上海市西南位育中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）

上海市西南位育中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.已知全集UR，若集合01xAxx，则UA=ð________.【答案】0,1【解析】【分析】解出集合A，然后利用补集的定义可得出集合UAð.【详解】解不等式01xx，得0x或1x，则集合,01,AU，因此，(]0,1UAð=.故答案为：0,1.【点睛】本题考查补集的求解，同时也考查了分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2.数列na的通项公式1,110021,10023nnnanNnnn，则limnna________.【答案】12【解析】【分析】由题意得出1limlim23nnnnan，然后在分式和分母中同时除以n，于是可计算出所求极限值.【详解】1,110021,10023nnnanNnnn，111101limlimlim3232022nnnnnnann.故答案为：12.【点睛】本题考查数列极限的计算，解题时要熟悉一些常见极限的值，考查计算能力，属于基础题.3.若函数()ygx图像与函数2(1)(1)yxx的图像关于直线yx对称，则(4)g_____.【答案】1【解析】【详解】解：因为两个函数互为反函数，因此2(4),()4,141gtfttt那么（）4.函数2sin22cosfxxxxR的最大值为________.【答案】21【解析】【分析】利用二倍角降幂公式、辅助角公式将函数yfx的解析式化简为2sin214fxx，由此可得出函数yfx的解析式.【详解】21cos2sin22cossin22sin2cos212sin2124xfxxxxxxxQ，因此，函数yfx的最大值为21.故答案为：21.【点睛】本题考查三角函数的最值，解题时要将三角函数的解析式进行化简，再结合三角函数的有界性来求解，考查计算能力，属于中等题.5.在无穷等比数列na中，若此数列的前n项和nS满足1lim2nnS，则1a的取值范围为_______.【答案】110,,122【解析】【分析】设等比数列na的公比为q，由题意可知10q或01q，由等比数列的前n项和公式得出11lim12nnaSq，得出1112aq，由此可得出1a的取值范围.【详解】设等比数列na的公比为q，由题意可知10q或01q，111nnaqSqQ，则1111limlim112nnnnaqaSqq，可得出1112aq.当10q时，112q，此时1111,122aq；当01q时，011q，此时11110,22aq.因此，1a的取值范围为110,,122.故答案为：110,,122.【点睛】本题考查数列极限的计算，本题中要得出数列的公比1,00,1q，同时根据极限得出1a与q所满足的关系，考查计算能力，属于中等题.6.已知向量1,1ar，8,6br，则a与b的夹角大小为________.【答案】2arccos10【解析】【分析】利用平面向量的数量积计算出cos,ab，由此可得出a与b的夹角,ab的大小.【详解】2222181622cos,101021186abababrrrrQrr，2,arccos10abrr，因此，a与b的夹角大小为2arccos10.故答案为：2arccos10.【点睛】本题考查平面向量夹角的计算，解题时要充分利用平面向量数量积的定义来进行计算，考查计算能力，属于基础题.7.若3sin5且是第二象限角，则tan4________.【答案】7【解析】【分析】先利用同角三角函数的基本关系求出tan的值，然后利用两角差的正切公式可求出tan4的值.【详解】Q是第二象限角，则2234cos1sin155，sin3tancos4.因此，3tantan144tan7341tantan1144.故答案为：7.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式求三角函数值，在解题时要注意角的取值范围，考查计算能力，属于中等题.8.已知数列na的通项公式为12nnnan，*nN，则这个数列的前2n项和2nS________.【答案】2122nn【解析】【分析】利用并项求和法求出数列1nn的前2n项和2nT，并利用等比数列的求和公式求出数列2n的前2n项和，相加可得出2nS.【详解】设数列1nn的前2n项和2nT，则212342121234212nTnnnnLL1nn，因此，221222122212nnnnSTn.故答案为：2122nn.【点睛】本题考查数列求和，考查并项求和与分组求和，解题时要根据数列通项的结构选择合适的方法求和，考查计算能力，属于中等题.9.某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量fx（毫克/毫升）随时间x（小时）变化的规律近似满足表达式250131()1.53xxxfxx，，＞《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过______小时后才能开车．（精确到1小时）【答案】4【解析】【分析】此驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升时，才能开车，因此只需由0.02fx，求出x的值即可.【详解】当01x时，由0.02fx得250.02x，解得5520.020.50xloglog，舍去；当1x＞时，由0.02fx得31()0.0253x，即130.1x，解得3310.1110xloglog，因为331104log，所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车.故答案为4【点睛】本题主要考查函数的应用，由题意得出不等式，分类求解即可，属于基础题型.10.如图，在ABC中，若3ABAC，3BAC，2DCBDuuuruuur，则ADBC________.【答案】32【解析】【分析】将AD、BC利用向量AB、AC表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义可计算出ADBC的值.【详解】2DCBDuuuruuurQ，13BDBCuuuruuur，1133ADABBDABBCABACABuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur2133ABAC，BCACAB.由平面向量数量积的定义得219cos3322ABACABACuuuruuuruuuruuur.因此，221211233333ADBCACABACABACABACABuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur22119233333232.故答案为：32.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就选择合适的基底表示问题中涉及的向量，同时也可以建立平面直角坐标系，利用坐标法来计算平面向量的数量积，考查计算能力，属于中等题.11.设(),()fxgx是定义在R上的两个周期函数，()fx的周期为4，()gx的周期为2，且()fx是奇函数.当2(]0,x时，2()1(1)fxx，(2),01()1,122kxxgxx，其中0k.若在区间(0]9，上，关于x的方程()()fxgx有8个不同的实数根，则k的取值范围是_____.【答案】12,34.【解析】【分析】分别考查函数fx和函数gx图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.【详解】当0,2x时，2()11,fxx即2211,0.xyy又()fx为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()fx与()gx的图象，要使()()fxgx在0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x时，函数()fx与()gx的图象有2个交点；当g()(2)xkx时，()gx的图象为恒过点2,0的直线，只需函数()fx与()gx的图象有6个交点.当()fx与()gx图象相切时，圆心1,0到直线20kxyk的距离为1，即2211kkk，得24k，函数()fx与()gx的图象有3个交点；当g()(2)xkx过点1,1（）时，函数()fx与()gx的图象有6个交点，此时13k，得13k.综上可知，满足()()fxgx在0,9上有8个实根的k的取值范围为1234，.【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.12.已知集合*{|21,}AxxnnN，*{|2,}nBxxnN．将AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}na．记nS为数列{}na的前n项和，则使得112nnSa成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设=2kna，则12[(211)+(221)+(221)][222]kknS11221212212(12)222212kkkkk由112nnSa得2211211522212(21),(2)20(2)140,22,6kkkkkkk所以只需研究5622na是否有满足条件的解，此时25[(211)+(221)+(21)][222]nSm25122m，+121nam，m为等差数列项数，且16m.由25122212(21),2450022,527mmmmmnm，得满足条件的n最小值为27.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如,2,nnnnan为奇数为偶数），符号型（如2(1)nnan），周期型（如πsin3nna）.二.选择题13.若a、bR，那么11ab成立的一个充分非必要条件是（）A.abB.0ababC.0abD.ab【答案】C【解析】【分析】利用作差法得出11ab的等价条件，然后可找出11ab成立的一个充分非必要条件.【详解】11abQ，110baabab，即0abab，等价于0abab.对于A选项，若ab，则0ab，由于ab的符号不确定，则0abab不一定成立；对于B选项，0abab是11ab成立的充要条件；对于C选项，当0ab时，0ab，0ab，此时0abab，则00ababab，另一方面，00baabab.则00ababab，则0ab是11ab成立的充分非必要