上海市嘉定区2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）

上海市嘉定区2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，1-6题每题4分，7-12题每题5分1.椭圆2213xy的焦点坐标是__________.【答案】2,0【解析】【分析】从椭圆方程中得出a、b的值，可得出c的值，可得出椭圆的焦点坐标.【详解】由题意可得3a，1b，22312cab，因此，椭圆2213xy的焦点坐标是2,0，故答案为：2,0.【点睛】本题考查椭圆焦点坐标的求解，解题时要从椭圆的标准方程中得出a、b、c的值，同时也要确定焦点的位置，考查计算能力，属于基础题.2.若复数z满足12zi，则z的实部是_________.【答案】1【解析】【分析】由12zi得出21iz，再利用复数的除法法则得出z的一般形式，可得出复数z的实部.【详解】12ziQ，2121211112iiziiii，因此，复数z的实部为1，故答案为：1.【点睛】本题考查复数的概念，同时也考查了复数的除法，解题时要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.3.球的表面积是其大圆面积的________倍．【答案】4【解析】【分析】设球的半径为R，可得出球的表面积和球的大圆面积，从而可得出结果.【详解】设球的半径为R，则球的表面积为24R，球的大圆面积为2R，因此，球的表面积是其大圆面积的4倍，故答案为：4.【点睛】本题考查球的表面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.棱长为2的正四面体的高为__________.【答案】233【解析】【分析】利用正弦定理计算出正四面体底面三角形的外接圆半径r，再利用公式22hr可得出正四面体的高.【详解】设正四面体底面三角形的外接圆的半径为r，由正弦定理得222622sin6033ro，63r，因此，正四面体的高为226232233hr，故答案为：233.【点睛】本题考查正四面体高的计算，解题时要充分分析几何体的结构，结合勾股定理进行计算，考查空间想象能力，属于中等题.5.展开二项式61xx，其常数项为_________.【答案】20【解析】【分析】利用二项展开式通项，令x的指数为零，求出参数的值，再代入通项可得出二项式61xx展开式的常数项.【详解】二项式61xx展开式的通项为6621661kkkkkkTCxCxx，令620k，得3k.所以，二项式61xx展开式的常数项为3620C，故答案为：20.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的计算，解题时要充分利用二项式展开式通项，利用x的指数来求解，考查运算求解能力，属于基础题.6.从0、1、2、3、4中取3个不同的数组成一个三位数，且这个数大于200，共有_____不同的可能．【答案】36【解析】【分析】由题意得知，三位数首位为2、3、4中的某个数，十位和个位数没有限制，然后利用分步计数原理可得出结果.【详解】由于三位数比200大，则三位数首位为2、3、4中的某个数，十位数和个位数没有限制，因此，符合条件的三位数的个数为123431236CA，故答案为：36.【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查分步计数原理的应用，本题考查数字的排列问题，解题时要弄清楚首位和零的排列，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7.圆锥的母线长是3，高是2，则其侧面积是________.【答案】3【解析】【分析】计算出圆锥底面圆的半径，然后利用圆锥的侧面积公式可计算出圆锥的侧面积.【详解】由题意知，圆锥的底面半径为22321r，因此，圆锥的侧面积为133S，故答案为：3.【点睛】本题考查圆锥的侧面积，解题的关键就是要求出圆锥的母线长和底面圆的半径，利用圆锥的侧面积公式进行计算，考查计算能力，属于中等题.8.双曲线22213xyb的虚轴长为2，其渐近线夹角为__________.【答案】60°．【解析】【分析】计算出b的值，得出渐近线的斜率，得出两渐近线的倾斜角，从而可得出两渐近线的夹角.【详解】由题意知，双曲线22213xyb的虚轴长为22b，得1b，所以，双曲线的渐近线方程为33yx，两条渐近线的倾斜角分别为30、150，因此，两渐近线的夹角为60，故答案为：60.【点睛】本题考查双曲线渐近线的夹角，解题的关键就是求出渐近线方程，根据渐近线的倾斜角来求解，考查运算求解能力，属于基础题.9.在空间直角坐标系中，某个大小为锐角的二面角的两个半平面的法向量分别为1,2,3和2,3,1，则该二面角的大小为________（结果用反三角函数表示）．【答案】1arccos14【解析】【分析】设锐二面角的大小为，利用空间向量法求出cos的值，从而可求出的值.【详解】设锐二面角的大小为，则2222221,2,32,3,11cos14123231，1arccos14，故答案为：1arccos14.【点睛】本题考查利用空间向量法计算二面角，同时也考查了反三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题.10.现有颜色为红、黄、蓝的小球各三个，相同颜色的小球依次编号1、2、3，从中任取3个小球，颜色编号均不相同的情况有___________种．【答案】6【解析】【分析】设红色的三个球分别为1A、2A、3A，黄色的三个球分别为1B、2B、3B，蓝色的三个球分别为1C、2C、3C，列出所有符合条件的选法组合，可得出结果.