上海市南洋模范中学2019届高三数学三模考试试题（含解析）

上海市南洋模范中学2019届高三数学三模考试试题（含解析）一、填空题1.若集合310,12AxxBx，则AB_____．【答案】1,33【解析】【分析】分别求出AB，集合的x的范围，求交集即可。【详解】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A＝{x|3x+1＞0}＝{x|x＞﹣13}，B＝{|x﹣1|＜2}＝{x|﹣2＜x﹣1＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∩B＝{x|﹣13＜x＜3}，故答案为：（﹣13，3）．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键，属于简单题目。2.若复数z满足1iiz，其中i为虚数单位，则z_____．【答案】1i【解析】【分析】先求出z=1+i，则1zi。【详解】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则可求．【解答】解：由1iz＝﹣i，得21i(1i)iz1iii，∴1zi．故答案为：1﹣i．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的概念，是基础题．3.若函数11+02fxx的反函数为1fx，则不等式12fx的解集为_____．【答案】31,2【解析】【分析】先求出11()1fxxx，即121x求解即可。【详解】∵1()1fxx，∴有11()(1)1fxxx，则121x，必有x﹣1＞0，∴2（x﹣1）＜1，解得1＜x32．故答案为：31,2．【点睛】本题考查了反函数的求法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.试写出71xx的展开式中系数最大的项_____．【答案】35x【解析】【分析】Tr+1＝（﹣1）rr7Cx7﹣2r，r必须为偶数，分别令r＝0，2，4，6，经过比较即可得出【详解】7721711rrrrrrTxxx﹣＝C＝（﹣），r必须为偶数，分别令r＝0，2，4，6，其系数分别为：1，27C,47C,67C经过比较可得：r＝4时满足条件，415735TCxx故答案为：35x．【点睛】35x本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.若2423yxx最小值为a，最大值为b，则2lim34nnnnnabab_____．【答案】12【解析】【分析】先求函数的定义，求出函数的最大值a和最小值b，代入求极限。【详解】y＝4﹣223xx，定义域为[﹣1，3]当x＝1时，y取最小值为2，当x＝3或﹣1时，y取最大值为4，故a＝2，b＝4；1im234nnnnabnab＝1im2243244nnnnn＝122lim1342nnn＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查求函数的定义域，根据定义域求函数的最值及求极限，属于中档题．6.已知平面上三点A、B、C满足3,522ABBCCA，则ABBCBCCACAAB的值等于_____．【答案】8【解析】【分析】由三边的平方和的关系，可得△ABC为直角三角形，由0ABBCCA，两边平方结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值【详解】由|4B|＝2，|Bi|＝5，|CA|＝22，可得：222ABBCCA即有△ABC为直角三角形，由0ABBCCA两边平方可得，222ABBCBCCACAAB2()0ABBCCA即有ABBCBCCACAAB222||+||+||1=-2ABBCCA（）＝﹣12×（3+5+8）＝﹣8．故答案为：﹣8．【点睛】本题考查向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，注意平方法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．7.设P是曲线2sec(2tanxy为参数）上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹的普通方程为_____．【答案】22841xy【解析】【分析】由sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为2x2﹣y2＝1，设P（x0，y0），M（x，y），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程．【详解】曲线（θ为参数），即有sec2tanxy，由sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为2x2﹣y2＝1，设P（x0，y0），M（x，y），可得0022xxyy，代入曲线方程，可得2x02﹣y02＝1，即为2（2x）2﹣（2y）2＝1，即为8x2﹣4y2＝1．故答案为：8x2﹣4y2＝1．【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．8.在等差数列na中，首项13a，公差2d，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为．【答案】200【解析】试题分析：等差数列na中的连续10项为*+129,,,,,()xxxxaaaaxN，遗漏的项为*+,xnanN且19,n则9()10(18)10(2)22xxxxxnxaaaaaan，化简得4494352xn，所以5x，511a，则连续10项的和为(1111+18)10=2002.考点：等差数列.9.从集合1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中kA）的概率是25，则k__.【答案】4或7.【解析】【分析】先求出所有的基本事件有45种，再求出取到的一个数大于k，另一个数小于k的基本事件有(1)(10)kk种，根据古典概型概率公式即可得到关于k的方程解得即可.