上海市复旦大学附属中学2020届高三数学上学期10月月考试题(含解析)

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上海市复旦大学附属中学2020届高三数学上学期10月月考试题(含解析)一.填空题1.已知:p“角的终边在第一象限”,:q“sin0”,则p是q的________条件(填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)【答案】充分非必要【解析】【分析】根据sin0得出角终边的位置,然后利用充分必要性判断出p、q之间的关系.【详解】若sin0,则角的终边在第一象限、y轴正半轴或第二象限,所以,p是q的充分非必要条件,故答案为:充分非必要.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断,一般利用集合的包含关系进行判断,转化条件如下:(1)ABÜ,则“xA”是“xB”的充分不必要条件;(2)ABÝ,则“xA”是“xB”的必要不充分条件;(3)AB,则“xA”是“xB”的充分必要条件;(4)AB,则“xA”是“xB”的既不充分也不必要条件.2.函数210fxxx的反函数1fx________.【答案】11xx【解析】【分析】由0x,得出1y,再由21yx可解出x,由此可得出函数1yfx的解析式,并标明定义域.【详解】当0x时,211fxx,由21yx,得1xy,因此,111fxxx,故答案为:11xx.【点睛】本题考查反函数解析式的求解,还应注意求解原函数的值域,作为反函数的定义域,考查计算能力,属于基础题.3.记不等式260xx的解集为A,函数lgyxa的定义域为B,若AB,则实数a的取值范围为________.【答案】3a【解析】【分析】解出集合A、B,再由AB可得出实数a的取值范围.【详解】解不等式260xx得32x,则3,2A,由0xa,得xa,则,Ba.AB,所以,3a,因此,实数a的取值范围是,3,故答案为:,3.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数的取值范围,同时也涉及了二次不等式的解法和对数函数的定义域,考查计算能力,属于中等题.4.设1lg1axfxx为奇函数,则a________.【答案】1【解析】【分析】由奇函数的定义fxfx,结合对数的运算性质求出a的值,然后对a的值代入函数解析式进行检验,从而得出实数a的值.【详解】函数1lg1axfxx为奇函数,则fxfx,即11lglg11axaxxx,即11lglg11axxxax,即1111axxxax,所以22211axx,得21a,1a.当1a时,函数yfx的解析式中真数为1,不合乎题意;当1a时,1lg1xfxx,由101xx,解得1x或1x,此时,函数yfx的定义域为,11,U,关于原点对称,且满足fxfx,则函数yfx为奇函数.故答案为:1.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数,在利用函数奇偶性的定义求参数时,所得出的答案还应检验,以便舍去不合乎要求的答案,考查计算能力,属于中等题.5.已知1a,则代数式21aa的最小值为________.【答案】221【解析】【分析】将代数式变形为221111aaaa,再利用基本不等式求出该代数式的最小值.【详解】1aQ,10a,由基本不等式得22211211111aaaaaa221,当且仅当12a时,等号成立,因此,代数式21aa的最小值为221,故答案为:221.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值,要注意对代数式进行配凑,同时注意“一正、二定、三相等”条件的成立,考查计算能力,属于中等题.6.已知集合2,1,0A,1,0,1,2B,则集合,abaAbB的子集个数为__.【答案】64【解析】【分析】利用列举法求出集合,abaAbB,再利用集合子集个数的计算公式得出结果.【详解】2,1,0AQ,1,0,1,2B,,4,3,2,1,0,1abaAbB,则集合,abaAbB有6个元素,其子集个数为6264,故答案为:64.【点睛】本题考查集合子集个数的计算,同时也考查了集合中的新定义,解题的关键就是确定出所求集合的元素的个数,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.7.已知7sincos13,π(,0)2,则tan.【答案】125【解析】试题分析:由7sincos13得249(sincos)169,所以60sincos169,因为(,0)2,所以sin0,cos0,由7sincos13{60sincos169得12sin13{5cos13,所以sin12tancos5.考点:同角间的三角函数关系.8.已知正数a、b满足4ab,且2log3ab,则ab________.【答案】4或5【解析】【分析】由4ab,得出log42log2bba,由2log3ab得出22log2log3bb解出b的值,进而得出a的值,从而得出ab的值.【详解】4abQ,log42log2bba,由2log3ab得出22log2log3bb,由换底公式可得21log2logbb,222log3logbb,可得2log1b或2log2b.