搜索
上海市2018-2019学年度华师大二附中高二下学期3月月考试卷数学一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.对于实系数一元二次方程，在复数范围内其解是，下列结论中不正确的是（）A.若，则B.若，则且C.一定有D.一定有【答案】D【解析】【分析】实系数方程可从与0的大小关系进行分情况讨论，对选项逐一研究筛选。【详解】选项A、B显然成立；在实数范围内韦达定理得到的选项C的结论，在复数范围内由计算可得，同样也能成立；选项D：复数范围内，故选D【点睛】在复数范围内，实系数方程的判别式时，方程的根可以通过虚数进行表示。2.教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线（）A.平行B.垂直C.相交D.异面【答案】B【解析】分析：由题设条件可知，可以借助投影的概念对及三垂线定理选出正确选项解答：解：由题意，直尺所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线垂直若直尺所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直综上，教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线垂直故选B3.若为非零实数，则以下四个命题都成立：①；②；③若，则；④若，则.则对于任意非零复数，上述命题中仍为真命题的个数为（）个.A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复数的性质，可根据复数的运算性质进行判断。【详解】解：在复数范围内，存在使，命题①错误；②在复数范围内，复数满足，根据运算性质可得到，故成立；③在复数范围内表示的是复数与的模长，模长相等，复数可以不相等。④在复数范围内，由于是非零复数，所以在得两边同时除以可得，故成立。故选B【点睛】实数运算成立的等式，在复数范围内未必成立，不同范围成立条件不一样，注意合理使用。4.（2013•浙江）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）]，恒有PQ1=PQ2，则（）A.平面α与平面β垂直B.平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°C.平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°【答案】A【解析】设P1=fα（P），则根据题意，得点P1是过点P作平面α垂线的垂足∵Q1=fβ[fα（P）]=fβ（P1），∴点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足同理，若P2=fβ（P），得点P2是过点P作平面β垂线的垂足因此Q2=fα[fβ（P）]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足∵对任意的点P，恒有PQ1=PQ2，∴点Q1与Q2重合于同一点由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α与平面β垂直故选：A二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）5.设，则______．【答案】1【解析】【分析】通过运算，将复数转化为形式,即可得解.【详解】解：,所以Imz=1【点睛】本题考查复数的除法运算，复数的虚部的定义，其中正确进行复数的除法运算是解题的关键，是基础题.6.设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=．【答案】﹣2【解析】．【考点定位】考查复数的定义及运算，属容易题。7.若复数满足，则______．【答案】【解析】【分析】设，则，利用复数相等，求出，的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【详解】设，则，则由得，即，则，得，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查复数模长的计算，利用待定系数法，结合复数相等求出复数是解决本题的关键．8.若是实系数方程的一个虚根，且，则．【答案】4【解析】设,则方程的另一个根为,且，由韦达定理直线所以9.已知空间四边形中，，点分别是边和的中点，且，则异面直线和所成角的大小是_________________________；【答案】【解析】【分析】要求异面直线和所成角，先找出与异面直线和平行的两条相交的直线，探寻出异面直线和所成角，进而在三角形中解决角的大小问题【详解】解：取的中点，连接因为，为中点所以，同理：所以，异面直线和所成角即为所成角异面直线和所成角即为或其补角在中，由余弦定理得异面直线和所成角为60°【点睛】异面直线所成角问题，要借助平行关系，找出具体角，然后在三角形中，求出角的大小。10.已知在长方体中，，，，则直线与平面所成角的大小是______．【答案】【解析】【分析】利用面面垂直的性质作出在平面上的垂足，连接得的射影，即得斜线与平面所成的角，进而可得解．【详解】如图，在上底面作于，连接，易知即为与平面所成的角，利用所给数据，求得，，，，故答案为：．【点睛】此题考查了斜线与平面所成的角，难度不大．11.已知点是边长为1的等边三角形所在平面外一点，且，则点到平面的距离是_________________________；【答案】【解析】【分析】由于，所以点在平面的射影为底面等边三角形的重心，设重心为点，所以，，在三角形求解。【详解】解：设等边三角形的重心为点，连接因为且，所以，平面所以，在等边中，在中，。【点睛】点到面的距离常见解决方法是：1.找出点到面的距离对应线段；2.等体积法求解。12.已知直线、与平面、，下列命题：①若平行内的一条直线，则；②若垂直内的两条直线，则；③若，，且，，则；④若，，且，则；⑤若，且，则；⑥若，，，则．其中正确的命题为______（填写所有正确命题的编号）．【答案】⑤⑥【解析】【分析】①，根据直线与平面平行的判定定理知命题错误；②，根据直线与平面垂直的判定定理知命题错误；③，根据平面与平面平行的判定定理知命题错误；④，根据平面与平面垂直的判定定理知命题错误；⑤，由直线与平面平行的性质定理知命题正确；⑥，由平面与平面平行的性质定理知命题正确．