【详解】从集合1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中任取两个数的基本事件有21045C种，取到的一个数大于k，另一个数小于k，比k小的数有1k个，比k大的数有10k个，故一共有11110(1)(10)kkCCkk个基本事件，由题意可得(1)(10)2455kk，即(1)(10)18kk，整理得211280kk，解得4k或7k，故答案是：4或7.【点睛】该题考查的是有关古典概型概率求解问题，涉及到的知识点有实验对应的基本事件数的求解，古典概型概率公式，属于简单题目.10.已知数列na的通项公式为*12nnnannN，则这个数列的前n项和nS_____．【答案】1152,242,2nnnnnSnn为奇数为偶数【解析】【分析】分n为奇数、偶数两种情况讨论，利用分组求和法计算即得结论．【详解】当n为偶数时，Sn＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣n+1+n）]+（2+22+…+2n）＝212212nn＝2n+1+2n﹣2；当n为奇数时，Sn＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣n+2+n﹣1）﹣n]+（2+22+…+2n）＝12n﹣n+21212n＝2n+1﹣2n﹣52；综上所述，Sn＝1152,242,2nnnnnn为奇数为偶数【点睛】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分组求和法，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．11.已知函数1()fxxx，数列{}na是公比大于0的等比数列，且61a，1239101()()()()()fafafafafaa，则1a_______.【答案】22【解析】【分析】由于na是等比数列，所以1na也是等比数列.根据题目所给条件列方程，解方程求得1a的值.【详解】设数列na的公比为0q，则1na是首项为11a，公比为1q的等比数列，由1239101fafafafafaa得121011210111aaaaaaa，即10101111111111aqaqaqq①，由61a，得511aq②，联立①②解得122a.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列的前n项和公式，考查运算求解能力，属于中档题.12.定义在R上的奇函数fx，当0x时,12log(1),[0,1)13,[1,)xxfxxx则函数01Fxfxaa的所有零点之和为_____．【答案】12x【解析】【分析】函数F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y＝f（x），y＝a的图象交点的横坐标；作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【详解】∵当x≥0时，f（x）＝12log(1),[0,1)13,[1,)xxxx即x∈[0，1）时，f（x）＝12log（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）＝x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）＝4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y＝a，与y＝f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a＝0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）＝12log（﹣x+1），又f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣12log（﹣x+1）＝12log（1﹣x）﹣1＝log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）＝a，即1﹣x＝2a，解得x＝1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故答案为：1﹣2a．【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．二、选择题13.,ab为非零向量，“函数2()()fxaxb为偶函数”是“ab”的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：因为2222()2fxaxbaxabxb＝＋＝＋＋，所以若2()fxaxb＝为偶数，则0ab＝，即ab.若ab，则有0ab＝，所以2222222()2fxaxbaxabxbaxb＝＋＝＋＋＋，为偶函数．考点：1.充分必要条件的判断；2.平面年向量的数量积.【方法点睛】充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法：①充分不必要条件：如果pq，且pq，则说p是q的充分不必要条件；②必要不充分条件：如果pq，且pq，则说p是q的必要不充分条件；③既不充分也不必要条件：如果pq，且pq，则说p是q的既不充分也不必要条件.14.若,ab表示两条直线，表示平面，下列命题中的真命题为（）A.若,aab，则//bB.若//,aab，则bC.若,ab，则abrrD.若//,//ab，则//ab【答案】C【解析】【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【详解】：选项A中，由a⊥α，a⊥b，则b可能在平面α内，故该命题为假命题；选项B中，由a∥α，a⊥b，则b⊥α或b∥α，故该命题为假命题；选项C中，由线面垂直的判定定理可知，该命题为真命题；选项D中，由a∥α，b∥α可得到a，b相交或平行，故该命题是假命题，故选：C．【点睛】本题考查的是线面平行的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行的判定与性质是关键．15.抛物线24yx的焦点为F，点,Pxy为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则PFPA的最小值是（）A.12B.22C.32D.233【答案】B【解析】由题意可知，抛物线的准线方程为x=﹣1