上海市浦东新区2019届高三数学下学期期中教学质量检测（二模）试题（含解析）

上海市浦东新区2019届高三数学下学期期中教学质量检测（二模）试题（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若集合，集合，则_______.【答案】【解析】【分析】由集合交集的定义可直接得解.【详解】由集合，集合，得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，属于基础题.2.若行列式，则______.【答案】3【解析】【分析】由行列式的定义列方程求解即可.【详解】行列式，所以.故答案为：3.【点睛】本题主要考查了行列式的计算，属于基础题.3.复数的虚部为______（其中为虚数单位）.【答案】【解析】【分析】由复数的除法运算直接求解即可得虚部.【详解】复数.虚部为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及虚部的概念，属于基础题.4.平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上.如果任取3点作为顶点作三角形，那么一共可作_________个三角形.（结果用数值表示）【答案】220【解析】【分析】根据题意，由组合数公式计算总12个点中任选3个的取法，又由任何3点不在同一直线上，分析可得答案．【详解】根据题意，在12个点中，任取3个，有种取法，又由平面的12个点中，任何3点不在同一直线上，则可以做220个三角形；故答案为：220．【点睛】本题考查组合数公式的应用，注意“任何3点不在同一直线上”的条件．5.如果一个圆柱的高不变，要使它的体积扩大为原来的倍，那么它的底面半径应该扩大为原来的_______倍.【答案】【解析】【分析】设圆柱的高为h，底面半径为r，设扩大后圆柱的高为h，底面半径为R，根据圆柱的体积公式计算可得答案．【详解】设圆柱的高为h，底面半径为r，则体积V＝πr2h，设扩大后圆柱的高为h，底面半径为R，则体积V′＝πR2h，由，得R2＝5r2，则R．∴它的底面半径应该扩大为原来的倍．故答案为：．【点睛】本题考查了圆柱的体积公式，熟练掌握圆柱的体积公式是关键，是基础题．6.已知函数是偶函数，则的最小值是________.【答案】【解析】【分析】结合三角函数的奇偶性，建立方程关系2kπ，k∈Z,即可得解．【详解】是偶函数，则2kπ，k∈Z，即，k∈Z，当k＝0时，取得最小值，为，故答案为：．【点睛】本题主要考查三角函数对称性的应用，结合三角函数是偶函数，建立方程求出的表达式是解决本题的关键．7.焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线的标准方程为_______.【答案】【解析】【分析】利用已知条件求出c，a，然后求解b，即可得到双曲线方程．【详解】焦点在x轴上，焦距为6，c＝3，且经过点可得，所以.双曲线的标准方程为：．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．8.已知无穷数列满足则_______.【答案】0【解析】【分析】直接利用数列的极限的运算法则求解即可．【详解】无穷数列满足，0．故答案为：0．【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，属于基础题．9.二项式展开式的常数项为第_________项.【答案】4【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式得：Tr+1（2x）6﹣r（）r＝（﹣1）r26﹣2rx6﹣2r，当6﹣2r＝0，即r＝3时，T4为常数项，即二项式展开式的常数项为第4项，得解．【详解】由二项式展开式的通项公式得：Tr+1（2x）6﹣r（）r＝（﹣1）r26﹣2rx6﹣2r，当6﹣2r＝0，即r＝3时，T4为常数项，即二项式展开式的常数项为第4项，故答案为：4．【点睛】本题考查了二项式展开式的通项，属基础题．10.已知个正整数，它们的平均数是，中位数是，唯一众数是，则这个数方差的最大值为__________.（精确到小数点后一位）【答案】12.3【解析】【分析】根据题意，由中位数、众数的概念分析，设这6个数为a，3，3，5，b，c；进而分析可得若这6个数方差的最大，则a＝1，b＝6，c＝12；由方差公式计算可得答案．【详解】根据题意，6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一众数是3，则可以设这6个数为a，3，3，5，b，c；若这6个数方差的最大，6个数据的波动幅度较大，此时a＝1，c＝12.由平均数为5，所以，则有b＝6其方差s2[（1﹣5）2+（3﹣5）2+（3﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（12﹣5）2]≈12.3；故答案为：12.3．【点睛】本题考查数据的方差、中位数、众数、平均数的计算，关键是掌握数据的方差、中位数、众数、平均数的定义，属于基础题．11.已知正方形边长为，若在正方形边上恰有个不同的点，使，则的取值范围为_____________.【答案】【解析】【分析】建立坐标系，逐段分析•的取值范围及对应的解得答案．【详解】以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图：则F（0，2），E（8，4）（1）若P在AB上，设P（x，0），0≤x≤8∴（﹣x，2），（8﹣x，4）∴•x2﹣8x+8，∵x∈[0，8]，∴﹣8•8，∴当λ＝﹣8时有一解，当﹣8＜λ≤8时有两解；（2）若P在AD上，设P（0，y），0＜y≤8，∴（0，2﹣y），（8，4﹣y）∴•（2﹣y）（4﹣y）＝y2﹣6y+8∵0＜y≤8，∴﹣1•24∴当λ＝﹣1或8＜λ＜24时有唯一解；当﹣1＜λ≤8时有两解（3）若P在DC上，设P（x，8），0＜x≤8∴（﹣x，﹣6），（8﹣x，﹣4），∴•x2﹣8x+24，∵0＜x≤8，∴8•24，∴当λ＝8时有一解，当8＜λ≤24时有两解．（4）若P在BC上，设P（8，y），0＜y＜8，∴（﹣8，2﹣y），（0，4﹣y），∴•（2﹣y）•（4﹣y）＝y2﹣6y+8∵0＜y＜8，∴﹣1•24，∴当λ＝﹣1或8＜λ＜24时有一解，当﹣1＜λ≤8时有两解．综上，在正方形ABCD的四条边上有且只有6个不同的点P，使得•λ成立，那么λ的取值范围是（﹣1，8）故答案为：（﹣1，8）【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，分类讨论思想，属难题．12.已知是定义在上的函数,若在定义域上恒成立，而且存在实数满足：且，则实数的取值范围是_______【答案】【解析】【分析】由函数定义域及复合函数的关系可得，解得，设，则且，所以函数图像上存在两点关于直线对称，由与抛物线联立，解得中点在得，从而在有两不等的实数根，利用二次函数根的分布列不等式组求解即可.