上海市南洋模范中学2019届高三数学下学期3月月考试题（含解析）

上海市南洋模范中学2019届高三数学下学期3月月考试题（含解析）一、填空题。1.已知全集，若集合，则_________.【答案】【解析】【分析】求出集合A，即可求解∁UA【详解】全集U＝R，集合A＝{x|x＞1或x0}则＝故答案为【点睛】本题考查集合的基本运算，补集的求法，分式不等式解法，准确计算是关键，是基础题．2.双曲线的焦距为__________.【答案】6【解析】【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，c，可得焦距2c的值．【详解】双曲线2x2﹣y2＝6即为1，可得a，b，c3，即焦距为2c＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，焦距的求法，注意将双曲线的方程化为标准方程，运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．3.已知二项展开式中的第五项系数为，则正实数_____.【答案】【解析】【分析】由二项式定理的通项公式可得：，解出即可得出．【详解】T5x﹣2，∴，a＞0．解得a．故答案为：．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，准确计算是关键，属于基础题．4.已知函数的图像与它的反函数的图像重合，则实数的值为___.【答案】-3【解析】【分析】先求反函数：y，利用函数f（x）（a）图象与它的反函数图象重合，即为同一个函数即可得出．【详解】由y（a），解得x（y≠3），把x与y互换可得：y，∵函数f（x）（a）图象与它的反函数图象重合，∴﹣a＝3，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题考查了反函数的求法及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.设，满足约束条件，则目标函数的最大值为_____.【答案】14【解析】【分析】画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.6.从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为_____.【答案】【解析】【分析】将试验发生包含的事件（k，b）的所有可能的结果列举，满足条件的事件直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【详解】试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，∴直线不过第三象限的概率P，故答案为．【点睛】本题考查古典概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于基础题．7.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的周长为___.【答案】24【解析】【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|＝10，再由3|PF1|＝4|PF2|，运用双曲线的定义，求出|PF1|＝8，|PF2|＝6，由此能求出△PF1F2的周长．【详解】双曲线x21的a＝1，c5，两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），即|F1F2|＝10，由3|PF1|＝4|PF2|，设|PF2|＝x，则|PF1|x，由双曲线的定义知，x﹣x＝2，解得x＝6．∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10，则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝8+6+10＝24．故答案为：24．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质的应用，考查三角形周长的计算，熟练运用定义是关键，属于基础题．8.已知四面体中，，，分别为，的中点，且异面直线与所成的角为，则____.【答案】1或【解析】【分析】取BD中点O，连结EO、FO，推导出EO＝FO＝1，，或，由此能求出EF．【详解】取BD中点O，连结EO、FO，∵四面体ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，∴EO∥CD，且EO，FO∥AB，且FO1，∴∠EOF是异面直线AB与CD所成的角或其补角，∴，或，当∠EOF时，△EOF是等边三角形，∴EF＝1．当时，EF．故答案为：1或．【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时，不等式的解集为____.【答案】【解析】【分析】由奇函数的性质可得x＞0时的解析式，再解不等式即可．【详解】∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴当x＞0时，﹣x＜0，∴f（﹣x）＝x2﹣6，由奇函数可得f（x）＝﹣x2+6，∴不等式f（x）＜x可化为，解得x＞2∴x＞0时，不等式f（x）＜x的解集为：（2，+∞）故答案为：（2，+∞）【点睛】本题考查函数的奇偶性，涉及不等式的解法，熟记奇函数得定义是关键，属基础题．10.关于的方程在上的解的个数是____.【答案】7【解析】【分析】化简y=从而作函数的图像，从而可解【详解】化简y=,作函数在上的图像如下：结合图像可知，两个图像共有7个交点故答案为7【点睛】本题考查函数与方程，函数的性质，三角函数，准确作图是关键，是中档题11.任意实数，，定义，设函数，数列是公比大于0的等比数列，且，，则____.【答案】4【解析】【分析】f（x）＝，及其数列{an}是公比大于0的等比数列，且＝1，对公比q分类讨论，再利用对数的运算性质即可得出．【详解】由题，∵数列{an}是公比大于0的等比数列，且，①1＜q时，，，…，∈（0，1），，，∈（1，+∞），1．∴，分别为：，，…，，1，q，…，q4．∵∴0++…+＝，∴q4qq2．∴2．左边小于0，右边大于0，不成立，舍去．②0＜q＜1时，1，∴，分别为：，，…，，1，q，…，q4，，，…，∈（1，+∞），，，∈（0，1），∵∴log2q2．∴2．∴4，∴a1＝4．③q＝1时，＝…＝＝…＝＝1，不满足舍去．