上海市实验中学2019-2020学年高一数学上学期期中质量检测试题试题（含解析）

上海市实验中学2019-2020学年高一数学上学期期中质量检测试题试题（含解析）一、填空题1.设集合20,1,2,|320MNxxx，则MN_____.【答案】1,2【解析】【分析】求出集合12Nxx，由集合的基本运算“交”即可求解。【详解】由2|32012Nxxxxx，0,1,2M，所以1,2MN。故答案为：1,2【点睛】本题考查了集合的基本运算“交”，属于基础题。2.已知xR，命题“若25x，则27100xx”的否命题是______.【答案】若2x或5x≥，则27100xx【解析】【分析】根据四种命题的形式，直接写其否命题.【详解】原命题的否命题是“若2x或5x≥，则27100xx”故答案为：若2x或5x≥，则27100xx【点睛】本题考查四种命题的书写形式，属于基础题型，若原命题是“若p则q”那么否命题：“若p则q”，逆命题：“若q则p”，逆否命题：“若q则p”.3.函数12xfxx的定义域为_____________.【答案】12xxx且【解析】要使函数有意义需满足1020xx得12xxx且，则函数的定义域为12xxx且，故答案为12xxx且.4.已知集合2|60,|20,MxxxNyayaR，若满足MNN的所有实数a形成集合为A，则A的子集有个_____【答案】8【解析】【分析】求出集合3,2M，由MNN得NM，进而求出集合A，由此能求出A的子集个数。【详解】集合2|603,2Mxxx，由MNN得NM，当N时，0a；当3N时，23a；当2N时，1a；21,0,3AA的子集个数有328故答案为：8【点睛】本题考查集合的基本关系以及集合的子集个数；若N中有n个元素，则其所有子集的个数为2n，本题属于基础题。5.设0x，则31xx的最小值为_____.【答案】231【解析】【分析】变形利用基本不等式的性质即可求出。【详解】0x，333112(1)1231111xxxxxx，当且仅当31x时等号成立。故答案为：231【点睛】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题。6.定义ba为区间,,,ababRab的长度．则不等式234124xxx的所有解集区间的长度和为_____【答案】8【解析】【分析】将分式不等式右边化为零、并因式分解后进行等价转化，由穿根法求出不等式的解集。【详解】由234124xxx得2341024xxx，化简得22101604(2)xxxx，即(2)(8)04(2)xxxx，等价于(2)(8)(2)0xxxx，如图所示：由图可得不等式的解集是(2,0)(2,8)，不等式所有解集区间的长度和是268故答案为：8【点睛】本题考查分式不等式的解法，进行等价转化后，如果出现高次不等式，可运用“穿针引线”法进行求解。7.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．【答案】20【解析】【详解】该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为400(44)xx万元，400x·4＋4x≥160，当1600x＝4x，即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8.已知不等式1xm成立的充分不必要条件是1132x，则m的取值范围是____________．【答案】≤m≤【解析】试题分析：由题意得，不等式1xm得11mxm；因为不等式1xm成立的充分不必要条件是1132x，所以11143{12312mmm，经检验知，等号可以取得，所以1423m．考点：充分不必要条件的应用．9.研究问题：“已知关于x的不等式20axbxc的解集为(1,2)，解关于x的不等式20cxbxa”，有如下解法：由22110()()0axbxcabcxx，令1yx，则1(,1)2y，所以不等式20cxbxa的解集为1(,1)2，类比上述解法，已知关于x的不等式0kxbxaxc的解集为(2,1)(2,3)，则关于x的不等式1011kxbxaxcx的解集为__________.【答案】111,,1232【解析】解析：关于x的不等式1011kxbxaxcx可化为1011bkxacxx，则由题设中提供的解法可得：1111(2,1)(2,3)(,)(,1)232xx，则关于x的不等式1011kxbxaxcx的解集为111(,)(,1)232，应填答案111(,)(,1)232。10.已知函数2()(02)fxaxbxcab对任意Rx恒有()0fx成立，则代数式(1)(0)(1)fff的最小值是___________．【答案】3【解析】【详解】因为20xRfxaxbxc，（）恒成立，02ab＜＜，所以202 40abbac＜＜＝，得24bac，又02ab，所以24bca，所以1 0(1)()fabcabcffcabcba＝222222444444()44babaabbaabbabaabaaba设bta，由02ab＜＜得，2t＞，则22144(1)6(1)9191[16]6630(1)4(1)4(1)4(1)4ftttttffttt（），当且仅当911tt＝时取等号，此时4t，101fff取最小值是3，故答案为3．