四川省2019年中考数学试题研究 几何图形的相关计算题库

题型二几何图形的相关计算类型一与旋转有关1.如图,在等边△ABC中,AB=10,点D是BC的中点,将△ABD绕点A旋转后得到△ACE,则线段DE的长度为（）A.34B.35C.36D.37第1题图B【解析】∵△ABC为等边三角形,∴AB=BC=10,∠B=∠BAC=60°,∵D是BC的中点,即BD=DC=12BC=5,AD⊥BC,∠BAD=30°,∴AD=3BD=35,∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE,∴∠DAE=∠BAC=60°,AD=AE,∴△ADE为等边三角形,∴DE=AD=35.2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=２,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC,此时点B的对应点D恰好落在边AB上,斜边DE交AC边于点F,则重叠部分的面积为.第2题图23【解析】∵△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,∴∠B=60°,AC=BC·tan∠B=2×3=32,AB=2BC=4,∵△EDC是由△ABC旋转而成,∴BC=DC=2,∵∠B=60°,∴△BCD是等边三角形,∴∠BCD=60°,∴∠DCF=∠BCA-∠BCD=30°,∵∠EDC=∠B=60°,∴∠DFC=90°,即DE⊥AC,∴DE∥BC,∵221ABBD,∴DF是△ABC的中位线,∴DF=BC211221,ACCF2133221,∴S△CDF=CFDF·21233121.3．如图,线段AB=4,O为AB的中点,动点P到点O的距离是1,连接PB,将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC,连接AC,则线段AC长度的最大值是．第3题图23【解析】如解图,以点O为原点,AB为x轴建立平面直角坐标系,过点C作CD⊥y轴,垂足为D,过点P作PE⊥DC,垂足为E,延长EP交x轴于点F．∵AB=4,O为AB的中点,∴A（-2,0）,B（2,0）．设点P的坐标为（x,y）,则122yx．∵∠EPC+∠BPF=90°,∠EPC+∠ECP=90°,∴∠ECP=∠FPB．由旋转的性质可知,PC=PB.在△ECP和△FPB中,,PBPCPFBPECFPBECP∴△ECP≌△FPB.∴EC=PF=y,FB=EP=2-x.∴C（x+y,y+2-x）.∵AB=4,O为AB的中点,∴2222xyyxAC=882222yyx.∵122yx,∴yAC810．∵-1≤y≤1,∴当y=1时,AC有最大值,AC的最大值为2318．第3题解图类型二与折叠有关（含最值）4.如图,在平行四边形ABCD中,点P为边AB上一点,将△CBP沿CP翻折,点B的对应点B′恰好落在DA的延长线上,且PB′⊥AD,若CD=3,BC=4,则BP的长度为（）A.34B.35C.43D.45第4题图A【解析】由折叠的性质可得：PB′=PB,∠PB′C=∠B,∵四边形ABCD是平行四边形,PB′⊥AD,∴∠B=∠D,∠PB′A=90°,∴∠D+∠CB′D=90°,∴∠DCB′=90°,∵CD=3,BC=4,∴AD=B′C=BC=4,∴DB′=22BCCD=5,∴AB′=DB′-AD=1,设BP=x,则PB′=x,PA=3-x,在Rt△AB′P中,PA2=AB′2+PB′2,∴x2+12=（3-x）2,解得x=34,∴BP=34.5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A∠B,CM是斜边AB上的中线,将△ACM沿直线CM折叠,点A落在点D处,若AB恰好平分CD,AB=25,则△ABC的面积为（）A.52B.53C.532D.10第5题图C【解析】在Rt△ABC中,∵CM是斜边AB的中线,∴CM=AM=BM=12AB,由折叠的性质可知∠MCA=∠MCD,AM=DM,∴∠A=∠MCD,CM=DM,又∵AB恰好平分CD,∴DC⊥MB,∴∠MCD＋∠BMC=90°,又∵∠BMC=∠A＋∠MCA=∠MCD＋∠MCA=2∠MCD,∴∠BMC=60°,∴∠B=60°,∴BC=AB·cos60°=25×12=5,AC=AB·sin60°=25×32=15,∴S△ABC=12BC·AC=12×5×15=532.6.如图,矩形纸片ABCD中,AB=1,BC=2,点M,N分别在边BC,AD上,将矩形纸片ABCD沿直线MN对折,使点A落在CD边上,则线段BM的取值范围是________．第6题图34≤BM≤1【解析】如解图,连接A′M,AM,由折叠的性质可知,AM=A′M,设BM=x,A′C=t,则CM=2－x,∵∠B=∠C=90°,∴AB2＋BM2=CM2＋A′C2,即12＋x2=(2－x)2＋t2,解得：x=t2＋34(0≤t≤1),当t=0时,BM=x的值最小,即BM=34,当t=1时,BM=x的值最大,即BM=1,∴线段BM的取值范围是：34≤BM≤1.