；【解法提示】如解图①,作CG⊥AB于点G,CH⊥FE于点H,第6题解图①在Rt△ABC中,由AC＝6,∠ABC＝30°,得BC＝ACtan30°＝63cm.在Rt△BCG中,BG＝BC·cos30°＝9cm.∵四边形CGEH是矩形,∴CH＝GE＝BG＋BE＝9＋6＝15cm.（2）①当0≤x＜6时,如解图②,第6题解图②由∠GDB＝60°,∠GBD＝30°,DB＝x,得DG＝12x,BG＝32x,重叠部分的面积y＝12DG·BG＝12×12x×32x＝38x2；②当6≤x＜12时,如解图③,第6题解图③BD＝x,DG＝12x,BG＝32x,BE＝x－6,EH＝33(x－6),重叠部分的面积y＝S△BDG－S△BEH＝12DG·BG－12BE·EH,即y＝12×12x×32x－12(x－6)×33(x－6),化简得y＝－324x2＋23x－63；③当12≤x≤15时,如解图④,第6题解图④AC＝6,BC＝63,BD＝x,BE＝x－6,EG＝33(x－6),重叠部分的面积y＝S△ABC－S△BEG＝12AC·BC－12BE·EG,即y＝12×6×63－12(x－6)×33(x－6),化简得y＝－36x2＋23x＋123；综上所述,y＝38x2（0≤x＜6）－324x2＋23x－63（6≤x＜12）；－36x2＋23x＋123（12≤x≤15）（3）如解图⑤所示,作NG⊥DE于点G