上海市闵行七校2020届高三数学上学期期中试题（含解析）

上海市闵行七校2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.已知角的终边经过点(,6)Px，且3tan4，则x的值为_________【答案】8【解析】【分析】直接利用三角函数定义得到答案.【详解】角的终边经过点(,6)Px，63tan84xx故答案为：8【点睛】本题考查了三角函数的定义，属于简单题.2.函数24xyx的定义域为_________【答案】[2,0)(0,2]【解析】【分析】定义域满足2400xx，计算得答案.【详解】函数24xyx的定义域满足2400xx解得22x且0x故答案为：[2,0)(0,2]【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.3.已知幂函数()fx存在反函数，且反函数1()fx过点(2,4)，则()fx的解析式是_________【答案】()fxx【解析】【分析】根据反函数性质得到函数()fx过点(4,2)，代入幂函数得到答案.【详解】反函数1()fx过点(2,4)，则函数()fx过点(4,2)设幂函数()afxx=代入点(4,2)得到12a，解析式为()fxx故答案为：()fxx【点睛】本题考查了函数的解析式，待定系数法是常用的方法，需要熟练掌握.4.3(1)nx展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x的系数为_________【答案】56【解析】【分析】通过二项式系数和计算得到8n，再利用二项式定理展开得到答案.【详解】3(1)nx展开式的二项式系数之和为25682nn33188()(1)rrrrrrTCxCx，当3r=时，3348(1)56TCxx故答案为：56【点睛】本题考查了二项式定理，混淆二项式系数和系数是容易发生的错误.5.已知3cos()63，则5cos()6_________【答案】【解析】试题分析：因为，3cos()63，所以，5cos()cos[()]cos()666=。考点：本题主要考查三角函数诱导公式。点评：简单题，注意观察角之间的关系，灵活选用公式。6.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且△ABC的面积为2223()4acb，则B_________【答案】3【解析】【分析】利用余弦定理得到2222cosacbacB，代入面积公式化简得到tan3B，得到答案.【详解】根据余弦定理得到2222cosacbacB222331()cossintan34223SacbacBacBBB故答案为：3【点睛】本题考查了面积公式，余弦定理，意在考查学生对于面积公式，余弦定理的灵活运用.7.若133()sin5fxaxbxcx，已知(7)17f，则(7)f_________【答案】27【解析】【分析】构造函数133()singxaxbxcx，判断为奇函数，代入数据利用奇函数性质得到答案.【详解】133()sin5fxaxbxcx，设133()singxaxbxcx，则133()sin()gxaxbxcxgx，()gx为奇函数(7)(7)517(7)22fgg(7)(7)522527fg故答案为：27【点睛】本题考查了函数值的计算，构造133()singxaxbxcx，利用函数的奇偶性性质是解题的关键.8.设A、B是非空集合，定义：{|ABxxABU且}xABI，已知{|2}2xAxx，{|3}Bxx，则AB_________【答案】(,4)(3,2]U【解析】【分析】先计算集合A，再根据定义得到答案.【详解】{|2}42xAxxxx或2}x，{|3}Bxx{|ABxxABU且}4xABxx或32x故答案为：(,4)(3,2]U【点睛】本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的理解能力和解决问题的能力.9.已知函数2()fxx，()1gxx，若任意xR，()()fxbgx都成立，则实数b的取值范围是_________【答案】(0,4)【解析】【分析】化简不等式得到20xbxb恒成立，再计算240bb得到答案.【详解】函数2()fxx，()1gxx，()()fxbgx即2(1)xbx20xbxb恒成立，240bb解得04b故答案为：(0,4)【点睛】本题考查了恒成立问题，转化为二次函数与x轴的交点问题是解题的关键.10.若将5名学生分配到4个不同的社团，且每个社团至少有一名学生，则共有分配方法_________种【答案】240【解析】【分析】利用捆绑法计算得到答案.【详解】将5名学生分配到4个不同的社团，且每个社团至少有一名学生，则共有分配方法共有：2454240CA故答案为：240【点睛】本题考查了排列组合中的捆绑法，熟练掌握排列组合中的常规方法是解题的关键.11.设()fx是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有(2)(2)fxfx，且当[2,0]x时，1()()12xfx，若函数()()log(2)agxfxx（1a）在区间(2,6]恰有3个不同的零点，则a的取值范围是_________【答案】3(4,2)【解析】【分析】先判断函数为周期是4的周期函数，再根据偶函数画出函数在(2,6]上的图像，根据图像得到log43,log83aa，计算得到答案.