上海市闵行区闵行中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）

上海市闵行区闵行中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.1lim[2()]2nn________【答案】2【解析】【分析】直接利用极限公式得到答案.【详解】1lim()02nn，故1lim[2()]22nn故答案为：2【点睛】本题考查了极限的计算，属于基础题型.2.已知向量(1,2)a，(1,3)b，则|2|ab________【答案】10【解析】【分析】先计算2(3,1)ab，再计算|2|ab得到答案.【详解】(1,2)a，(1,3)b22(1,2)(1,3)(3,1)ab|2|10ab故答案为：10【点睛】本题考查了向量的模，属于基础题型.3.1133lim23nnnn________【答案】12【解析】【分析】利用等比数列公式得到1311332nn，再计算312lim23nnnn得到答案.【详解】1311332nn11311()133132limlimlim2232322()23nnnnnnnnnnn故答案为：12【点睛】本题考查了极限的计算，意在考查学生的计算能力.4.把二元一次方程组的增广矩阵125318变换为1001xy，则xy________【答案】2【解析】【分析】找到增广矩阵对应的二元一次方程为2538xyxy，计算得到答案.【详解】二元一次方程组的增广矩阵125318，对应的二元一次方程为：2538xyxy解得：31xy所以2xy故答案为：2【点睛】本题考查了增广矩阵，找到对应的二元一次方程是解题的关键.5.行列式286142035中，其中3的余子式的值是________【答案】2【解析】【分析】先得到3的余子式是2612，再利用行列式计算法则得到答案.【详解】行列式286142035中，其中3的余子式是2612计算得到2646212故答案为：2【点睛】本题考查了行列式的计算，意在考查学生的计算能力.6.已知(1,2)a，(8,6)br，则向量a在b方向上的投影为________【答案】25【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案.【详解】(1,2)a，(8,6)br，a在b方向上的投影为：8122105abb故答案为：25【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生对于投影概念的理解情况.7.设向量,,abc均为单位向量，且||2||abc+=，则向量,ab的夹角等于____________．【答案】90【解析】【分析】由平面向量模的运算可得ab＝0，即可得解.【详解】解：由题意，得22()2abc，即22222ababc，又abc，故ab＝0，故a，b的夹角为90°．【点睛】本题考查了平面向量模及平面向量数量积的运算，属基础题.8.△ABC中，(4,1)A、(7,5)B、(4,7)C，A的平分线所在直线的点方向式方程是____【答案】4117xy【解析】【分析】根据角平分线性质得到13BDBC，计算得到1017(,)33D，再计算AD的一个平行向量为(1,7)，代入得到答案.【详解】如图所示：A的平分线所在直线与BC交于点D则5,10ABAC，根据角平分线的性质得到：2CDBD，即13BDBC设(,)Dxy，则1(7,5)(11,2)3xy解得：1017(,)33D214(,)33AD对应的平行向量为：(1,7)故平分线所在直线的点方向式方程是：4117xy故答案为：4117xy【点睛】本题考查了直线的点方向式方程，抓住平行向量是解题的关键.9.△ABC中，(4,1)A、(7,5)B、(4,7)C，AC边上的高所在的直线的点法向式方程为________【答案】4(7)3(5)0xy【解析】【分析】计算与AC平行的一个向量为(4,3)，直接利用点法向式方程公式得到答案.【详解】(8,6)AC，与(8,6)AC平行的一个向量为(4,3)AC边上的高所在的直线的点法向式方程为：4(7)3(5)0xy【点睛】本题考查了点法向式方程，意在考查学生的计算能力.10.已知1,2abrr，且ab与a垂直，则a与b的夹角为_________.【答案】45【解析】【分析】由ab与a垂直，可得2cos0aab，结合1,2ab即可得结果.【详解】,0abaaba，2cos0aab，12cos22ab，0180,45，故答案为45.【点睛】本题主要考查向量的模与夹角以及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cosabab，二是1212abxxyy，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cosabab（此时ab往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a在b上的投影是abb；（3）,ab向量垂直则0ab;(4)求向量manb的模（平方后需求ab）.11.在平面直角坐标系中，已知(1,)OAtuur，(2,2)OBuuur，若ABO90，则实数t的值为_____.【答案】5【解析】【分析】计算出向量BA的坐标，由题意得出0BAOBuuruuur，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求出实数t的值.【详解】若ABO90，即OBBAuuruuur，3,2BAOAOBtuuruuruuur，6220BAOBtuuruuur，解得5t，故答案为：5.【点睛】本题考查垂直向量的坐标运算，解题的关键就是题中的直角转化为向量数量积为零来处理，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于基础题.12.