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上海市交大附中2019届高三高考一模试卷数学试题一、选择题(本大题共4小题，共12.0分)1.已知定义域为的函数，则此函数图象上关于原点对称的点有()A.7对B.8对C.9对D.以上都不对【答案】B【解析】【分析】求出函数yx关于原点对称的函数为yx，x＞0，利用数形结合判断当x＞0时，f（x）＝3与yx，x＞0的交点个数即可【详解】当时，，此时关于原点对称的点此时与没有交点，函数关于原点对称的函数为，即，，若函数图象上存在关于原点对称的点，等价为当时，与，的交点个数即可，作出函数在时的图象如图，由图象知，函数分别关于对称，且函数的最大值为，当时，得，即，故当时，与，的交点个数有8个，即函数图象上关于原点对称的点有8对，故选：B．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用对称性转化为两个图象交点个数是解决本题的关键．注意利用数形结合，是中档题2.某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有()A.8桶B.9桶C.10桶D.11桶【答案】B【解析】【分析】主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，所得到的图形【详解】易得第一层有桶，第二层最少有桶，第三层最少有桶，所以至少共有桶。故选【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握读图的方法是解题的关键，主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，属于基础题。3.已知，若，则下列不等式一定成立的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先令a=0,排除A，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B成立【详解】令a=0，则，即-1≤x≤1,≤4,此时A,C,D不成立，下面证明选项B成立=≤≤=≤≤故选：B．【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确推理计算是关键，是基础题．4.若，且，，则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】如图所示：，，，∵，∴点C在劣弧AB上运动，表示C、D两点间的距离。的最大值是，最小值为.故选：D二、填空题(本大题共12小题，共36.0分)5.已知集合，集合，则_____．【答案】【解析】6.若复数，其中是虚数单位，则______．【答案】25【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数模的公式计算得答案．【详解】由，得，则．故答案为：25．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数模的求法，是基础题．7.函数，则______．【答案】0【解析】【分析】先根据函数的解析式求出f（﹣1）的值，再求出f[f（﹣1）]即可【详解】所以故答案为0【点睛】本题考查求分段函数的值，关键是判断出自变量所属的范围，然后将自变量的值代入相应段的解析式求出值．8.已知，则__________．【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数关系式，求得的值.【详解】根据同角三角函数关系式得.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题，要注意有两个解.9.已知数列的前项和为，则数列的通项公式______．【答案】【解析】【分析】由，当n＝1时，a1＝S1＝3．当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，即可得出．【详解】当，且时，，又，满足此通项公式，则数列的通项公式．故答案为：【点睛】本题考查求数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，注意检验n=1是否符合，属于中档题．10.已知实数满足约束条件，则目标函数的取值范围为_____．【答案】【解析】先作可行域，如图三角形ABC及其内部，则直线过点A(2,0)取最大值6，过点B(0,1)取最小值1，所以取值范围为点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.11.已知函数，若其图象关于直线对称，则直线的倾斜角______．【答案】【解析】【分析】化简函数y＝asin2x+bcos2x为一个角的函数形式，利用x是函数y＝asin2x+bcos2x图象的一条对称轴，求出a，b的值，然后求直线l的斜率与倾斜角．【详解】∵函数(不全为0)的图象关于直线对称，设，，∴，当时，，∴，不妨取时，得；∴，，解得，；∴直线：可化为：，它的斜率为，∴倾斜角是；故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数性质，两角和的正弦公式，直线倾斜角，熟记三角函数性质及公式是关键，是综合题目．12.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表看，六根等长的正四棱分成三组，榫卯起来如图，若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】有题意可知：该球形容器得半径最小值为，所以表面积最小值为点睛：本题主要考察空间几何体，而柱体的外接球球心即为体对角线的中点位置13.已知，且，那么展开式中的常数项为______．【答案】-20【解析】【分析】由题意令x＝1，可得n＝6，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．【详解】∵已知，且，∴令，可得，∴，那么的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为，故答案为：﹣20．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键，属于基础题．14.已知正实数满足，则的最小值为______．