上海市金山中学2018-2019学年高二数学5月月考试题（含解析）

上海市金山中学2018-2019学年高二数学5月月考试题（含解析）一、填空题（本大题共12小题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.已知i为虚数单位，若复数12aii是纯虚数，则实数a______.【答案】2【解析】【分析】利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出．【详解】∵复数（1+ai）（2+i）＝2﹣a+（1+2a）i是纯虚数，∴20120aa，解得a＝2．故答案为：2．【点睛】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义是解题的关键，本题属于基础题．2.椭圆5cos4sinxy（为参数）的焦距为______.【答案】6【解析】【分析】消参求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距．【详解】将5cos4sinxy变形为cos5sin4xy，平方相加消去参数θ可得：2212516xy，所以，c25163，所以，焦距为2c＝6．故答案为6．【点睛】本题考查椭圆的参数方程，考查椭圆的性质，正确转化为普通方程是关键．3.以椭圆2212xy的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是______.【答案】221xy【解析】【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点和顶点坐标，得出双曲线的顶点和焦点，从而求出双曲线的方程．【详解】椭圆2212xy的焦点为F（±1，0），顶点为（±2，0）；则双曲线的顶点为（±1，0），焦点为（±2，0），∴a＝1，c＝2，∴b2221ca1，∴双曲线的方程为221xy，故答案为：221xy．【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，是基础题．4.某圆锥体的侧面图是圆心角为23的扇形，当侧面积是27时，则该圆锥体的体积是______.【答案】182【解析】【分析】由圆锥体侧面展开图的半径是圆锥的母线长，展开图的弧长是底面圆的周长，可以求出圆锥的母线和底面圆半径，从而得出高和体积．【详解】设圆锥的侧面展开图扇形的半径为l，则侧面展开图扇形的面积S12 23l2＝27π；∴l＝9．又设圆锥的底面圆半径为r，则2πr＝23l，∴r13l＝3；∴圆锥的高h2281962lr；∴该圆锥体的体积是：V圆锥13•πr2•h13•π•9•62182．故答案为：182．【点睛】本题考查圆锥的体积公式，考查了空间想象能力，计算能力，关键是弄清楚侧面展开图与圆锥体的关系,属于基础题．5.已知实数x、y满足11yxxyy，则目标函数2zxy的最大值为______.【答案】5【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中(1,1),(2,1),(1,0)ABC，直线2zxy过点C时取最大值1.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6.已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的体积相等，则它们的表面积之比:SS圆柱球______.（用数值作答）【答案】76【解析】【分析】由已知中圆柱M与球O的体积相等，可以求出圆柱的高与圆柱底面半径的关系，进而求出圆柱和球的表面积后，即可得到S圆柱：S球的值．【详解】∵设圆柱M的底面圆的半径与球O的半径均为R，M的高为h则球的表面积S球＝4πR2又∵圆柱M与球O的体积相等即2343RhR解得h＝43R，4πR2＝2πR2+2πR•h则S圆柱＝2πR2+2πR•h=2143R，S球24R，∴S圆柱：S球147436：，故答案为：76.【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，其中根据已知求出圆柱的高，是解答本题的关键．7.若虛数1z、2z是实系数一元二次方程20xpxq的两个根，且212zz，则pq______.【答案】1【解析】【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【详解】由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R且b0），又212zz，则222iababa﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴2212232aabaabbb．∴z1＝12+32i，z2＝1322i，（或z2＝12+32i，z1＝1322i）由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1.【点睛】本题考查实系数一元二次方程在复数集的根的问题，考查了两个复数相等的充要条件，属于基础题．8.已知双曲线221xy，1A、2A是它的两个顶点，点P是双曲线上的点，且直线1PA的斜率是12，则直线2PA的斜率为______.【答案】2【解析】【分析】设P（x0，y0），则22001xy，202011yx，由A1（﹣1，0），A2（1，0），知k1k2200020001111yyyxxx，由此能求出直线PA2的斜率．【详解】设P（x0，y0），则22001xy，∴202011yx，∵A1（﹣1，0），A2（1，0），设直线PA1的斜率为k1，直线PA2的斜率为k2，∴k1k2200020001111yyyxxx，∵k11 2，∴k22．故答案为：2．【点睛】本题考查两直线的斜率之积的求法，考查曲线上点的坐标与曲线方程的关系，考查了分析问题的能力，属于基础题．9.已知半径为R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于3R，且经过这三个点的小圆周长为4，则R______.