综上可得：＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、对数的运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．12.以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，，，是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），若存在锐角，使，（0为坐标原点）则直线，的斜率乘积为___.【答案】或-2【解析】【分析】设椭圆方程为，A（，），B（，），从而得到的坐标表示，然后，再根据M点在该椭圆上，建立关系式，结合A、B点在也该椭圆上，得到，，从而得到相应的结果，同理当椭圆方程为可得答案【详解】由题意可设椭圆方程为，又设A（，），B（，），因为M点在该椭圆上，∴，则又因为A、B点在也该椭圆上，∴，∴，即直线OA、OB的斜率乘积为，同理当椭圆方程为时直线OA、OB的斜率乘积为﹣2．故答案为：或﹣2．【点睛】本题重点考查椭圆综合，平面向量的坐标运算，注意审题仔细，要注意分类讨论椭圆的焦点位置，属于难题．二、选择题。13.“”是“不等式成立”的（）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式|x﹣1|＜1，再由充分必要条件即可判断出结论．【详解】不等式|x﹣1|＜1成立，化为﹣1＜x﹣1＜1，解得0＜x＜2，∴“”是“不等式|x﹣1|＜1成立”的充分条件．故选：A．【点睛】本题考查了充分必要条件，绝对值不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.给出下列命题，其中正确的命题为（）A.若直线和共面，直线和共面，则和共面；B.直线与平面不垂直，则与平面内的所有直线都不垂直；C.直线与平面不平行，则与平面内的所有直线都不平行；D.异面直线，不垂直，则过的任何平面与都不垂直.【答案】D【解析】试题分析：A：直线共面不具有传递性，故A错误；B：根据线面垂直的判定可知B错误；C：若直线，满足直线与平面不平行，故C错误；D：假设存在过的平面与垂直，则可知，∴假设不成立，故D正确，故选D．考点：空间中点、线、面的位置关系及其判定．15.已知数列的通项公式为，其前项和，则双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：根据数列的通项公式为,其前项和，那么可知，可知n=9,那么根据可知a=,b=3,故可知双曲线的渐近线方程为，选C.考点：数列的求和，双曲线的性质点评：主要是考查了数列的通项公式和双曲线的性质的运用，属于基础题。16.已知平面直角坐标系中两个定点，，如果对于常数，在函数，的图像上有且只有6个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】画出函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4在[﹣4，4]的图象，讨论若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4）；若P在BC上，设P（x，0）；若P在CD上，设P（x，2x﹣4）．求得向量PE，PF的坐标，求得数量积，由二次函数的最值的求法，求得取值范围，讨论交点个数，即可得到所求范围．【详解】函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4，（1）若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4），﹣4≤x≤﹣2．∴（3﹣x，6+2x），（﹣3﹣x，6+2x）．∴x2﹣9+（6+2x）2＝5x2+24x+27=，∵x∈[﹣4，﹣2]，∴λ≤11．∴当λ或时有一解，当λ≤-1时有两解；（2）若P在BC上，设P（x，0），﹣2＜x≤2．∴（3﹣x，2），（﹣3﹣x，2）．∴x2﹣9+4＝x2﹣5，∵﹣2＜x≤2，∴﹣5≤λ≤﹣1．∴当λ＝﹣5或﹣1时有一解，当﹣5＜λ＜﹣1时有两解；（3）若P在CD上，设P（x，2x﹣4），2＜x≤4．（3﹣x，6﹣2x），（﹣3﹣x，6﹣2x），∴x2﹣9+（6﹣2x）2＝5x2﹣24x+27，∵2＜x≤4，∴λ≤11．∴当λ或时有一解，当λ-1时有两解；综上，可得有且只有6个不同的点P的情况是λ＜﹣1．故选：C．【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，二次函数的根的个数判断，注意运用分类讨论的思想方法，属于中档题．三、解答题。17.如图，在圆锥中，为底面圆的直径，点为弧AB的中点，.（1）证明：平面；（2）若点为母线的中点，求与平面所成的角.（结果用反三角函数表示）【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）由圆的性质得出AB⊥OC，由SO⊥平面ABC得出SO⊥AB，故而AB⊥平面SOC；（2）连结OD，由AB⊥平面SOC可知∠ADO为所求角，设圆锥底面半径为a，求出OD，得出tan∠ADO,得解【详解】（1）证明：在圆锥中，∵点为弧AB的中点，∴∴由平面（2）联结，∵平面∴为与平面所成的角设，则，∴∴在中，∴【点睛】本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，熟记判断定理，准确找到所成角是关键，属于中档题．18.已知函数.（1）求的最小正周期及判断函数的奇偶性；（2）在中，，，，若任意实数恒有，求面积的最大值.【答案】（1），函数是非奇非偶函数;（2）【解析】【分析】（1）由化简得则周期可求，计算；，可判奇偶性；（2）由题得将平方，得t的二次不等式，利用，得，进而得由求得最大值【详解】（1）所以的最小正周期为；，所以，函数是非奇非偶函数.（2）由得因为是的内角，所以0A，由，得两边平方，整理得，对任意实数恒成立所以得则有且所以（当且仅当等号成立）所以，当时，面积的最大值为【点睛】本题考查三角恒等变换，向量数量积，三角形面积，熟记三角公式，灵活运用二次不等式转化是关键，是中档题19.数列满足：，，且，，成等差数列，其中.（1）求实数的值及数列的通项公式；（2）若不等式成立的自然数恰有4个，求正整数的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由题意和等差中项的性质列出方程求出λ，再利用累加法求出数列{an}的通项公式；（2）结合条件对n进行分类讨论，当n≥3时利用分离常数法化简