上海市长宁区2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）

上海市长宁区2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.函数arcsinyx的值域是______.【答案】,22【解析】【分析】根据反正弦函数定义得结果【详解】由反正弦函数定义得函数arcsinyx的值域是,22【点睛】本题考查反正弦函数定义，考查基本分析求解能力，属基础题2.在等差数列na中，1490aSS，，当nS最大时，n的值是________.【答案】6或7【解析】【分析】利用等差数列的前n项和公式，由49SS，可以得到1a和公差d的关系，利用二次函数的性质可以求出nS最大时，n的值.【详解】设等差数列的公差为d，491114398,49622SSadadad，10,0ad，所以1(1)(1)622nnnnnSnaddd2113169()228dnd，因为0d，nN，所以当6n或7n时，nS有最大值，因此当n的值是6或7.【点睛】本题考查了等差数列的前n项和公式，考查了等差数列的前n项和最大值问题，运用二次函数的性质是解题的关键.3.若2cos21x，则x______.【答案】6k，kZ【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值求解三角方程【详解】因为12cos21cos2,22()()236xxxkkZxkkZ【点睛】本题考查解简单三角方程，考查基本分析求解能力，属基础题4.在扇形中，如果圆心角所对弧长等于半径，那么这个圆心角的弧度数为______.【答案】1【解析】【分析】根据弧长公式求解【详解】因为圆心角所对弧长等于半径，所以1lrr【点睛】本题考查弧长公式，考查基本求解能力，属基础题5.由于坚持经济改革，我国国民经济继续保持了较稳定的增长.某厂2019年的产值是100万元，计划每年产值都比上一年增加10%，从2019年到2022年的总产值为______万元（精确到万元）.【答案】464【解析】【分析】根据等比数列求和公式求解【详解】由题意得从2019年到2022年各年产值构成以100为首项，1.1为公比的等比数列，其和为4100(11.1)46411.1【点睛】本题考查等比数列应用以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题6.设数列na是等差数列，12324aaa，1926a，则此数列na前20项和等于______.【答案】180【解析】【分析】根据条件解得公差与首项，再代入等差数列求和公式得结果【详解】因为12324aaa，1926a，所以1113324,182610,2adadad，20120(10)201921802S【点睛】本题考查等差数列通项公式以及求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题7.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2bac，则角B最大值为______.【答案】3【解析】【分析】根据余弦定理列式，再根据基本不等式求最值【详解】因为2222221cos,(0,)2222acbacacacacBBacacac所以(0,],3B角B最大值为3【点睛】本题考查余弦定理以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题8.（理）已知函数13()sin2cos2122fxxx，若2()logfxt对xR恒成立，则t的取值范围为．【答案】(0,1]【解析】试题分析：函数13()sin2cos2122fxxx要使2()logfxt对xR恒成立，只要小于或等于的最小值即可，的最小值是0，即只需满足，解得.考点：恒成立问题.9.若数列{}na满足111nndaa（*nN，d为常数），则称数列{}na为“调和数列”，已知正项数列1{}nb为“调和数列”，且12990bbb，则46bb的最大值是__________．【答案】100【解析】因为数列1{}nb是“调和数列”，所以1nnbbd，即数列{}nb是等差数列，所以461299()902bbbbb，4620bb，所以4646202bbbb，46100bb，当且仅当46bb时等号成立，因此46bb的最大值为100．点睛：本题考查创新意识，关键是对新定义的理解与转化，由“调和数列”的定义及已知1{}nb是“调和数列”，得数列{}nb是等差数列，从而利用等差数列的性质可化简已知数列的和，结合基本不等式求得最值．本题难度不大，但考查的知识较多，要熟练掌握各方面的知识与方法，才能正确求解．10.在直角坐标系xOy中，已知任意角以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，若其终边经过点00(,)Pxy，且(0)OPrr，定义：00cosyxsir，称“sicos”为“的正余弦函数”，若cos0si，则sin(2)3_________．【答案】12【解析】试题分析：根据正余弦函数的定义，令，则可以得出，即.可以得出，解得，.那么，，所以故本题正确答案为.考点：三角函数的概念.二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）11.“”是“sinsin”成立的（）A.充分非必要条件.B.必要非充分条件.C.充要条件.D.既非充分又非必要条件.【答案】A【解析】【分析】依次分析充分性与必要性是否成立.