上海市闵行区闵行中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）

上海市闵行区闵行中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.不等式15x的解集为______【答案】()6,4-【解析】【分析】将不等式变为515x，解不等式得到结果.【详解】15x515x64x本题正确结果：()6,4-【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，属于基础题.2.实数2和8的等比中项是__________．【答案】4【解析】所求的等比中项为：284.3.已知函数()21fxx的反函数是1()fx，则1(5)f________【答案】3【解析】设15ft，则5ft即215t∴3t∴153f故答案为：34.在等差数列na中，12a，3510aa，则7a．【答案】8【解析】【详解】设等差数列na的公差为d，则351712610aaaaad，所以71101028aa，故答案为8.5.若1cos3，则sin()2________.【答案】13【解析】【分析】根据诱导公式可知sincos2.【详解】1sincos23故答案为：13.【点睛】本题考查根据诱导公式求值，属于简单题型.6.已知函数fx为奇函数，且当0x时，21fxxx，则1f______．【答案】－2【解析】f(－1)＝－f(1)＝－2.7.已知log1ab，则4ab的最小值为________.【答案】4【解析】【分析】首先根据指对互化，表示为1ab，再利用基本不等式求最小值.【详解】1log1abab，0a，且1,0ab，即1ab42444ababab，等号成立的条件是4ab，又因为1ab，解得12,2ab.故答案为：4.【点睛】本题考查指对互化，和基本不等式求最值，意在考查转化和计算能力，属于简单题型.8.设()lgfxx，若(1)()0fafa，则实数a的取值范围为________.【答案】1(0,)2【解析】【分析】首先判断函数的定义域和单调性，不等式等价于1fafa，利用函数性质解不等式.【详解】函数fx的定义域是0,，并且函数是单调递增函数，101fafafafa1001aaaa，解得：102a.故答案为：10,2.【点睛】本题考查根据函数的性质解抽象不等式，意在考查函数基本性质简单应用，解抽象不等式时，需注意函数的定义域.9.若数列{}na为等差数列，{}nb为等比数列，且满足：12019aa，120192bb，函数()sinfxx，则1009101110091011()1aafbb________.【答案】32【解析】【分析】根据等差，等比数列的几何性质，可求得1009101112019aaaa,10091011120192bbbb，代入求值.【详解】na是等差数列，1009101112019aaaanbQ是等比数列，12019100910112bbbb，10091011100910111123aabb，10091011100910113sin1332aaffbb.故答案为：32.【点睛】本题考查等差和等比数列的几何性质，意在考查基础知识的掌握水平，属于基础题型.10.已知函数()sin([0,])fxxx和函数1()tan2gxx的图象交于,,ABC三点，则ABC的面积为__________．【答案】34【解析】【分析】画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积.【详解】画出两个函数图像如下图所示，由图可知0,0,π,0AC，对于B点，由sin1tan2yxyx，解得π3,32B，所以133ππ224ABCS.【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题.11.已知函数()|21|xfxa，若存在实数1x、2x（12xx），使得12()()1fxfx，则实数a的取值范围为________.【答案】12a【解析】【分析】首先令211xa，转化为211xa，根据12()()1fxfx，可知转化为ya和211xy的交点个数求参数的取值范围.【详解】当1fx，即211xa即211xa，转化为ya与211xy有两个交点，如图，由图象可知当12a时图象有两个交点.故答案为：12a.【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数取值范围，意在考查数形结合分析问题的能力，一般判断函数零点个数或是根据零点个数求参数取值范围，都可以转化成两个函数的交点个数.12.设数列na满足11a,24,a,39a,1234nnnnaaaan，2019a______.【答案】8073【解析】【分析】对n分奇偶讨论求解即可【详解】当n为偶数时，123213nnnnaaaaaaL当n为奇数时，123325nnnnaaaaaaL故当n为奇数时，11221111=++++5314322nnnnnnnaaaaaaaanL故20194201938073a故答案为8073【点睛】本题考查数列递推关系，考查分析推理能力，对n分奇偶讨论发现规律是解决本题的关键，是难题13.