【详解】因为，，所以时满足；设，则且，所以函数图像上存在两点关于直线对称，令由设、为直线与抛物线的交点，线段中点为，所以，所以，而在上，所以，从而在有两不等的实数根，令，所以。【点睛】本题主要考查了二次型复合函数的性质，考查了转化与化归的能力，属于难题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由三视图及正三棱柱的几何特征可得解.【详解】由正三棱柱的几何特征知，俯视图中间有条实线，故选C.【点睛】本题主要考查了正三棱柱的几何特征和三视图的相关知识，属于基础题.14.点到直线（为参数，）的距离为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先把直线的参数方程化成普通方程，再根据点到直线的距离公式可得．【详解】由消去参数t可得3x﹣4y+5＝0，根据点到直线的距离公式可得d．故选：D．【点睛】本题考查了直线的参数方程化成普通方程，点到直线的距离公式，属基础题．15.已知点满足约束条件：，则目标函数的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x﹣y，得y＝x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，由，解得A（0，40）平移直线y＝x﹣z，当直线y＝x﹣z经过点A时，直线y＝x﹣z的截距最大，此时z最小，此时zmin＝﹣40．故选：B．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．16.已知，则对任意非零实数，方程的解集不可能为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数f（x）的对称性，因为的解应满足y1＝，y2＝，进而可得到的根，应关于对称轴x对称，对于D中4个数无论如何组合都找不到满足条件的对称轴，故解集不可能是D．【详解】∵，关于直线x对称.令方程的解为f1（x），f2（x）则必有f1（x）＝y1＝，f2（x）＝y2＝那么从图象上看，y＝y1，y＝y2是一条平行于x轴的直线它们与f（x）有交点，由于对称性，则方程y1＝的两个解x1，x2要关于直线x对称，也就是说x1+x2同理方程y2＝的两个解x3，x4也要关于直线x对称那就得到x3+x4，若方程有4个解，则必然满足x1+x2x3+x4而在D中，找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎么分组，都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和.故答案D不可能故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质﹣﹣对称性，考查了函数与方程的思想，属于难题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.已知，正三棱柱中，，延长至，使。（1）求证：；（2）求二面角的大小，（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）通过底面的边角关系可得，，进而可证得平面，从而得证；（2）取中点，联结，可证得为二面角的平面角，从而得解.【详解】（1）因为是正三棱柱，所以，且从而又所以，即平面（2）取中点，联结.所以，又，故因为所以从而所以为二面角的平面角.因为所以，二面角的大小为解法二：以直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系.则设平面的一个法向量则令，则，所以又平面的一个方向量设二面角的大小为则所以二面角的大小为【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明及性质的应用，二面角的求解，考查了空间想象力及计算能力，属于中档题.18.已知向量，，其中，若函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）在△ABC中，若，，，求的值.【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1），利用三角函数的周期性可求ω的值．（2）根据f（B）的值，求得B，由正弦定理求得A，最后求得C，利用向量的数量积公式求得答案．【详解】（1）∵的最小正周期为，∴，∴.（2）设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c．∵，∴，即，解得．∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，，∴，∴.【点睛】本题主要考查了三角函数图象与性质，向量的数量积运算，三角函数恒等变换的应用．综合考查了学生分析问题和运算能力．19.浦东一模之后的“大将”洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习.2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假定地球（设为质点，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为万米）的中心为右焦点的椭圆.已知地球的近木星点（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为万米，远木星点（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为万米.（1）求如图给定的坐标系下椭圆的标准方程；（2）若地球在流浪的过程中，由第一次逆时针流浪到与轨道中心的距离为万米时（其中分别为椭圆的长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”.求“变轨系数”的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞.（精确到小数点后一位）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意得，解方程组即可得解；（2）设，，解得，设出直线方程，由焦点到直线的距离大于半径列不等式求解即可.【详解】（1）由条件椭圆C的方程为（2）设地球由近木星点第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为万米时所在位置为，则设.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的实际应用，考查了计算能力，属于中档题