【答案】23【解析】【分析】根据题意，得出AB＝BC＝CA＝R，利用其周长得到正三角形ABC的外接圆半径r，故可以得到高，设D是BC的中点，在△OBC中，又可以得到角以及边与R的关系，在Rt△ABD中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R．【详解】∵球面上三个点，其中任意两点间的球面距离都等于3R，∴∠ABC＝∠BCA＝∠CAB3，∴AB＝BC＝CA＝R，设球心为O，因为正三角形ABC的外径r＝2，故高AD32r＝3，D是BC的中点．在△OBC中，BO＝CO＝R，∠BOC3，所以BC＝BO＝R，BD12BC12R．在Rt△ABD中，AB＝BC＝R，所以由AB2＝BD2+AD2，得R214R2+9，所以R＝23．故答案为：23．【点睛】本题考查了球的基本概念及性质应用，考查了空间想象能力，是基础题．10.关于x的方程21xxm有一个实数解，则实数m的取值范围是______.【答案】m1．【解析】【分析】由题意可得，函数y＝x+1的图象和函数y2mx的图象有一个交点，对函数y2mx的m分类，分别画出y2mx的图象，可求出实数m的取值范围．【详解】∵关于x的方程x+12mx有一个实数解，故直线y＝x+1的图象和函数y2mx的图象有一个交点．在同一坐标系中分别画出函数y＝x+1的图象和函数y2mx的图象．由于函数y2mx，当m=0时，y22mxxx和直线y＝x+1的图象如图：满足有一个交点；当m0时，y2mxy2﹣x2＝m(y0)此双曲线y2﹣x2＝m的渐近线方程为y＝±x，其中y=x与直线y＝x+1平行，双曲线y2﹣x2＝m的顶点坐标为（0，m），如图：只要m0，均满足函数y＝x+1的图象和函数y2mx的图象有一个交点，当m0时，y2mxx2﹣y2＝﹣m(y0)，此双曲线x2﹣y2＝﹣m的渐近线方程为y＝±x，其中y=x与直线y＝x+1平行，而双曲线x2﹣y2＝﹣m的顶点坐标为（m，0），如图：当1m时，满足函数y＝x+1的图象和函数y2mx的图象有一个交点，即当1m0时符合题意；综上： m1，故答案为：m1．【点睛】本题考查的知识点直线和双曲线的位置关系的应用，将问题转化为直线y＝x+1的图象和函数y2mx的图象有一个交点，是解答本题的关键，考查了数形结合思想，属于中档题．11.棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点M、N分别在线段1AB、1BC上运动（不包括线段端点），且AMBN.以下结论：①1AAMN；②若点M、N分别为线段1AB、1BC的中点，则由线MN与1AB确定的平面在正方体1111ABCDABCD上的截面为等边三角形；③四面体MBCN的体积的最大值为124；④直线1DM与直线1AN的夹角为定值.其中正确的结论为______.（填序号）【答案】①②③【解析】【分析】①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，可得四边形MNEF是矩形，可得MN∥FE，利用AA1⊥面AC，可得结论成立；②截面为△AB1C，为等边三角形，故正确．③设=BN1λBC，则MBCNV＝13BCNSdM﹣BCN=11λ1λ624（），故③成立；④设=BN1λBC，当λ接近于0时，直线1MD与直线1NA的夹角接近于3，当λ接近于1时，夹角接近于2，故④不正确；【详解】①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，∵AM＝BN，∴NE＝MF，∴四边形MNEF是矩形，∴MN∥FE，∵AA1⊥面AC，EF⊂面AC，∴AA1⊥EF，∴AA1⊥MN，故①正确；②点M、N分别为线段AB1、BC1的中点，则由线MN与AB1确定的平面在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上的截面为△AB1C，为等边三角形，故②正确．③设=BN1λBC，则MBCNV＝13BCNSdM﹣BCN，又AM=BN=11λBλACB,∴BCNS=1λ2，dM﹣BCN=1λAB1λ，∴MBCNV＝13BCNSdM﹣BCN=11λ1λ624（），当且仅当1λ2时取得最大值，故③成立；④设=BN1λBC，当λ接近于0时，直线1MD与直线1NA的夹角近似于直线1AD和直线1BA的夹角，接近于3，当λ接近于1时，直线1MD与直线1NA的夹角近似于直线11DB和直线11AC的夹角，接近于2，故④不正确；综上可知，正确的结论为①②③故答案为：①②③【点睛】本题考查线面平行、垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12.“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.请解决以下问题：设函数2()(21)2(,,0)fxaxbxaabRa在3,4至少有一个零点，则22ab的最小值为______.【答案】1100【解析】【分析】把等式看成关于a，b的直线方程：（x2﹣1）a+2xb+x﹣2＝0，由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，从而可得222222(1)(2)xabxx，从而可得a2+b222221()51(24)2xxxx；从而解得．【详解】把等式看成关于a，b的直线方程：（x2﹣1）a+2xb+x﹣2＝0，由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，即222222(1)(2)xabxx，所以a2+b222221()51(24)2xxxx，∵x﹣252x在[3，4]是减函数，∴252x﹣252x1+5；即92x﹣252x6；故2115100(24)2xx；当x＝3，a225，b350时取等号，故a2+b2的最小值为1100．故答案为：1100．【点睛】本题考查了函数的零点的应用，把等式看成关于a，b的直线方程（x2﹣1）a+2xb+x﹣2＝0是难点，属于较难题．二、填空题（本大题共有4小题，满分20分