【答案】55【解析】【分析】由题可得y0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y＝3x+y+42＝3x42＝331，再利用基本不等式的性质即可得出．【详解】∵正实数满足，∴，，解得．则，当且仅当时取等号．∴的最小值为55．故答案为：55．【点睛】本题考查了基本不等式的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.已知等边的边长为2，点在线段上，若满足等式的点有两个，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则，AC：由得，16.过直线上任意点向圆作两条切线，切点分别为，线段AB的中点为，则点到直线的距离的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】设P（t，2﹣t），可得过O、A、P、B的圆的方程与已知圆的方程相减可得AB的方程，进而联立直线方程解方程组可得中点Q的坐标，由点Q到直线的距离公式和不等式的性质可得．【详解】∵点为直线上的任意一点，∴可设，则过的圆的方程为，化简可得，与已知圆的方程相减可得的方程为，由直线的方程为，联立两直线方程可解得，，故线段的中点，∴点到直线的距离，∵，∴，∴，∴，∴，即故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的相交弦和点到直线的距离公式，以及不等式求函数的值域，属中档题．三、解答题(本大题共5小题，共60.0分)17.在中，分别为角的对边，已知（I）求角的值；（II）若，求得取值范围.【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）由，得，解得，得到结果；（2）由余弦定理易得：，即，又，从而得到又因为，求得结果.试题解析：（I）由，得，即，解得.因为，所以.（II），，又因为，所以点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18.在如图所示的组合体中，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不与重合的一个点．(Ⅰ)若圆柱的轴截面是正方形，当点是弧的中点时，求异面直线与的所成角的大小；(Ⅱ)当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）连接，则，直线与的所成角等于直线与所成角，在△中，利用余弦定理求，即可求解（2）分别求和，再求比值即可【详解】（1）连接，则，直线与的所成角等于直线与所成角，设圆柱的底面半径为，即，，在△中，，又所以直线与所成角的大小等于.（2）设圆柱的底面半径为，母线长度为，当点是弧的中点时，，且平面，，，∴.【点睛】本题主要考查异面直线所成角，圆柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．19.一个创业青年租用一块边长为4百米的等边田地如图养蜂、产蜜与售蜜,田地内拟修建笔直小路MN，AP，其中M，N分别为AC，BC的中点，点P在CN上，规划在小路MN与AP的交点O(O与M、N不重合处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A，N为出入口小路的宽度不计为节约资金，小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米5万元，小路ON段的建造费用为每百米4万元．（Ⅰ）若拟修的小路AO段长为百米，求小路ON段的建造费用；（Ⅱ）设,求的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．【答案】（Ⅰ）4万元；（Ⅱ），小路AO段与ON段的建造总费用最小为万元.【解析】【分析】（Ⅰ）在中用余弦定理计算的长度，故可得的长度后即得段的建筑费用.（Ⅱ）在中用正弦定理计算的长度后得到，令，将其变形为，利用辅助角公式可得，从而得到，验证等号成立后可得何时取最小值.【详解】（Ⅰ）在中，，即，故或（舎去），故，所以段的建筑费用为万元.（Ⅱ）由正弦定理得：在中，，故，，设小路和段的建造总费用为，则，令，且，，即.由，得，故，即或（舍去）.当时，，故，其中，故由，符合题意.答：，小路AO段与ON段的建造总费用最小为万元.【点睛】把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.求形如的函数最值，可将该函数转化为形如的方程，利用得到的取值范围，验证等号能成立后可得函数的最值.20.过抛物线(其中)的焦点的直线交抛物线于两点，且两点的纵坐标之积为．(1)求抛物线的方程；(2)当时，求的值；(3)对于轴上给定的点(其中)，若过点和两点的直线交抛物线的准线点，求证：直线与轴交于一定点．【答案】（1）；（2）1；（3）见解析.【解析】【分析】（1）设直线AB的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理，可得p＝4，即得抛物线方程；（2）推理证明=，整理即可得到所求值；（3）设A（，y1），B（，y2），P（﹣2，s），运用三点共线的条件：斜率相等，可得s，设AP交x轴上的点为（t，0），运用韦达定理，化简整理可得所求定点．【详解】(1)过抛物线(其中)的焦点的直线为，代入抛物线方程，可得，可设，即有，解得，可得抛物线的方程为；(2)由直线过抛物线的焦点，由（1）可得，将代入可得；(3)证明：设，，，由三点共线可得，可得，①设交轴上的点为，即有，代入①，结合，可得，即有，可得．即有直线与轴交于一定点．【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，抛物线定义，韦达定理的应用，考查化简运算能力，属于难题．21.已知数列{an}为等比数列，公比为为数列{an}的前n项和.（1）若求;（2）若调换的顺序后能构成一个等差数列，求的所有可能值；（3）是否存在正常数，使得对任意正整数n，不等式总成立？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）17（2）（3）【解析】试题分析：（1）先根据条件求公比，再利用等比数列求和公式求比值（2）分类讨论三个数成等差情况，依次求出对应公比（3）化简不等式得，代入n=1得，代入n=2得，再由，得试题解析：解：（1）因为所以，所以或（舍去）．所以（2）若或成等差数列，则，解得或1（舍去）；若或成等差数列，则，解得或1（舍去）；若成等差数列，则，解得（舍去）.综上，（3）由，可得，故等