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金山区2019届高三上学期期末质量监控数学试卷一.填空题。1.已知集合，，则___【答案】【解析】【分析】对集合A和集合B取交集即可得到答案.【详解】，,则,故答案为：.【点睛】本题考查集合的交集运算.2.抛物线的准线方程是______【答案】【解析】试题分析：开口向右，所以它的准线方程为x=-1考点：本题考查抛物线的标准方程点评：开口向右的抛物线方程为，准线方程为3.计算：______【答案】【解析】【分析】分子分母同时除以n,计算可得极限.【详解】＝＝故答案为:.【点睛】本题考查型极限问题，解题的关键是合理地选取公式．4.不等式的解集为________【答案】【解析】【分析】根据绝对值的定义去绝对值符号，直接求出不等式的解集即可.【详解】由，得，解得故答案为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化的数学思想和计算能力.5.若复数（为虚数单位），________【答案】【解析】【分析】利用复数的乘法运算将复数化简为a+bi的形式，然后利用复数模的公式计算即可得到答案.【详解】=7+i,则，故答案为:.【点睛】本题考查复数的模的概念和复数的四则运算，属于基础题.6.已知函数，则_______【答案】【解析】【分析】由反函数定义令f（x）＝5，求出x的值即可．【详解】由反函数定义，令，得＝4，则x＝24＝16，∴f﹣1（5）＝16．故答案为：16．【点睛】本题考查反函数的性质与应用问题，是基础题．7.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______【答案】【解析】答案：解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题。8.在的二项展开式中，常数项的值是________（结果用数值表示）【答案】【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，令x的指数为0，计算即可求出展开式的常数项．【详解】展开式的通项为Tr+1＝（﹣1）rC10rx30﹣5r，令30﹣5r＝0得r＝6，所以展开式中的常数项为C106＝210，故答案为：210．【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．9.无穷等比数列各项和的值为2，公比，则首项的取值范围是________【答案】【解析】【分析】由无穷等比数列{an}的各项和为2且，解不等式可得a1范围．【详解】由题意可得，且，则a1＝2（1﹣q），由，可得2＜a1＜4故答案为：.【点睛】本题考查无穷等比数列的各项和,各项和是指当|q|＜1且q≠0时前n项和的极限,是基础题．10.在的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于、两点，则这两个点在球面上的距离是________【答案】【解析】【分析】设球心为O，由二面角的面与球相切的性质可得∠AOB＝60°，又半径为6，由弧长公式可求两切点在球面上的距离．【详解】设球心为O，由球的性质知，OA，OB分别垂直于二面角的两个面，又二面角的平面角为120°，故∠AOB＝60°，∵半径为6的球切两半平面于A，B两点∴两切点在球面上的距离是6×＝2π．故答案为：2π．【点睛】本题考查球面距离及相关计算，解题的关键是根据二面角与球的位置关系得出过两切点的两个半径的夹角以及球面上两点距离的公式，考查空间想像能力，是中档题．11.设函数，则使成立的取值范围是_____【答案】【解析】【分析】由解析式知函数f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则不等式可转为|2x|＜|3x﹣2|，解出即得答案．【详解】函数，∵f（﹣x）＝f（x），故函数为偶函数且在[0，+∞）上单调递增．∵f（2x）＜f（3x﹣2），∴|2x|＜|3x﹣2|，∴（2x）2＜（3x﹣2）2，化为：（x﹣2）（5x﹣2）＞0，解得：x＞2，或x＜．∴使得f（2x）＜f（3x﹣2）成立的x的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的应用以及不等式的解法，考查推理能力与计算能力．12.已知平面向量、满足条件：，，，，若向，且，则的最小值为_______【答案】【解析】【分析】由题意可设＝（cosα，0），＝（0，sinα），＝（x，y），且设，由,求出C点的轨迹方程，结合圆的性质可求最值.【详解】由题意可设＝（cosα，0），＝（0，sinα），＝（x，y），设，∵＝（λcosα，μsinα），∴，α∈（0，），∵，则，即,∴C在以D为圆心，以为半径的圆上，α∈（0，），∴mn＝|OD|﹣＝＝，故答案为:．【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理及向量的坐标表示，平面向量的加法减法的几何意义，平面向量的数乘及几何意义及圆的方程的应用，属于综合题.二.选择题。13.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（）A.或B.C.D.或【答案】D【解析】椭圆的焦点在x轴上∴m2＞2+m，即m2﹣2﹣m＞0解得m＞2或m＜﹣1又∵2+m＞0∴m＞﹣2∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1故答案为：D。14.给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【答案】B【解析】试题分析：直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直；即“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”为假命题；但直线l与平面α垂直时，l与平面α内的每一条直线都垂直，即“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题；故“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要非充分条件；故选B考点：空间中直线与平面之间的位置关系.视频15.欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用欧拉公式和诱导公式进行计算即可得出答案．【详解】e2018i＝cos2018+isin2018，∵2018＝642π+（2018﹣642π），2018﹣642π∈，∴cos2018＝cos（2018﹣642π）＜0．sin2018＝sin（2018﹣642π）＞0，∴e2018i表示的复数在复平面中位于第二象限．故选：B．【点睛】本题考查了欧拉公式、诱导公式以及复数的有关概念，考查推理能力与计算能力，属于基础题．16.已知函数，则方程（）的实数根个数不可能为（）A.5个B.6个C.7个D.8个【答案】A【解析】【分析】以f（x）＝1的特殊情形为突破口，解出x＝1或3或或﹣4，将x+﹣2看作整体，利用换元的思想方法进一步讨论．【详解】∵函数，即f（x）＝，因为当f（x）＝1时，x＝1或3或或﹣4，则当a＝1时，x+﹣2＝1或3或或﹣4，又因为x+﹣2≥0或x+﹣2≤﹣4，所以，当x+﹣2＝﹣4时只有一个x＝﹣2与之对应．其它情况都有2个x值与之对应，故此时所求的方程有7个根，当1＜a＜2时，y＝f（x）与y＝a有4个交点，故有8个根；当a＝2时，y＝f（x）与y＝a有3个交点，故有6个根；综上：不可能有5个根，故选：A．【点睛】本题考查分段函数、函数的零点等知识，属于中档题．三.解答题。17.如图，三棱锥中，底面ABC，M是BC的中点，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为.求：（1）三棱锥的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）2;（2）．【解析】试题分析：（1）欲求三棱锥P-ABC的体积，只需求出底面积和高即可，因为底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面积可用来计算，其中a是正三角形的边长，又因为PA⊥底面ABC，所以三棱锥的高就是PA长，再代入三棱锥的体积公式即可．（2）欲求异面直线所成角，只需平移两条异面直线中的一条，是它们成为相交直线即可，由M为BC中点，可借助三角形的中位线平行于第三边的性质，做出的中位线，就可平移BC，把异面直线所成角转化为平面角，再放入中，求出角即可．试题解析：（1）因为底面，与底面所成的角为所以,因为，所以（2）连接，取的中点，记为，连接，则所以为异面直线与所成的角计算可得：，，异面直线与所成的角为．考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．18.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点.（1）求行列式的值；（2）若函数，求函数的最大值，并指出取得最大值时的值.【答案】（1）（2）时，【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义，结合行列式的运算法则，即可求解；（2）将函数化简，结合三角函数性质即可求解最大值．【详解】（1）角的终边经过点，∴（2）.∴当，即时，【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．19.设函数的反函数为，.（1）若，求的取值范围；（2）在（1）的条件下，设，当时，函数的图像与直线有公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求f﹣1（x），再利用对数函数的单调性转化为关于x的一元不等式组，求解即可．（2）化简函数的解析式，根据函数的单调性可求的值域，从而得到a的取值范围．【详解】（1）不等式为，∴解得，∴（2）.∴.当时，单调递增，∴单调递增，∴，因此当时满足条件【点睛】本题主要考查反函数、函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．20.已知椭圆以坐标原点为中心，焦点在轴上，焦距为2，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）设点，点为曲线上任一点，求点到点距离的最大值；（3）在（2）的条件下，当时，设的面积为（O是坐标原点，Q是曲线C上横坐标为a的点），以为边长的正方形的面积为，若正数满足，问是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）(3)m存在最小值【解析】【分析】（1）根据已知求出a，b，c值，可得椭圆C的方程；（2）设P（x，y），则y2＝2﹣2x2，利用两点间的距离公式可得|PA|2＝（x﹣a）2+y2＝（x﹣a）2+2﹣2x2，转为二次函数求最值问题；（3）由题意分别表示出S1及S2，对不等式S1≤mS2进行变量分离得到，令，通过换元t＝a2+1转为二次函数求最值问题．【详解】（1）由题意知c=1,又过点（1,0）所以b=1,故a=,则椭圆方程为.（2）设，则令，所以当时在[-1，1]上是减函数，；当时，在上是增函数，在上是减函数，则；当时，在上是增函数；所以.（3）当时，，.若正数m满足条件，则，即，，令，设，则，.，所以，当，即时，即，.所以，m存在最小值【另解】由，得，而当且仅当，即，等号成立，∴从而，故m的最小值为【点睛】本题考查椭圆方程的求法，两点间的距离公式以及二次函数求最值问题，其中换元法、分类讨论的思想方法是解题的关键.21.在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，记数列的前项和为，求使得的最小整数；（3）若，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)最小整数m为6(3)【解析】【分析】（1）设数列{an}的公差为d，根据已知条件列出关于首项和公差的方程组，求出首项和公差，即可得到通项公式．（2）由数列落入区间内的个数为，可得到bm＝22m﹣2m，m∈N*，利用等比数列求和公式求得Sm，解不等式，即可得到答案.（3）将不等式变量分离，转为求数列的最值，从而得到λ的范围．【详解】（1）设数列的公差为d，由.得，故数列的通项公式为.（2）对任意，若，则故，令，解得.故所求最小整数m为6；（3）.记，.由知，且从第二项起，递增，即而递减，故实数的范围为.即【点睛】本题考查等差数列的通项公式、等比数列求和公式的应用，考查利用作差法判断单调性并求数列的最值问题，考查运算求解能力，是中档题．