有一列正方体，棱长组成以1为首项，12为公比的等比数列，体积分别记为12,,,nVVV，则12limnnVVV.【答案】87【解析】【详解】易知V1,V2,…,Vn,…是以1为首项，3为公比的等比数列，所以1128lim()1718nnVVVV13.在△ABC中，3AB，2AC，60A，AGmABAC，则||AGuuur的最小值为________【答案】3【解析】【分析】先计算得到2219()33AGm，根据二次函数得到最小值.【详解】AGmABAC则222222219649()33AGmABACmABAmmCm当13m时，2AG有最小值3，即||AGuuur的最小值为3故答案为：3【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.14.如图，向量OAOB，||2OA，||1OBuuur，P是以O为圆心、||OAuur为半径的圆弧AC上的动点，若OPmOAnOB，则mn的最大值是______.【答案】1【解析】【分析】将OPmOAnOB两边平方，利用数量积的运算化简可得2244mn，用基本不等式即可求得最大值．【详解】因为OAOB，2OA，1OB，所以224,1,?0OAOBOAOB,因为P为圆上，所以24OP，OPmOAnOB，22()OPmOAnOB，2244mn，2244mnmn，44mn，1mn，故答案为1．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算、基本不等式的应用，属基础题．数量积的运算主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cosabab（此时ab往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a在b上的投影是abb；（3）,ab向量垂直则0ab;(4)求向量manb的模（平方后需求ab）.二.选择题15.已知{}na是以q为公比的无穷等比数列，其各项和为s，则“lim0nna”是“11asq成立”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】C【解析】【分析】根据lim0nna得到1q，计算极限得到充分性，根据1lim111nnaqqq得到1q，计算极限得到必要性，得到答案.【详解】11nnaaq，如果lim0nna，则1q，111nnqSaq，11limnnSasq，具有充分性；若11asq，则11l111imlimnnnnSaqsqqq，11limlim0nnnnaqa，具有必要性.故“lim0nna”是“11asq成立”的充要条件故选：C【点睛】本题考查了充分必要条件，意在考查学生对于极限的理解和掌握.16.已知向量(1,2)a，(1,)bm，则“12m”是,ab为钝角的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由充分条件与必要条件的概念，以及向量的夹角公式，即可得出结果.【详解】因为(1,2)a，(1,)bm，所以12abm，则221cos,51abmababm，若12m，则221cos,051abmababm，但当2m时，,ab反向，夹角为180；所以由12m不能推出,ab为钝角；反之，若,ab为钝角，则cos,0ab且2m，即12m且2m，能推出12m；因此，“12m”是,ab为钝角的必要不充分条件.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型.17.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=A.3144ABAC-B.1344ABAC-C.3144ABAC+D.1344ABAC+【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BEBABC，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BCBAAC，之后将其合并，得到3144BEBAAC，下一步应用相反向量，求得3144EBABAC，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得111111222424BEBABDBABCBABAAC1113124444BABAACBAAC，所以3144EBABAC，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.18.221(1)1lim1(1)1nnn的值为（）A.0B.1C.12D.不存在【答案】A【解析】【分析】化简得到221lim221nnnn，利用极限公式得到答案.【详解】22222112(1)121limlimlim0112221(1)12nnnnnnnnnnnn故选：A【点睛】本题考查了极限的计算，意在考查学生的计算能力.19.在ABC△中，点D是线段BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数和，使得BMABACuuuruuuruuur，则A.2B.2C.12D.12【答案】B【解析】【分析】由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD，BM，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果.【详解】如图所示，因为点D在线段BC上，所以存在tR，使得BDtBCtACAB，因为M是线段AD的中点，所以：111112222BMBABDABtACtABtABtAC，又BMABAC，所以112t，12t，所以12.本题选择D选项.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．