【详解】对于任意的xR,都有(2)(2)fxfx，函数()fx是一个周期函数，且4T当[2,0]x时，1()()12xfx，且函数()fx是定义在R上的偶函数故函数()fx在区间(2,6]上的图象如下图所示:若在区间(2,6]内关于x的方程()()log(2)agxfxx恰有3个不同的实数解，即()yfx与log(2)ayx恰有3个不同的交点，由图像可得：log43,log83aa，解得:342a故答案为：3(4,2)【点睛】本题考查了函数的零点问题，转化是函数的交点是解题的关键，综合考查了函数的奇偶性，周期性，函数图像，意在考查学生的综合应用能力.12.如果函数()|lg|31||fxx在定义域的某个子区间(1,1)kk上不存在反函数，则k的取值范围是_________【答案】245(1,][,)333U【解析】【分析】画出函数图像，根据图像得到不等式1013k或12133k，计算得到答案.【详解】如图所示：画出函数()|lg|31||fxx的图像.函数()|lg|31||fxx在定义域的某个子区间(1,1)kk上不存在反函数则满足：1013k或12133k解得：245(1,][,)333k故答案为：245(1,][,)333U【点睛】本题考查了反函数的相关问题，画出图像是是解题的关键，直观简洁.二.选择题13.“(5)0xx成立”是“14x成立”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵x(x－5)0⇒0x5，|x－1|4⇒－3x5，∴“x(x－5)0成立”⇒“|x－1|4成立”，反之，则不一定成立，∴“x(x－5)0成立”是“|x－1|4成立”的充分而不必要条件．故选A.14.已知,abR，则命题“若220ab，则0a且0b”的否命题是（）A.若220ab，则a、b都不为0B.若220ab，则a、b不都为0C.若220ab，则0a且0b≠D.若220ab，则0a且0b【答案】B【解析】【分析】直接利用否命题的定义得到答案.【详解】“若220ab，则0a且0b”的否命题是：若220ab，则a、b不都为0故选：B【点睛】本题考查了命题的否命题，意在考查学生的推断能力.15.若函数()(1)(0xxfxkaaa且1a）在R上既是奇函数,又是减函数,则()log()agxxk的图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数g(x)的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像.【详解】∵函数()(1)xxfxkaa(a0,a≠1)在R上是奇函数，∴f(0)=0，∴k=2，经检验k=2满足题意，又函数为减函数，所以01a，所以g(x)=loga(x+2)定义域为x−2，且单调递减，故选：A.【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数()(0)SSaa是图中阴影部分介于平行线0y及ya之间的那一部分的面积，则函数()Sa的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先观察原图形面积増长的速度，然后根据増长的速度在图形上反映出切线的斜率进行判定即可.【详解】根据图象可知在0,1上面积增长的速度变慢，在图形上反映出切线的斜率在变小，可排除,AB；在1,2上面积增长速度恒定，在2,3上面积增长速度恒定，而在1,2上面积增长速度大于在2,3上面积增长速度，可排除D,故选C.【点睛】本题主要考査了函数的图象意义与实际应用，同时考査了识图能力以及分析问题和解决问题的能力，属于基础题.三.解答题17.若集合2{|log(2)2,0aAxxxa且1}a.（1）若2a，求集合A；（2）若22nnCaP（*nN），求集合A.【答案】（1）(,2)(3,)（2）110110(,1)(2,)22U【解析】【分析】（1）根据函数的定义域和单调性满足222024xxxx，计算得到答案.（2）先计算12a，再根据题意解不等式2220124xxxx计算得到答案.【详解】（1）2a则22222log(2)2log(2)log4Axxxxxx满足：222024xxxx解得：3x或2x，即2Axx或3x集合A为(,2)(3,)（2）22!1(2)!2!!2(2)!nnnCnanPn，211221log(2)log4xx满足2220124xxxx解得：110110(,1)(2,)22xU集合A为110110(,1)(2,)22U【点睛】本题考查了集合的化简与对数不等式，考查了组合数与排列数的运算公式，其中解对数不等式时忽略掉定义域是容易发生的错误.18.已知函数2()2sincos23sin3444xxxfx.（1）求函数()fx的最小正周期及最值；（2）令()()gxfxa，其中0a，若()gx为偶函数，求a的最小值.【答案】（1）4T，最小值为2，最大值为2（2）53【解析】【分析】（1）化简得到()2sin()23xfx计算得到答案.（2）先得到()2sin()232xagx，函数为偶函数得到23ak，计算得到答案.【详解】（1）2()2sincos23sin3sin3(1cos)344422xxxxxfxsin3cos2sin()2223xxx最小正周期为2412T，最小值为-2，最大值为2（2）()()2sin()2sin()23232xaxagxfxa为偶函数则2(0)3223akaka，当1k时，a有最小值为53【点睛】本题考查了三角函数周期，最值，奇偶性，意在考查学生对于三角函数性质和三角恒等变换的灵活运用.19.围