【详解】设红色的三个球分别为1A、2A、3A，黄色的三个球分别为1B、2B、3B，蓝色的三个球分别为1C、2C、3C，现从中任取3个小球，颜色编号均不相同的情况有：123,,ABC、132,,ABC、213,,ABC、231,,ABC、312,,ABC、321,,ABC，因此，从中任取3个小球，颜色编号均不相同的情况有6种，故答案为：6.【点睛】本题考查分类计数原理的应用，在求解排列组合问题时，若符合条件的基本事件数较少时，可采用列举法求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.11.已知点,Pst，,Quv，2st，221uv，复数1z、2z在复平面内分别对应点P、Q，若12zzz，则z的最大值是__________.【答案】3【解析】【分析】由题意可知，点P在曲线2xy内，点Q在圆221xy上，利用三角不等式得出z1212zzzzOPOQ，可求出z的最大值.【详解】由题意知，点P在曲线2xy内，点Q在圆221xy上，如下图所示：由三角不等式得12121213zzzzzOPOQOP，当点P为正方形的顶点，且点OP、OQ方向相反时，z取最大值3，故答案为：3.【点睛】本题考查复数模的最值，解题时充分利用三角不等式与数形结合思想进行求解，能简化计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.12.已知点O在二面角AB的棱上，点P在半平面内，且12POB，若对于半平面内异于O的任意一点Q，都有12POQ，则二面角AB大小的取值的集合为__________.【答案】90o【解析】【分析】画出图形，利用斜线与平面内直线所成的角中，斜线与它的射影所成的角是最小的，判断二面角的大小即可.【详解】如下图所示，过点P在平面内作PCAB，垂直为点C，点O在二面角AB的棱上，点P在平面内，且12POB，若对于平面内异于点O的任意一点Q，都有12POQ.因为斜线与平面内直线所成角中，斜线与它的射影所成的角是最小的，即POB是直线PO与平面所成的角，PC平面，PC平面，所以，平面平面，所以，二面角AB的大小是90.故答案为：90o.【点睛】本题考查二面角平面角的求解，以及直线与平面所成角的定义，考查转化与化归思想和空间想象能力，属于中等题.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题选对得5分13.“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”是以我国哪位数学家命名的数学原理（）A.杨辉B.刘微C.祖暅D.李淳风【答案】C【解析】【分析】由题意可得求不规则几何体的体积的求法，即运用祖暅原理.【详解】“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”的意思是“夹在两平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果两个截面面积仍然相等，那么这两个几何体的体积相等”，这就是以我国数学家祖暅命名的数学原理，故选：C.【点睛】本题考查祖暅原理的理解，考查空间几何体体积的求法，考查对概念的理解，属于基础题.14.已知n，*mN，nm，下面哪一个等式是恒成立的（）A.!!mnnCmB.!()!AmnnnmC.111mmmnnnCCCD.111mmmnnnCCC【答案】B【解析】【分析】利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断.【详解】由组合数的定义可知!!!mnnCmnm，A选项错误；由排列数的定义可知!!mnAnnm，B选项正确；由组合数的性质可知111rrrnnnCCC，则C、D选项均错误.故选：B.【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.15.在复数范围内，多项式241x可以因式分解为（）A.422iixxB.11422xxC.22iixxD.1122xx【答案】A【解析】【分析】将代数式化为222414xxi，然后利用平方差公式可得出结果.【详解】2222241444422iiixxixxxQ，故选：A.【点睛】本题考查复数范围内的因式分解，考查平方差公式的应用，属于基础题.16.已知抛物线22ypx＝（p是正常数）上有两点11,Axy、22,Bxy，焦点F，甲：2124pxx；乙：212yyp；丙：234OAOBp；丁：112FAFBp.以上是“直线AB经过焦点F”的充要条件有几个（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】设直线AB的方程为xmyt，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理验证四个选项结论成立时，实数t的值，可以得出“直线AB经过焦点F”的充要条件的个数.【详解】设直线AB的方程为xmyt，则直线AB交x轴于点,0Tt，且抛物线的焦点F的坐标为,02p.将直线AB的方程与抛物线的方程联立22ypxxmyt，消去x得，2220ypmypt，由韦达定理得122yypm，122yypt.对于甲条件，22222122121222224444yyptyypxxtppp，得2pt，甲条件是“直线AB经过焦点F”的必要不充分条件；对于乙条件，2122yyptp，得2pt，此时，直线AB过抛物线的焦点F，乙条件是“直线AB经过焦点F”的充要条件；对于丙条件，221212324OAOBxxyytptpuuruuur，即223204tptp，解得2pt或32pt，所以，丙条件是“直线AB经过焦点F”的必要不充分条件；对于丁条件，11121111112222ppppFAFBxxmytmyt12122121212222222myytpmyytpppppmytmytmyymtyyt