【详解】时sinsin，而sinsin时不一定成立，所以“”是“sinsin”成立的充分非必要条件，选A.【点睛】本题考查充要关系判定，考查基本分析判断能力，属基础题12.公比为2的等比数列na的各项都是正数，且31116aa，则5a（）A.8B.2C.4D.1【答案】D【解析】【分析】根据条件解得首项，再求5a【详解】因为31116aa，所以212411151412160,212aaaaaQ，选D.【点睛】本题考查等比数列通项公式中基本量，考查基本分析求解能力，属基础题13.用数学归纳法证明11113212224nnnn的过程中，设111122kfkkk，从nk递推到1nk时，不等式左边为（）A.112kfkB.111212kkfkC.11112121kkfkkD.11121kfkk【答案】C【解析】【分析】比较nk与1nk时不等式左边的项，即可得到结果【详解】11111111112222212kkkkfkfkkkkQL因此不等式左边为11112121kkfkk，选C.【点睛】本题考查数学归纳法，考查基本分析判断能力，属基础题14.如图，函数3tancos0,22yxxxx的图像是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】取特殊值，即可进行比较判断选择【详解】因为242f，所以舍去D;因为3242f，所以舍去A;因为5242f，所以舍去B;选C.【点睛】本题考查图象识别，考查基本分析判断能力，属基础题三、解答题（本大题共6个题，满分58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，某人在离地面高度为15m的地方，测得电视塔底的俯角为30，塔顶的仰角为62，求电视塔的高.（精确到0.1m）【答案】63.9m【解析】【分析】过A作BC的垂线，垂足为D，再利用直角三角形与正弦定理求解【详解】解：设人的位置为A，塔底为B，塔顶为C，过A作BC的垂线，垂足为D，则30DABo，62DACo，15BDm，1530sin30sin30BDABmoo，所以30sinsin9263.9sinsin28ABBCCABmACDoo，答：电视塔的高为约63.9m.【点睛】本题考查利用正弦定理测量高度，考查基本分析求解能力，属基础题16.已知数列na的通项公式为3231nnan.（1）求这个数列的第10项；（2）在区间12,33内是否存在数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由.【答案】（1）2831（2）只有一项【解析】【分析】（1）根据通项公式直接求解（2）根据条件列不等式，解得结果【详解】解：（1）10310228310131a；（2）解不等式13223313nn得7863n，因为n为正整数，所以2n，因此在区间12,33内只有一项.【点睛】本题考查数列通项公式及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题17.已知函数22cos12fxx（其中0，xR）的最小正周期为2.（1）求的值；（2）如果0,2απ，且85f，求cos的值.【答案】（1）12（2）334cos10【解析】【分析】（1）先根据二倍角余弦公式化简，再根据余弦函数性质求解（2）先求得3cos65，再根据两角差余弦公式求解【详解】解：（1）因为22coscos21126fxxx.所以222T，因为0，所以12.（2）由（1）可知8cos165f，所以3cos65，因为0,2απ，所以2,663，所以4sin65.因为coscos66coscossinsin66663341334525210.所以334cos10.【点睛】本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式以及余弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题18.已知数列na满足关系式10aaa，1122,1nnnaannNa.（1）用a表示2a，3a，4a；（2）根据上面的结果猜想用a和n表示na的表达式，并用数学归纳法证之.【答案】（1）221aaa，3413aaa，4817aaa（2）猜想：112121nnnaaa，证明见解析【解析】【分析】（1）根据递推关系依次代入求解，（2）根据规律猜想，再利用数学归纳法证明【详解】解：（1）1aa，∴221aaa，3413aaa，4817aaa；（2）猜想：112121nnnaaa.证明：当1n时，结论显然成立；假设nk时结论成立，即112121kkkaaa，则1nk时，1111122121221211121kkkkkkkaaaaaaa，即1nk时结论成立.综上，对*nN时结论成立.【点睛】本题考查归纳猜想与数学归纳法证明，考查基本分析论证能力，属基础题19.在锐角ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知7a，3b，7sinsin23BA．（1）求角A的大小；（2）求ABC的面积．【答案】（1）3A；（2）332ABCS．【解析】试题分析：（1）先由正弦定理求得sinB与sinA的关系，然后结合已知等式求得sinA的值，从而求得A的值；（2）先由余弦定理求得c的值，从而由cosB的范围取舍c的值，进而由面积公式求解．试题解析：（1）在ABC中，由正弦定理sinsinabAB，得73sinsinAB，即7sin3sinBA.又因为7sinsin23BA，所以3sin2A.因为ABC为锐角三角形，所以3A.（2）在ABC中