【详解】对于①，若平行内的一条直线，则不一定成立，如时，①错误；对于②，若垂直内的两条直线，则不一定成立，如内的这两条直线平行时，②错误；对于③，若，，且，，当时，则由平面与平面平行的判定定理，不能得出，③错误；对于④，若，，且，则由平面与平面垂直的判定定理，不能得出，④错误；对于⑤，若，且，则由直线与平面平行的性质定理，得出，⑤正确；对于⑥，若，，，则由平面与平面平行的性质定理，即可判定，⑥正确．综上，其中正确的命题序号为⑤⑥．故答案为：⑤⑥．【点睛】本题考查了空间中的平行与垂直关系的判定与性质的应用问题，是基础题．13.设集合，其中是复数，若集合中任意两数之积及任意一个数的平方仍是中的元素，则集合___________________；【答案】或【解析】【分析】根据若集合中任意两数之积及任意一个数的平方仍是中的元素，分两种情况讨论，一种两者相乘等于自身的情况，第二种是均不等于自身情况，依次分析。【详解】解：集合中任意两数之积仍是中的元素所以会出现两者相乘等于自身的情况，也有可能均不等于自身情况即其中有一项为或者（1）当时，或若，则或所以，或又因为集合中任意一个数的平方仍是中的元素所以，剩下的一个数必为-1，所以集合当时，则必须又因为集合中任意一个数的平方仍是中的元素则，解得，或，，所以，集合。（2）当时，三个等式相乘则得到所以得到或若，则三者必有一个为0，同（1）可得集合。若，则得到，当时，则可以得到且，则不成立；当时，则，不成立。故集合M为或【点睛】求解这类问题时，要注意逻辑严谨分析，对每一个条件，每一种情况都要力求准确到位，在复数范围内要注意实系数方程的解有扩充。14.如图，已知正方体的棱长为，点为线段上一点，是平面上一点，则的最小值是______．【答案】【解析】【分析】当取得最小时，点必定是点在平面上的射影，即在上。与在二面角的两个面内，此时可将在两个不同平面上的量通过对平面翻折，转化到同一平面上求解。【详解】解：当取得最小时，点必定是点在平面上的射影，即在上。与在二面角的两个面内，为此将绕旋转90°，使得平面与平面在同一平面内，由，故当共线且与垂直时，取得最小。在平面内，因为所以，，又，所以与都是等腰直角三角形，所以得到=，故的最小值为。【点睛】空间中的最短（长）距离常见方法是通过射影等方法转化为平面上的最值问题。三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）15.在正方体中，、分别是、的中点．（1）求证：四边形是菱形；（2）作出直线与平面的交点（写出作图步骤）．【答案】（1）证明见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）取中点，连接，，可证四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，得到四边形为平行四边形，再由，可得，得到四边形是菱形；（2）连接和，则与的交点，即为直线与平面的交点．【详解】（1）证明：取中点，连接，，如图所示，则，，四边形为平行四边形，则，由为正方体，且，分别为，的中点，可得为平行四边形，，，则，且，四边形为平行四边形，由，可得，四边形是菱形；（2）连接和，则与的交点，即为直线与平面的交点，如图所示．【点睛】本题考查了空间中的平行关系应用问题，也考查了空间想象与逻辑推理能力，是中档题．16.如图，在长方体中，、分别是棱、的中点，，，求：（1）与所成的角；（2）与平面所成的角．【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）求直线与所成的角，通过可转化为直线与所成的角，然后在中利用余弦定理解可得；（2）直线与平面所成的角，首先要求出在平面上射影，由长方体可得在平面上射影即为，所以直线与平面所成角的平面角即为或其补角，在中解得线面角的大小。【详解】解：因为，分别是棱的中点所以，所以，直线与所成的角即为直线与所成的角所以，直线与所成的角为或其补角连接在中，，，由余弦定理解得所以，直线与所成的角（2）因为长方体所以，平面连接所以直线与平面所成角的平面角即为或其补角，在中，，，所以所以直线与平面所成角的平面角即为。【点睛】异面直线所成角常见解法是通过平行找出异面直线所成角的平面角，然后在三角形中利用解三角形的方法求解角的大小；线面所成角常见解法是通过找出斜线在平面上的射影，射影与其直线所成角即为线面所成角的平面角，然后在三角形中利用解三角形的方法求解角的大小。17.如图，在空间四边形中，平面，，且，．（1）若，，求证：平面；（2）求二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出，，从而平面，进而，再由，能证明平面．（2）以为原点，为轴，为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．【详解】证明：（1）平面，平面，，，，平面，，，，平面．解：（2）以为原点，为轴，为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，，．，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，设二面角的平面角为，则．二面角的大小为.．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.复数所对应的点在点及为端点的线段上运动，复数满足，求：（1）复数模的取值范围；（2）复数对应的点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)根据条件可设，由此可表示出的模形式，进而得出模的范围；（2）复数对应的点的轨迹方程即求点的横、纵坐标的等量关系，将用（1）中的形式进行表示，转化为参数方程，即可解决轨迹方程。【详解】（1）设，则；（2）；【点睛】复数形式不确定时，可利用待定系数法，将复数表示出来，然后进行分析解题；求点的轨迹方程即求点的横、纵坐标的等量关系，常见方法有常见曲线的定义、参数方程等方法。19.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：本题考查