①当2log1b时,2b,此时,22log22a,则4ab;②当2log2b时,4b,此时,4log41a,则5ab.因此,4ab或5,故答案为:4或5.【点睛】本题考查对数换底公式的应用,同时也考查了指数式与对数式的互化,解题时要观察出两个对数之间的关系,考查分析问题与解决问题的能力,属于中等题.9.已知函数211xfxx的定义域是,03,,则fx的值域是________.【答案】51,22,2U【解析】【分析】将函数yfx的解析式变形为122fxx,然后分0x和3x两种情况讨论,利用不等式的性质求出函数yfx的值域.【详解】211211xfxxxQ.①当0x时,11x,则1101x,此时121,21fxx;②当3x时,12x,则11012x,此时1522,12fxx.因此,函数yfx的值域为51,22,2U,故答案为:51,22,2U.【点睛】本题考查分式型函数值域的求解,一般利用变量分离法结合不等式的性质进行计算,考查运算求解能力,属于中等题.10.对于函数fx,若存在正实数M,对于任意1,x,都有fxM,则称函数fx在1,上是有界函数,下列函数:①11fxx;②21xfxx;③1ln1xfxx;④sinfxxx;其中在1,上是有界函数的序号为________.【答案】②【解析】【分析】求出①②③④中各函数yfx在1,上的值域,结合题中的定义进行判断即可.【详解】对于①中的函数11fxx,当1x时,101fxx,该函数在1,上的值域为0,,所以,不存在正实数M,对于任意1,x,使得fxM成立;对于②中的函数21xfxx,当1x时,211111212xfxxxxxx,又0fx,102fx,该函数在1,上的值域为10,2,所以,存在正实数M,当12M时,对于任意1,x,都有fxM;对于③中的函数1ln1xfxx,当1x时,1210,111xxx,1ln01xfxx,该函数在1,上的值域为,0,所以,不存在正实数M,对于任意1,x,使得fxM成立;对于④中的函数sinfxxx,取22xnnN,则2222fnn,lim2lim222nnfnn,同理,取322xnnN,32222fnn,33lim2lim222nnfnn,所以,函数sinfxxx在1,上的值域为,,所以,不存在正实数M,对于任意1,x,使得fxM成立.综上所述:在1,上是有界函数的序号为②,故答案为:②.【点睛】本题考查函数新定义“有界函数”的理解,解题的关键就是求出函数的值域,结合定义进行判断,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.11.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知曲线1C、2C、3C依次为22logyx,2logyx,2logykx的图像,其中k为常数,01k,点A是曲线1C上位于第一象限的点,过A分别作x轴、y轴的平行线交曲线2C分别于点B、D,过点B作y轴的平行线交曲线3C于点C,若四边形ABCD为矩形,则k的值是________.【答案】12【解析】【分析】设点2,2logAtt,其中1t,可求出点B、D的坐标,进一步求出点D的坐标,再将点D的坐标代入函数2logykx的解析式可求出实数k的值.【详解】设点2,2logAtt,其中1t,设点2,2logBxt、,Dty,则222log2loglogxtyt,解得22logxtyt,所以,点22,2logBtt、2,logDtt,则点D的坐标为22,logtt,将点D的坐标代入函数2logykx的解析式,得222loglogtkt,21k,解得12k.故答案为:12.【点睛】本题考查对数的运算,解题的关键就是由点A的坐标计算出点D的坐标,考查计算能力,属于中等题.12.已知函数gx的定义域为R,对任何实数m、n,都有3gmngmgn,且函数2211xxfxgxx的最大值为p,最小值为q,则pq的值为________.【答案】6【解析】【分析】构造函数3hxgx,利用题中定义可推出函数yhx为奇函数,可得出函数ygx的图象关于点0,3对称,从而得出函数yfx的图象也关于点0,3对称,由此可得出pq的值.【详解】3gmngmgnQ,333gmngmgn,构造函数3hxgx,则hmnhmhn,令0mn,可得020hh,00h,令nm,则00hmhmh,hmhm,所以,函数yhx为奇函数,即0hxhx,所以,60gxgx,得6gxgx,所以,222211611xxxxfxfxgxgxgxgxxx,则函数yfx的图象关于点0,3对称,则该函数最高点和最低点也会关于这个点对称,因此,6pq,故答案为:6.【点睛】本题考查利用函数的对称性求函数最值之和,解题的关键就是利用定义推导出函数的对称中心,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.二.选择题13.设a,b为正实数,则“ab”是“11abab”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分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