函数()sinfxx（0）的图像与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为1A，2A，3A，，nA，，在点列{}nA中存在三个不同的点kA、lA、pA，使得△klpAAA是等腰直角三角形，将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为{}n，则2020________.【答案】40392【解析】【分析】首先求函数与对称轴的交点，,12nnnA，根据klpAAA为等腰直角三角形，且klp，此等腰直角三角形斜边的高是2，底边长为4，根据交点坐标nA表示底边长，再根据数形结合可知42,kpmmZ，最后表示212m求值.【详解】函数sin0fxx的对称轴是,2xnnZ，解得2nx，,12nnnA，nZklpAAA为等腰直角三角形，且klp，此等腰直角三角形斜边的高是2，底边长为4，即422pk，即4pk，4pk，而42,pkmmZ，422142mm，2020220201403922.故答案为：40392【点睛】本题考查函数性质的综合运用，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的一个关键点是根据数形结合分析出42,pkmmZ，从而求得m的通项公式.14.已知无穷等比数列{}na满足：对任意的*nN，sin1na，则数列{}na公比q的取值集合为__________．【答案】41,qqkkZ【解析】【分析】根据条件先得到：na的表示，然后再根据{}na是等比数列讨论公比q的情况.【详解】因为sin1na，所以2,2nakkZ，即(41),2nkakZ；取{}na连续的有限项构成数列{}nb，不妨令1(41),2kbkZ，则2(41),2qkbkZ，且2{}nba，则此时q必为整数；当4,qkkZ时，224(4)2(41){}2nkkbkka，不符合；当41,qkkZ时，222(41)4(42)1{}22nkkkba，符合，此时公比41,qkkZ；当42,qkkZ时，224(43)2(21)(41){}2nkkbkka，不符合；当43,qkkZ时，22(43)(41)4(44)3{}22nkkkkba，不符合；故：公比41,qkkZ.【点睛】本题考查无穷等比数列的公比，难度较难,分析这种抽象类型的数列问题时，经常需要进行分类，可先通过列举的方式找到思路，然后再准确分析.二.选择题15.“函数()()fxxR存在反函数”是“函数()fx在R上为增函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】函数()()fxxR存在反函数，至少还有可能函数()fx在R上为减函数，充分性不成立；根据反函数的定义可知必要性显然成立，“函数()()fxxR存在反函数”是“函数()fx在R上为增函数”的必要而不充分条件，故选B.16.已知数列{}na的通项公式2019112nnna120192020nn，前n项和为nS，则关于数列{}na、nS的极限，下面判断正确的是（）A.数列{}na的极限不存在，nS的极限存在B.数列{}na的极限存在，nS的极限不存在C.数列{}na、nS的极限均存在，但极限值不相等D.数列{}na、nS的极限均存在，且极限值相等【答案】D【解析】【分析】分别考虑{}na与nS的极限，然后作比较.【详解】因为20091limlim()02nnxxa，又2019201912201911(1())122limlim(...)lim[()]01212nnnxxxSaaa，所以数列{}na、nS的极限均存在，且极限值相等，故选：D.【点睛】本题考查数列的极限的是否存在的判断以及计算，难度一般.注意求解nS的极限时，若是分段数列求和的形式，一定要将多段数列均考虑到.17.设函数()sin()fxAx（A、、是常数，0A，0），若()fx在区间[,]62上具有单调性，且2()()()236fff，则()fx的最小正周期为（）A.B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】首先根据fx在,62具有单调性，且223ff，可求出函数的对称轴，再根据26ff求出函数的对称中心，最后根据,62具有单调性和相邻的对称轴和对称中心的距离是4T求最小正周期.【详解】fx在,62具有单调性，且223fffx关于12723212x对称，26ff，且12623，即fx的对称中心为,03，设fx的最小正周期为T，则22671234TTT.故选：A【点睛】本题考查根据三角函数的单调性求函数的最小正周期，属于中档题型，意在考查数形结合解决三角函数性质问题，正弦（型）函数既是中心对称又是轴对称图象，相邻的对称轴间的距离是半个周期，相邻的对称轴和对称中心的距离是4T，那么根据单调区间和所给特殊函数值的关系可得到对称关系，从而得到函数的最小正周期.18.已知数列{}na是公差不为零的等差数列，函数()fx是定义在R上的单调递增的奇函数，数列{()}nfa的前n项和为nS，对于命题：①若数列{}na为递增数列，则对一切*nN，0nS；②若对一切*nN，0nS，则数列{}na为递增数列；③若存在*mN，使得0mS，则存在*kN，使得0ka；④若存在*kN，使得0ka，则存在*mN，使得0mS；其中正确命题的个数为（）A.