两个两位数和是56的解题策略研究

现代小学数学教学教学小实验XIANDAIXIAOXUESHUXUEJIAOXUESpring，200457“两个两位数和是56”的解题策略研究杭州现代小学数学教育研究中心姜荣富一、问题的提出《数学课程标准》（实验稿）指出，学生在解决问题过程中，要能进行有条理的思考，能对结论的合理性作出有说服力的说明，能够探索出解决问题的有效方法，并从不同的角度寻找其它方法。不同年龄段的学生解决同一问题，方法和结果会有哪些差异？进行铺垫性训练会对学生从不同的角度寻找方法产生怎样的影响？带着这些问题，我们就“两个两位数相加和是56”这一数学问题，在二、三、四年级分别进行了测查，发现了不同年级的学生解题能力的倾向，并分析了铺垫性训练对寻找解题方法的影响。二、测试的问题测试的问题是：□□＋□□56两个两位数相加和是56，你能写出多少个这样算式，请你写下来。(时间20分钟，可提前上交。)如果你认为解题已经完成，请选择：你觉得这道题（）①难②比较难③容易你对这道题（）①感兴趣②比较感兴趣③不感兴趣你认为自己是否写出了所有的答案（）①是②不是③不知道三、测试的组织在2003年11月15日，我们从一所普通城镇小学的二、三、四年级分别选择两个班级，即二(5)、二(6)、三(5)、三(6)、四(5)、四(6)共6个班的354名学生进行了测试，同年级的两个班由同一教师任教，三位教师教学水平、教学态度相仿。我们在每个年级的被试班级中选择一个班级作为实验班，即二(6)、三(6)、四(6)三个班，其余班级作为对照班。在测试的前一天，我们对实验班进行了铺垫性训练。训练的题目有两道，一是□＋□=13，两个一位数相加的，和是13；二是□＋□□=43，即一个一位数和一个两位数相加的和是43。教学的过程简述如下：1.出示□＋□=13，两个一位数相加的和是13，请你写出这样的算式。先让学生独立地写，然后进行汇报交流。有的没有按顺序写，有的是按一定的顺序写的。按顺序写的思路主要有两种：第一种是先写下一个算式，如6+7，再分别依次把一个加数减少1，把另一个加数增加1，得到另一个算式；第二种是先写下一个算式，如9+4，再把两个加数交换位置，得到另一个算式，这样一对一对地写。针对第二种思路，教师提问：“为什么想到先写9+4？”学生答：“因为□填的是一位数，最大能填9，最小能填4。”2.出示□＋□□=43，即一个一位数和一个两位数相加的和是43，请你写出这样的算式。教学XIANDAIXIAOXUESHUXUEJIAOXUESpring，200458环节同上。学生解题的策略除了以上两种之外，还有把个位、十位分开来考虑的，即先想两个数相加等于3或13的有哪几种情况，再想十位上应该填几。最后，教师在小结中指出，解决类似这样的问题，思路可能会有好几种，不管选择什么方法，先确定一个算式是很重要的。训练结束之后，教师没有提示将要进行相关的测试。测试时，教师告知学生这只是一次普通的作业，不是真正的考试，解决这道题的方法可能会有很多种，可以自己去寻找一些方法。并指出，要在20分钟内完成，如果认为自己已经完成，可以提前上交。四、测试的结果1.写出题数的统计年级班级人数写出的总题数平均每人题数全总写出来的人数百分比二年级对照班5761910.900%实验班60142023.6610%小计117203917.465.1%三年级对照班62126620.469.6%实验班62182729.52438.7%小计124309324.93024.2%四年级对照班55168430.62138.1%实验班58198834.33051.7%小计113367232.55145.1%注：不同策略写出同一算式(两个加数相同，位置也相同)不累计题数；不正确地算式(算式与结果不符)和不符合要求的算式(两位数加一位数)不计题数。全部写出来共37题。比较每人写的平均题数，同一年级，经过铺垫训练的班级和没有训练的班级，每人平均写出的题数是有差异的，而且，年级越低，差异越大。不同年级平均每人写出的题数也有较大的差异。比较各班写全的人数所占的百分比，经过铺垫训练的班级明显优于没有训练的班级，不同年级写全人数的百分比差异十分显著。由此可以看出，铺垫训练对学生答题的效率和完整性有重要的影响，这种影响随着年级的升高而逐步降低。2.运用策略统计我们对学生答题的过程进行了分析，发现他们在解决这个问题的过程中，有的是按一定的顺序来写的，有的是杂乱无章，没有顺序的。统计如下：年级班级有顺序的无顺序的有序的写法比无序的多的题数人数写出的总题数平均每人写的题数人数写出的总题数平均每人写的题数二年级对照班3444813.1231717.75.4实验班3696326.82445719.17.7小计70141120.24752811.29三年级对照班2666225.53660416.78.8实验班52170732.8712017.115.7小计78236930.44272417.213.2四对照班50164232.85428.424.4XIANDAIXIAOXUESHUXUEJIAOXUESpring，200459年级实验班54195336.223517.518.7小计104359534.67771123.6从上表中可以看出：按一定的顺序写，每人写出的平均题数比没有顺序的多得多，而且，年级越高，差异越明显。