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上海市闵行区2019-2020学年高一年级第一学期期中考试数学试卷一、填空题（本大题共11小题）1.已知集合A={-1，1，2，3}，B={-1，0，2}，则A∩B=______．2.已知集合A={1，2，a2-2a}，若3∈A，则实数a=______．3.不等式＞0的解集是______．4.已知集合A={（x，y）|3x-2y=5}，B={（x，y）|x+2y=-1}，则A∩B=______．5.设函数，则其定义域为______．6.已知命题“在整数集中，若x+y是偶数，则x，y都是偶数”，则该命题的否命题为______．7.已知集合A={1，3，2m+3}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=______．8.若关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，则关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集是______．9.设x＞1，则最小值为______．10.“对任意的正数x，结论恒成立”的充要条件为______．11.定义满足不等式|x-A|＜B（A∈R，B＞0）的实数x的集合叫做A的B邻域．若a+b-t（t为正常数）的a+b邻域是一个关于原点对称的区间，则a2+b2的最小值为______．二、选择题（本大题共4小题）12.下列命题为真命题的是（）A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则13.设命题甲为|“0＜x＜3”，命题乙为“|x-1|＜2“，那么甲是乙的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.设全集U=R，A={x|x（x+3）＜0}，B={x|x＜-1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A.B.C.D.15.设x∈R，对于使-x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做-x2+2x的上确界．若a，b∈（0，+∞），且a+b=1，则--的上确界为（）A.B.C.D.三、解答题（本大题共6小题）16.关于不等式组的整数解的集合为{-2}，则实数k的取值范围是______．17.已知集合，B={x||3x+4|＜5，x∈R}．求：（1）A∪B；（2）∁RA∩∁RB．18.记关于x的不等式的解集为P，不等式|x+2|＜3的解集为Q（1）若a=3，求P；（2）若P∪Q=Q，求正数a的取值范围．19.某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为a千瓦时．本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时～0.75元/千瓦时之间，而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时（该市电力成本价为0.30元/千瓦时）经测算，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为0.2a．试问当地电价最低为多少时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%．20.已知命题α：函数的定义域是R；命题β：在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1-y）．不等式（x-a）⊗（x+a）＜1对任意实数x都成立．（1）若α、β中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围；（2）若α、β中至少有一个真命题，求实数a的取值范围；（3）若α、β中至多有一个真命题，求实数a的取值范围．21.已知一元二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为（c，0），且当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．（1）当a=1，时，求出不等式f（x）＜0的解；（2）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；答案和解析1.【答案】{-1，2}【解析】解：∵A={-1，1，2，3}，B={-1，0，2}，∴A∩B{-1，2}．故答案为：{-1，2}．利用交集定义求解．本题考查交集的求法，解题时要认真审题，是基础题．2.【答案】3或-1【解析】解：∵3∈A，A={1，2，a2-2a}，∴a2-2a=3，解得a=-1或3．故答案为：-1或3．根据3∈A即可得出a2-2a=3，解出a即可．本题考查了列举法的定义，元素与集合的关系，考查了推理和计算能力，属于基础题．3.【答案】（-∞，-3）∪（1，+∞）【解析】解：不等式＞0等价为（x-1）（x+3）＞0，即x＞1或x＜-3，即不等式的解集为（-∞，-3）∪（1，+∞），故答案为：（-∞，-3）∪（1，+∞）将分式不等式转化为整式不等式即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，将分式不等式转化为整式不等式是解决本题的关键．4.【答案】{（1，-1）}【解析】解：解得，，∴A∩B={（1，-1）}．故答案为：{（1，-1）}．根据交集的定义，解方程组即可得出A∩B．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】[-3，0）∪（0，3]【解析】解：函数，令，解得-3≤x≤3且x≠0；所以函数f（x）的定义域是[-3，0）∪（0，3]．故答案为：[-3，0）∪（0，3]．根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．本题考查了求函数定义域的问题，要保证函数有意义，开偶次根时被开方的式子非负，0次幂的底数非零．6.【答案】“在整数集中，若x+y不是偶数，则x，y不都是偶数”【解析】解：命题“在整数集中，若x+y是偶数，则x，y都是偶数”，该命题的否命题为：“在整数集中，若x+y不是偶数，则x，y不都是偶数”．故答案为：“在整数集中，若x+y不是偶数，则x，y不都是偶数”．根据命题“若p，则q”的否命题为“若￢p，则￢q”，写出即可．本题考查了命题和它的否命题之间关系问题，是基础题．7.