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，基本不等式的应用，以及换元法，其中对所求式子的恒等变形是解题的关键和难点，属于难题．二、选择题11.若a、b、c∈R，则下列命题中正确的是（）A.若acbc，则abB.若a2b2，则abC.若11ab，则abD.若ab，则ab【答案】D【解析】若acbc，则c0时ab；若2a2b，则|a||b|；若11ab，则ab或a0b;若ab，则ab，所以选D.12.集合|4Mxx且xN，|,,PxxababM且ab，P的真子集个数是（）A.63B.127C.1721D.2021【答案】B【解析】【分析】利用已知条件求出集合P，然后可得真子集个数。【详解】因为|4Mxx且xN，|,,PxxababM且ab，所以0,2,3,4,6,8,12P，所以集合P的真子集个数为：721127故选：B【点睛】本题考查集合的求法、真子集的个数问题，较简单，若N中有n个元素，则其所有子集的个数为2n。13.已知命题：“若1k，则关于x的不等式224210kxkx的解集为空集”，那么它的逆命题，否命题，逆否命题，以及原命题中，假命题的个数是（）A.0B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据不等式的解集是空集求出对应的等价条件，然后根据四种命题之间的关系利用逆否命题的真假关系进行判断即可【详解】若22(4)(2)10kxkx的解集为空集，当240k，即2k时，当2k，则不等式等价为410x得14x，解集不是空集，不满足条件。当2k，则不等式等价为10，解得集合为空集，满足条件。若2k，若不等式的解集是空集，则240k且22(2)4(4)0kk，即22k且625k，所以625k，即不等式22(4)(2)10kxkx的解集为空集的等价条件为625k，即原命题等价为若1k，则625k，即原命题成立，则命题的逆否命题为真命题，原命题的逆命题等价为若625k，则1k，则逆命题为假命题，则命题的否命题为假命题，故四种命题中假命题的个数为2个。故选：B【点睛】本题考查四种命题真假的判断，需掌握原命题与逆否命题是“同真同假”，属于基础题。14.对于非空实数集A，定义|Az对任意,xAzx．设非空实数集,1CD．现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有DC；（2）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有CD；（3）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有CD；（4）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必存在常数a，使得对任意的bC，恒有abD．以上命题正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据题干新定义|Az对任意,xAzx，通过分析举例即可判断。【详解】（1）对任意dD，根据题意，对任意xD，有dx，因为CD，所以对任意的cC，一定有dc，所以dC,即DC，（1）正确；（2）如(,0)CD，则0,C，但CD，（2错误；（3）如,0CD，则0,D，但0CD,（3）错误；（4）首先对任意集合A，由定义知A一定有最小值，又由（1）DC，设C，D的最小值分别为,cd，即,,,CcDd，只要取adc则对任意的bC，()abdcbdbcd，即abD，（4）正确；所以（1）(4)正确故选：B【点睛】本题是新定义概念题，考查集合的性质，需有比较强的理解能力。三、解答题15.记关于x的不等式1101ax的解集为P，不等式23x的解集为Q.（1）若3a，求P；（2）若PQQ，求正数a的取值范围．【答案】（1）(1,3)P（2）0,1【解析】【分析】（1）当3a时，分式不等式化为301xx，结合分式不等式解法的结论，即可得到解P。（2）由含绝对值不等式的解法，得(5,1)Q，并且集合P是Q的子集，由此建立不等式关系，即可得到正数a的取值范围。【详解】（1）3a时，1101ax，即1140x，化简得301xx，即(3)(1)0xx，所以13x-，所以不等式的解集为(1,3)由此可得(1,3)P。（2）2332351Qxxxxxx，可得(5,1)Q,0a,110(1,)1aPxax，又PQQ，得PQ，(1,)(5,1)a，由此可得01a，即正数a的取值范围是0,1。【点睛】本题给出分式不等式和含有绝对值的不等式，求两个解集并讨论它们的包含关系，着重考查了分式不等式的解法、含有绝对值的不等式的解法和集合包含关系的运算等知识，属于基础题。16.已知0,0ab，求证：2211baabab．【答案】见详解【解析】【分析】利用基本不等式可得2112baba，2112aabb，相加即可证明结论。【详解】0,0ab，2112baba，2112aabb，22111122baababab，2211baabab【点睛】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，正确运用基本不等式是关键。17.某商品