这说明高年级的学生思维的条理性比低年级好，选择和运用策略的能力高于低年级学生。经过进一步分析，按顺序写的策略主要有：①增减加数：如先写出10+46或46+10，再把一个加数增加1，另一个加数减少1，得到11+45或45+11。②交换位置：如先写出27+29，再交换两个加数的位置得,29＋27，按照增减加数的方法得到另一个算式，如26+30，再交换加数的位置，以此类推。③数位搭配：把可能的算式分成进位和不进位两类，列出个位相加得6和16的分别有哪些情况，再考虑十位上分别应该填几。④阶段有序。主要有两种情况：一种是先写下10+46，再把第一个加数加10，或先写下11+45，把第一个加数加11。第二种情况是一部分算式按照加数增减的顺序写，其他的算式没有用这种规律。各种策略的使用人数情况如下表：年级班级增减加数交换位置数位搭配阶段有序两种策略二年级对照班15102710实验班1393115三年级对照班144088实验班2733189四年级对照班3250138实验班446125相比之下，加数增减是多数学生选用的策略，原因有二，一是这种策略简便易行，二是这种策略使用比较频繁。而数位搭配的策略使用的学生最少，主要这种策略要用到排列组合的知识，相对其它几种方法来说，比较复杂。高年级学生较少选用这种策略，说明高年级学生比低年级学生有更强的策略选择能力。比较使用了两种策略的人数，低年级和高年级并没有多大的差异，这说明各年级学生运用多种策略解题的意识相差无几，高年级探索其他方法解题的能力没有优势。因为在铺垫训练中强化了加数增减的方法，经过铺垫训练的班级，选择使用这种策略的较多，而他们在选用多种策略解题方面并没有优势。说明铺垫训练与多样化的解题策略并无直接的、必然的联系，而且，还可能使学生受到思维定势的影响，固化学生的解题思路。判断自己的答案是否写全，统计情况如下：年级班级判断正确的判断错误的不清楚的未选人数人数百分比人数百分比人数百分比二年级对照班1017.52136.82340.43实验班15253151.61423.30三年级对照班2032.269.63454.82实验班2743.5002946.86四年级对照班2341.8814.52036.44XIANDAIXIAOXUESHUXUEJIAOXUESpring，200460实验班2339.71356.51932.83表中可以看出，高年级判断的准确率明显高于低年级。这说明，高年级的学生比低年级的学生更能清楚地解释自己的答案。选择不清楚的人数四年级和二年级都高于三年级，可能是高年级的同学更加自信，而低年级的同学有些茫然。我们对选择认为自己写全答案的人数进行统计，各班选“是”的人数分别是二（5）班21人，二（6）班29人，三（5）班6人，三（6）班13人，四（5）班23人，四（6）班28人。这表明，经过铺垫训练的学生对自己解题的结果比较自信。对难易程度和是否感兴趣进行统计，结果如下：年级班级难易兴趣比较难百分比容易百分比感兴趣百分比较感兴趣百分比二年级对照班1424.53968.43663.11424.6实验班1728.3396530502440三年级对照班23373658.13759.71930.6实验班711.24877.32952.71219.3四年级对照班610.94683.64378.11221.8实验班915.54374.14781813.8注：其余为认为是“难”的或是“不感兴趣”的。表中可以看出，低年级认为比较难的比例较高，认为感兴趣的比例与中年级差不多；而高年级认为容易的比例比较高，感兴趣的比例也相对高一些。这说明，就这一道题来说，难易程度与是否感兴趣没有必然的联系，这与通常我们说的具有挑战性的问题更能激发学生的兴趣是不吻合的。而且，高年级和低年级没有可比性。我们在调查中发现，无论是低年级还是高年级学生，思考的条理性影响他们对问题的乐趣感和难易程度的认识。一般情况下，能有条理思考的学生，一般认为题目比较容易，而且感觉有趣，相反，则认为比较难，或没有兴趣。五、引发思考的问题1.思考的条理性影响非常规问题的解决。学生能有条理的思考，往往策略比较多样，能综合运用几种策略解决同一个问题，表现出思维的灵活性和独创性。不同年级的学生对策略的选择是有差异的，高年级学生具有更强的策略优化意识。选择和策略的能力水平与学生学习的乐趣感密切相关，学生学力的发展直接影响学习中的情感态度，这可能随着年级的增高，学生学习水平差异越来越大的原因之一。2.铺垫性训练对学生答题的效率有重要的影响，学生在类似的情境中用相同的策略解决问题，能表现出更多的自信，这是铺垫训练积极的一面。但是，铺垫训练中的策略指导对学生寻找其他方法解题也会造成负面的影响，有可能会限制学生的思维，束缚他们对新方法的思考，而且，即使是开放性问题的解答，探索的活动也可能会异化为模仿。◎