第6题解图类型三与动点有关（含最值）7.如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,点E是AD边中点,点P是对角线BD上的动点,当AP＋PE的值最小时,PC的长是（）A.3B.23C.233D.33第7题图C【解析】如解图,连接AC,作点E关于直线BD的对称点E′,连接AE′,则线段AE′的长即为AP＋PE的最小值,∵菱形ABCD的边长为2,E是AD的中点,∴DE=DE′=12AD=1,∵∠ABC=60°,∴∠ADC=60°,又∵AD=CD,∴△ACD为等边三角形,∴AE′⊥CD,∴△AE′D是直角三角形,∵∠PDE′=12∠ADC=30°,∴PE′=DE′·tan30°=33,∴PC=PD=2PE′=233.第7题解图8.如图,矩形ABCD中,AD=3,∠CAB=30°,点P是线段AC上的动点,点Q是线段CD上的动点,则AQ＋QP的最小值是（）A.32B.33C.3D.12第8题图B【解析】如解图,作点A关于直线CD的对称点E,过点E作EP⊥AC于点P,交CD于点Q.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,∴DQ⊥AE,∵DE=AD,∴QE=QA,∴QA＋QP=QE＋QP=EP,∴此时QA＋QP最短(垂线段最短),∵∠CAB=30°,∴∠DAC=60°,在Rt△APE中,∵∠APE=90°,AE=2AD=6,∴EP=AE·sin60°=6×32=33.第8题解图9.如图,△ABC中,AB=AC=2,BC=23,D点是△ABC所在平面上的一个动点,且∠BDC=60°,则△DBC面积的最大值是.第9题图A.33B.3C.3D.23A【解析】如解图,过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC于点F,∵AB=AC=2,BC=23,∴AE=1,∠BAC=120°,D点是△ABC所在平面上的一个动点,且∠BDC=60°,∴2∠BDC=∠BAC,∴点D在以点A为圆心,AB长为半径的圆上,BC一定,要使△DBC的面积取最大值,即DF过圆心A,此时DF=2＋1=3.∴S△DBC最大=12·BC·DF=12×23×3=33.第9题解图类型四非动态几何图形的相关计算10.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点C作AB的垂线交AB延长线于点E,连接OE,若52AB,BD=4,则OE的长为()第10题图A．6B．5C．25D．4D【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC,BD⊥AC,∵CE⊥AB,∴OE=OA=OC,∵BD=4,∴221BDOB,在Rt△AOB中,52AB,OB=2,∴OA=22OBAB=4,∴OE=OA=4.11.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB、AC于点E、D,DF是圆的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2,则FG的长为（）第11题图A．4B．23C．6D．33D【解析】如解图,连接OD,∵DF为⊙O的切线,∴OD⊥DF,∵△ABC为等边三角形,∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°,∵OD=OC,∴△OCD为等边三角形,∴∠CDO=∠A=60°,∠ABC=∠DOC=60°,∴OD∥AB,∴DF⊥AB,在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,∴AD=4,即AC=8,∴FB=AB-AF=8-2=6,在Rt△BFG中,∠BFG=30°,∴BG=3,则根据勾股定理得FG=33．第11题解图12.如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别是BC、AC上一点,且AE=CD,连接AD、BE,AD与BE相交于点P,过点B作BQ⊥AD于点Q,PQ=3,PE=1,则AD的长为.第12题图7【解析】∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=CA,∠BAE=∠ACD=60°,又∵AE=CD,在△ABE和△CAD中,,CDAEACDBAECAAB△ABE≌△CAD（SAS）,∴BE=AD,∠ABE=∠CAD,∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°,∵BQ⊥AD,∴∠AQB=90°,则∠PBQ=90°-60°=30°,∵PQ=3,∴BP=2PQ=6,又∵PE=1,∴AD=BE=BP+PE=7．