【答案】1或3【解析】解：∵B⊆A，∴1=m2或2m+3=m2，解得，m=1或m=-1或m=3，将m的值代入集合A、B验证，m=-1不符合集合的互异性，故m=1或3．故答案为：1或3．由B⊆A可知1=m2或2m+3=m2，求出m再验证．本题考查了集合的包含关系与应用，注意要验证．8.【答案】【解析】解：∵关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，∴a＜0，且-1+2=-，-1×2=．∴b=-a＞0，c=-2a＞0，∴=-，=．故关于x的不等式cx2+bx+a＞0，即x2+x-＞0，即（x+1）（x-）＞0，故x＜-1，或x＞，故关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集是，故答案为．由条件可得a＜0，且-1+2=-，-1×2=．b=-a＞0，c=-2a＞0，可得要解得不等式即x2+x-＞0，由此求得它的解集．本题主要考查一元二次不等式的解法，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．9.【答案】【解析】解：∵x＞1，∴x-1＞0，∴==≥=，当且仅当，即x=1+时取等号，∴最小值为．故答案为：．由x＞1，知x-1＞0，然后根据=，利用基本不等式求出最小值．本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属中档题．10.【答案】∪【解析】解：“对任意的正数x，结论恒成立”⇔a2≥（x-x2）max，x＞0．令y=-x2+x=-+≤，当x=时，取等号．∴a2≥．解得a，或a≤-．故答案为：∪．“对任意的正数x，结论恒成立”⇔a2≥（x-x2）max，x＞0．令y=-x2+x，x＞0，利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】【解析】解：因为：A的B邻域在数轴上表示以A为中心，B为半径的区域，∴|x-（a+b-t）|＜a+b⇒-t＜x＜2（a+b）-t，而邻域是一个关于原点对称的区间，所以可得a+b-t=0⇒a+b=t．又因为：a2+b2≥2ab⇒2（a2+b2）≥a2+2ab+b2=（a+b）2=t2．所以：a2+b2≥．故答案为：．先根据条件求出-t＜x＜2（a+b）-t；再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到a+b=t，最后结合基本不等式即可求出a2+b2的最小值．本小题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．12.【答案】D【解析】解：由ac＞bc，当c＜0时，有a＜b，选项A错误；若a2＞b2，不一定有a＞b，如（-3）2＞（-2）2，但-3＜-2，选项B错误；若，不一定有a＜b，如，当2＞-3，选项C错误；若，则，即a＜b，选项D正确．故选：D．分别举例说明选项A，B，C错误；利用基本不等式的性质说明D正确．本题考查了命题的真假判断与应用，考查了不等式的性质，是基础题．13.【答案】A【解析】解：命题乙为“|x-1|＜2“，解得：-1＜x＜3．又命题甲为|“0＜x＜3”，那么甲是乙的充分不必要条件．故选：A．化简命题乙，即可判断出甲乙的关系．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】C【解析】解：全集U=R，A={x|x（x+3）＜0}={x|-3＜x＜0}，B={x|x＜-1}，∴CUB={x|x≥-1}．∴图中阴影部分表示的集合为：A∩（CUB）={x|-1≤x＜0}=[-1，0）．故选：C．求出CUB，图中阴影部分表示的集合为A∩（CUB），由此能求出结果．本题考查集合的求法，考查补集、交集、维恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】D【解析】解：若a，b∈（0，+∞），且a+b=1，则--=-（a+b）（+）=-（+2++）≤-（+2）=-，当且仅当b=2a=时，上式取得等号，则--的上确界为-．故选：D．由题意可得--=-（a+b）（+）=-（+2++），展开后，运用基本不等式可得所求值．本题考查新定义的理解和运用，考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和等号成立的条件，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】[-3，2）【解析】解：由不等式组可化为．（1）当时，上述不等式组可化为，解集为{x|}，不满足原不等式组的整数解的集合为{-2}，故应舍去；（2）当时，上述不等式组可化为，作出数轴：可知必须且只需当-2＜-k≤3时，即-3≤k＜2，原不等式组的整数解的集合为{-2}．故k的取值范围是[-3，2）．先分别解出一元二次不等式，再对k分类讨论并画出数轴即可得出答案．熟练掌握一元二次不等式的解法、分类讨论和数形结合的思想方法是解题的关键．17.【答案】解：（1）∵集合={x|x2+x-2≥0}={x|x≥1或x≤-2}，B={x||3x+4|＜5，x∈R}={x|-3}．∴A∪B={x|x≥1或x＜}．（2）∁RA={x|-2＜x＜1}，∁RB={x|x≤-3或x≥}，∴∁RA∩∁RB={x|}．【解析】（1）先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．（2）分别求出∁RA，∁RB，由此能求出∁RA∩∁RB．本题考查交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：（1）a=3时，即，化简得∴集合，根据分式不等式的解法，解得-1＜x＜3由此可得，集合P=（-1，3）．（2）Q={x||x+2|＜3}={x|-3＜x+2＜3}={x|-5＜x＜1}可得Q=（-5，1）∵a＞0，∴P={}=（-1，a），又∵P∪Q=Q，得P⊆Q，∴（-1，a）⊆（-5，1），由此可得0＜a≤1即正数a的取值范围是（0，1]．【解析】（1）当a=3时，分式不等式可化为，结合分式不等式解法的结论，即可得到解集P；（2）由含有绝对值不等式的解法，得Q=（-5，1）．根据a是正数，得集合P═（-1，a），并且集合P是Q的子集，由此建立不等式关系，即可得到正数a的取值范围．本题给出分式不等式和含有绝对值的不等式，求两个解集并讨论它们的包含关系，着重考查了分式不等式的解法、含有绝对值的不等式的解法和集合包含关系的运算等知识，属于基础题．19.【答案】解：设新电价为x元/千瓦时（0.55≤x≤0.75），则新增用电量为千瓦时．依题意，有，即（x-0.2）（x-0.3）≥0.6（x-0.4），整理，得x2-1.1x+0.3≥0，解此不等式，得x≥0.6或x≤0.5，又0.55≤x≤0