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2017-2018学年上海市嘉定区高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.是的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】由，得，而得，所以是的必要非充分条件.故选B2.设M和m分别表示函数的最大值和最小值，则M+m的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】函数的最大值和最小值，∴M+m的值为3.若等差数列和等比数列满足，，A.B.C.1D.4【答案】C【解析】【分析】等差数列的公差设为d和等比数列的公比设为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d，q，计算可得所求值．【详解】等差数列的公差设为d和等比数列的公比设为q，由，，可得，可得，，则，故选：C．【点睛】本题考查等差数列、等比数列的通项公式和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.方程有两个负实数解，则的取值范囤为A.B.C.D.前三个都不正确【答案】B【解析】【分析】化简可得或，从而讨论以确定方程的根的个数，从而解得．【详解】，，或，若，则，其在上单调递减，所以,故当时，无解，当时，有一个解，当时，无解；若，则，时，，当时，有两个不同解；当时，有一个解；综上所述，b的取值范围为，故选：B．【点睛】函数的性质问题以及函数零点（方程）问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.计算：______．【答案】【解析】【分析】根据反正弦函数的定义，直接写出的值．【详解】，．故答案为：．【点睛】本题考查了反正弦函数的应用问题，是基础题．6.若数列满足，，，则该数列的通项公式______．【答案】【解析】【分析】判断数列是等比数列，然后求出通项公式．【详解】数列中，，，可得数列是等比数列，等比为3，．故答案为：．【点睛】本题考查等比数列的判断以及通项公式的求法，考查计算能力．7.函数的最小正周期是______．【答案】【解析】【分析】由二倍角的余弦函数公式化简解析式可得，根据三角函数的周期性及其求法即可得解．【详解】．由周期公式可得：．故答案为：【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．8.方程的解为______．【答案】或【解析】【分析】由指数函数的性质得，由此能求出结果．【详解】方程，，或，解得或．故答案为：或．【点睛】本题考查指数方程的解的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数的性质的合理运用．9.已知角的终边经过点,则的值为______【答案】【解析】角的终边经过点,则.答案为：.10.方程的解集是______．【答案】【解析】【分析】把，等价转化为，由此能求出x即可．【详解】方程，可得，或（舍），．故答案为：．【点睛】本题考查三角方程的求法，注意余弦函数的值域，考查转化思想以及计算能力．11.若函数与函数的最小正周期相同，则实数______．【答案】【解析】【分析】求出两个函数的周期，利用周期相等，推出a的值．【详解】：函数的周期是；函数的最小正周期是：；因为周期相同，所以，解得故答案为：【点睛】本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，考查计算能力．12.在平行四边形中，已知，，，则该平行四边形的面积等于______．【答案】【解析】【分析】由已知利用余弦定理可求BC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】，，，在三角形ABC中用余弦定理：，可得：，解得：，面积．故答案为：．【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于基础题．13.已知数列的前项和，则该等差数列的通项公式______．【答案】【解析】【分析】由时，时，即可得解.【详解】，时，．时，，对于上式也成立．．故答案为：．【点睛】给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求.应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.．14.已知等差数列，对于函数满足：，，是该等差数列的前项和，则______．【答案】6054【解析】【分析】由函数的解析式，利用函数奇偶性及单调性的性质，易判断函数的定义在R上的增函数、奇函数，则根据，，我们易求出的值，然后结合等差数列的性质“当时，”，及等差数列前n项和公式，易得到答案．【详解】由函数为奇函数且在R上单调递增，，，，即，又为等差数列，．故答案为：6054【点睛】本题考查的知识点是等差数列的性质，等差数列的前n项和，其中利用等差数列的性质“当时，”，是解答本题的关键．15.函数的值域是______．【答案】【解析】【分析】由，得，令，把原函数转化为关于的三角函数求解．【详解】：由，得．令，则函数化为．，，则故答案为：【点睛】本题考查利用换元法求函数的值域，考查三角函数最值的求法，是中档题，求函数值域的基本方法：①观察法；②利用常见函数的值域，一次函数的值域为，反比例函数的值域为，指数函数的值域为，对数函数的值域为，正、余弦函数的值域为，正切函数的值域为；③分离常数法；④换元法；⑤配方法；⑥数形结合法；⑦单调性法；⑧基本不等式法；⑨判别式法；⑩有界性法，充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．．16.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的、，有的最小值为，则______．【答案】或【解析】【分析】先求解的解析式，根据可知一个取得最大值一个是最小值，不妨设取得最大值，取得最小值，结合三角函数的性质的最小值为，即可求解的值；【详解】由函数的图象向右平移，可得不妨设取得最大值，取得最小值，，，．可得的最小值为，即．得或故答案为：或．【点睛】本题主要考查由函数的解析式，函数的图象变换规律，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）17.已知等差数列的首项为1，公差不为若，，成等比数列，求数列的通项公式及其前项的和．【答案】见解析.【解析】【分析】利用等差数列通项公式和等比数列性质列方程组，求出公差，由此能求出数列的通项公式和前n项的和．【详解】等差数列的首项为1，公差不为，，成等比数列，，解得，数列的通项公式，前n项的和．【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.已知.若，且，求的值；求函数的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据两角和差的余弦公式进行计算即可利用一元二次函数的性质利用配方法进行转化求解即可．【详解】若，且，则，则，则．函数，，当时，函数取得最小值，最小值为．【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的余弦公式以及转化一元二次函数求最值是解决本题的关键．19.已知函数，其中．若函数在区间内有一个零点，求的取值范围；若函数在区间上的最大值与最小值之差为2，且，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据对数函数的性质求出，由x的范围，求出m的范围即可；根据函数的单调性求出最大，最小，作差求出，得到关于m的不等式，解出即可．【详解】由，得，由得：，故m的范围是；在递增，，，，，由，得，，解得：．【点睛】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查转化思想，是一道中档题．20.如图，某广场中间有一块扇形绿地，其中为扇形所在圆的圆心，半径为，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧上选一点，过修建与平行的小路，与平行的小路，设．当时，求；当取何值时，才能使得修建的道路与的总长最大？并求出的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】由正弦定理得，由此能求出CD．由正弦定理得，，从而，，由此能求出结果．【详解】（1）某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形OAB所在圆的圆心，半径为r，．广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，设，当时，由正弦定理得：，，．在中，由正弦定理得：，，，同理，，，，，，，当时，即时，．【点睛】本题考查三角形边长的求法，两线段和的最大值的求法，考查正弦定理、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.若函数满足且，则称函数为“函数”．试判断是否为“函数”，并说明理由；函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间；在条件下，当时，关于的方程为常数有解，记该方程所有解的和为，求．【答案】（1）不是“M函数”；（2），；（3）.【解析】【分析】由不满足，得不是“M函数”，可得函数的周期，，当时，当时，在上的单调递增区间：，由可得函数在上的图象，根据图象可得：当或1时，为常数有2个解，其和为当时，为常数有3个解，其和为．当时，为常数有4个解，其和为即可得当时，记关于x的方程为常数所有解的和为，【详解】不是“M函数”．，，不是“M函数”．函数满足，函数的周期，，当时，当时，，在上的单调递增区间：，；由可得函数在上的图象为：当或1时，为常数有2个解，其和为.当时，为常数有3个解，其和为．当时，为常数有4个解，其和为当时，记关于x的方程为常数所有解的和为，则．【点睛】本题考查了三角函数的图象、性质，考查了三角恒等变形，及三角函数型方程问题，属于难题．